Riassunto esame Matematica 1, Prof. D'onofrio Luigi, libro consigliato Esercitazioni di Matematica Parte II, Marcellini-Sbordone

Lezione del 14/10/2020

Funzione continua e con insiemi:

1. f: A → R è continua in A se e solo se è continua ∀x ∈ A

Diremo che questa funzione ammette massimo assoluto in x₀ se:

• f(x₀) = max f(x) ∀x ∈ A

Diremo che questa funzione ammette massimo relativo in x₀ se:

• f(x₀) = max f(x) ∀x ∈ I(x₀)

Diremo che questa funzione ammette minimo relativo in x₀ se:

• f(x₀) = min f(x) ∀x ∈ I(x₀)

Funzione continua: [a, b] → R è continua in [a, b]

Allora f ammette massimo e minimo assoluti:

• f(x) = √x n (0, 1)

Pertanto, tutte le funzioni elementari sono continue nel loro dominio.

Minimo = 0

Massimo = 1

Secondo teorema dei valori intermedi

Affermando il teorema di Weierstrass, se f è continua in un intervallo chiuso e limitato, allora ammette massimo e minimo assoluto. Quindi possiamo generalizzare il teorema dei val. intermedi:

Se ^g/_[a,b] → R e se g continua in [a,b] allora g assume i valori compresi tra i max e min assoluti.

min → min assolutomax → max assoluto

∀ y₀∈[f(a);f(b)] ∃ x ∈ [a,b] : g(x) = y

I^° osservazione → posso scrivere che ∃ y ∈ [g, b] solo quando la funzione è strettamente monotona

Classificazione delle discontinuità

a) Discontinuità eliminabilex₀ è una discontinuità eliminabile se:

^lim _x→x0 ^f(x) = f(x₀)f(x) = ^{x2 se x ≠ 0}x se x = 0

^lim _x→0 f(x)=0

Determinare infinito campare equivalente

f(x) = (x² log_e (5x + 1))^1/4 in ∞

Infinito campare in ∞: f(x) ∼ x^1/2

Per trovare f_∞(x)

Determinare infinitesimo campare equivalente a

f(x) = (√e^x - 1)

Infinitiesimo campare in 0: (e^x - 1) ∼ x

Per trovare f_o(x)

Lezione del 10/03/2021

Concetto di derivata

y = f(x)A / x₀ f(x₀)B (x₀ + h, f(x₀ + h))

Relazione che al 2 ruoli assegna una soluzioney - f(x₀) = m (x - x₀) = scolari moduli e passaggio per il punto A e B

Per trovare m → sottrago dalla 1^a la secondaf(x₀ + h) - m(x₀ + h - x₀)f(x₀ + h) - f(x₀) = m x

m = ^{f(x₀ + h) - f(x₀)}/_h

Per trovare g → g = f(x₀) - mx₀y = mx + q → indo a sostiture g

y = mx + f(x₀) - mx₀y = m(x₀ - x) + f(x₀)y = ^{f(x₀ + h) - f(x₀)}/_h (x - x₀) + f(x₀)

Lezione del 11/03/2021

Una funzione f è continua in X₀ se

X₀ è un punto isolato

oppure

X₀ è un punto di accumulazione di f e f(X₀)

Teorema: derivabilità implica continuità

Ipotesi:

f è derivabile in X₀

Tesi:

f è continua in X₀

esiste ed è finito

h→0

Dimostrazione:

Cominciamo col considerare il rapporto incrementale, una quantità uguale ai ≥ stessa

La teorema inverso invece

f continua in X₀ → f derivabile in X₀

Non vale

Ex: f_{nx X} | x | — continua ma non derivabile

Criterio di monotonia (test di monotonia)

Segno di derivazione

f: [a,b] ⊆ R continua in [a,b] derivabile su ]a,b[

- f' è crescente in [a,b] ⇒ f'() ≥ 0 ∀x dentro ]a,b[

- f' è strett crescente in [a,b] ⇒ f'() > 0 ∀x dentro ]a,b[

- f' è strett decrescente in [a,b] ⇒ f'() < 0 ∀x dentro ]a,b[

Teorema dei fermati

X₀ è un punto di max o min relativo interno ad [a,b] e f è derivabile in X₀ ⇒ f'(X₀) = 0

Criterio di Convergenza

Funzione continua in (a, b)

Successioni di valori per derivabile due volte in (a, b)

• Prima convergenza in (a, b) ^gi_x = 0
• Valori C (a, b)

Lezione del 26/03/2021

Teorema di De L'Hopital

Siano f e g due funzioni definite in un intorno di c, tranne c, tali che

_lim^x→c f(x) = 0 _lim^x→c g(x) = 0 (*)

Se f e g sono derivate nell'intorno di c, con g' ≠ 0, allora

• se esiste il _lim^x→c f'(x)/g'(x), anche con c, allora
• _lim^x→c f(x)/g(x) = _lim^x→c f'(x)/g'(x)

Osservazione 1

Per (*) come si presenta _lim^x→c f(x)/g(x) = 0 che è una F.I.

Ma se sono formuliali, cioè, _lim^x→c f(x)/g(x) = L allora _lim^x→c f(x)/g(x) = L

Osservazione 2

Non confondere f'(x)/g'(x) con D f(x)/g(x)

Rapporto tra derivati derivata del rapporto

Lezione del 16/04/2021

Integrali Definiti

Dato un'intervallo [a, b] ⊂ R, si definisce partizione dell'intervallo [a, b] (se x appartiene ad a) un qualsiasi insieme ordinato di n+1 punti distinti, tali che:

x₀ = a < x₁ < x₂ < ... < x_n = b

1. • [a, b)
   • ∪ [x_k, x_k+1)
   • [x_n, y_n+1)
   • ... ∪ [x_k, x_n]

Si possono ottenere alcuni problemi:

L'insieme delle applicazioni. Trovano l'intero intervallo, mentre le singole coppie di partizioni hanno un solo punto in comune, coincidente con l'estremo dell'intervallo.

Adesso prendiamo una f(x) per [a, b] → R con:

1. f(x) ≥ 0 ∀ x∈ [a, b]

2. f(x) è limitata in [a, b]

Quindi con f(y) = 0 e limitata, considerando una partizione o dell'intervallo [a, b].

[a, b) ∪ [½x_k

Definisco s = inf P

P_k is sup P(∗_k)

Ssomma integrale inferiore di Riemann della funzione rispetto alla partizione o la quantità:

S(P, o) = 1/2 [m₁(x₀) + x₁ + m₁(x₀) + m₂(x₁) + x₂ + ... + m_n(x_n)]

= E ki jmin L (x₁ x₂ x₃)

Ssomma integrale superiore di Riemann di R rispetto ad o:

S(P, o)^* = j₁[m₁(x₀), P₁]

P₂[m_k(x₂), P_a], L[n, g(x_k), m_k(x_i+1)

Risolvendo ad o:

o una partizione

s(P, o) ≤ S(P, o)