Riassunto esame Matematica 1, Prof. D'onofrio Luigi, libro consigliato Esercitazioni di Matematica Parte II, Marcellini-Sbordone

Lezione del 14/12/2020

Funzioni continue in un insieme

Sia A ⊆ R

f è continua in A se e solo se è continua ∀x∈A.

Dimostriamo che questa funzione ammette massimo assoluto in x₀ se

f(x₀) = f(c) ∀x∈A

x₀ punto di max assoluto

Dimostriamo che questa funzione ammette massimo relativo in x₀ se

∃I(x₀) : (f(x₀) ≥ f(x)) ∀x∈I(x₀)

x₀ punto di min. relativo

x₃ è punto di minimo assoluto

x₄ è punto di minimo relativo

Teorema di Weierstrass 1.5

Se una funzione f: [a, b] → R è continua in [a, b]

allora f ammette massimo e minimo assoluti

f(x) = √x in [0, 1]

Minimo = 0

Massimo = 1

Lezione del 14/12/2020

Funzione continua in un insieme

f: A → R

È continua in A se e solo se è continua ∀x∈A

• Diremo che questa funzione ammette massimo assoluto in x₀ se f(x₀) = f(max) ∀x∈A
• Diremo che questa funzione ammette massimo relativo in x₀ se ∃I(x₀) t.c. f(x₀) ≥ f(x) ∀x∈I(x₀)
• Diremo che questa funzione ammette minimo relativo in x₀ se ∃I(x₀) t.c. f(x₀) ≤ f(x) ∀x∈I(x₀)

x_A è punto di minimo assoluto

x_B è punto di minimo relativo

Teorema di Weierstrass

Se una funzione f [a, b] → R è continua in [a, b]

Allora f ammette massimo e minimo assoluti

f(x) = √x in [0, 4]

minimo = 0

massimo = 1

f(x) = log x in ^{(0, 1)}

Nota: Non continua

f(x) = log x in ^(1,)

Eterna continua

La funzione è continua nell’intervallo quindi il teorema di Bolzano

Minimo → ^{1, x = log x} Punto di Min → ¹

Massimo → 0 Punto di Max → 1

Primo Teorema dei valori intermedi

Se consideriamo una funzione f: [a, b] → R continua e se f(a) ≠ f(b) allora f assume tutti i valori compresi tra f(a) e f(b)

∀_g(f(a), f(b)) ∃^{c [a, b]} f(a)

Secondo Teorema dei valori intermedi

Rifacendoci al teorema di Weierstrass, se f è continua in un intervallo chiuso e limitato allora ammette massimo e minimo assoluto. Quindi possiamo generalizzare il primo teorema dei valori intermedi.

Se f: [a, b] → R e se f continua in [a, b] allora f assume tutti i valori compresi tra max e min assoluti.

m = min assoluto M = max assoluto

∀_y ∈ [m, M] ∃x ∈ [a, b] f pari

I^a osservazione: Il teorema di D. garantisce che se f è continua in [a, b], f e M sono max e min assoluti.

II^a osservazione: Posso scegliere che ∃x ∈ [a, b] solo quando la funzione è strettamente monotona.

Classificazione delle Discontinuità

a) Discontinuità eliminabile

x₀ è una discontinuità eliminabile se

¹ lim x→0 f(x) l f (x₀)

lim_{x → 0} 0

f(x) = { x² se x ≠ 0

{ 0 se x = 0

f (0) = 1

f_x(x) = ^x2⁄_{x con x < 0} x + 1 con x ≥ 0

lim_x→0^- f(x) = 0f(0) = 0lim_x→0⁺ f(x) = 1

a) DISCONTINUITÀ DI PRIMA SPECIE (CON SALTO)x₀ è una discontinuità di 1^a specie per f se esistono finiti

lim_x→x0^- f(x) = f₁lim_x→x0⁺ f(x) = f₂

con f₁ ≠ f₂

Salto → Si passa dal valore 3 a 1.

b) DISCONTINUITÀ DI SECONDA SPECIEx₀ è una discontinuità di 2^a specie se accade

lim_x→x0^- f(x) = ±∞lim_x→x0⁺ f(x) = ±∞lim_x→x0 f(x) = ±∞

In questo caso la retta verticale x = x₀ si chiama asintoto verticale per f(x).

lim_x→x0^- log x = ±∞lim_x→x0⁺ log x = ±∞

x = x₀ = 0 ⇒ Asintoto verticale

Lezione del 16/12/2020

• Teorema degli zeri

Supponiamo che f: [a, b] -> R sia continua in [a, b] e supponiamo che f(a)·f(b) < 0 allora

c è l'intervallo (a, b)

Dimostrazione f [a, b] -> R

Si prende il punto medio dell'intervallo [a, b]: c = a+b₂

Calcolo la funzione in f(c) 1) f(c) > 0

1. f(c) = 0 → Calcolo finito. Ho trovato lo zero

Quindi prendo

Alla fine del punto posso avere un nuovo intervallo [a₁, b₁]:

Adesso dobbiamo trovare il punto medio del nuovo intervallo c₁ = a₁ + b_{1 2}

1) f(a₁) ⋅ f(c₁) = 0

Calcolo finito e trovato l'esito, l'insieme è finito.

2) f(c₁) < 0

a₂, c₁ → f(b