Riassunto esame Fondamenti di costruzione di macchine, Prof. Strozzi Antonio, libro consigliato Fondamenti di costruzione di macchine, Antonio Strozzi

FORZE e COPPIE

Le forze possono essere traslate lungo la loro retta d'azione ma non lateralmente, le coppie possono essere traslate a piacere.

SISTEMI EQUIVALENTI: quando hanno le stesse risultante e lo stesso momento risultante rispetto al medesimo polo solo si dicono.

RISULTANTE DI DUE FORZE CONCENTRATE PARALLELE

F₁

F₂

R

F₁

F₂

Risult. di forza concentrata più coppia

→ È una forza traslata lateralmente rispetto alla direzione della forze.

(a) C

(b) F b

(c) F A=B

(d) F forze traslate per effetto della coppia

d = C / F

RISULTANTE DI CARICHI DISTRIBUITI

CARICO UNIFORME

TRIANGOLARE

_{BARICENTRO DEL TRIANGOLO}

LEGGE GENERICA ρ(x)

P = ∫₀^l ρ(x) dx ⇒ ∫₀^l ρ(x) x dx = d × ∫₀^l ρ(x) dx

⇒ d = ^{∫₀l ρ(x) x dx}/_{∫0^l ρ(x) dx} x = braccio riferito ad A della forza infinitesima dP

PROBLEMA DELLE TRE FORZE

Ci sono 3 forze compiuse che caricano un componente meccanico. Della prima sono note l'intensità e retta di azione; della seconda solo la retta di azione; della terza solo che la sua retta di azione passa per un punto noto.

Si vogliono determinare graficamente le intensità e rette delle tre forze

"e le forze sono tutte concorrenti in un punto il corpo è in equilibrio"

LEGGE DI HOOKE IN ELASTICITÀ TRIDIMENSIONALE

per materiale omogeneo e isotropo vale un legame lineare tra tensioni e deformazioni

_x = ¹/_E [_x - (_y + _z)]

_y = ¹/_E [_y - (_x + _z)]

_z = ¹/_E [_z - (_x + _y)]

deformazioni lineari

_xy = ¹/_{G xy}

_yz = ¹/_{G yz}

_zx = ¹/_{G zx}

G = ^E/₂₍₁₊₎

modulo di elasticità tangenziale

deformazioni angolari

BULK MODULUS (coeff. di comprimibilità cubica)

K = ^P/_∆V/V = ^E/_3(1-2)

esprime la variazione relativa di volume del materiale quando esso viene sottoposto ad una pressione idrostatica

MOMENTO TORCENTE M_T

deriva dall'applicazione di una coppia torcente, la quale può essere dovuta a una forza laterale eccentrica.

I M_T generano tensioni τ non uniformi, sono max nelle zone più lontane dal centro, e si annullano andando verso il centro.

In una sezione rettangolare il max delle τ cade a metà del lato lungo.

τ max si ottiene per r = R=r/l

τmax:

τ_max = M_T R / Jp = M_T / W_p

Jp = πR⁴ / 32

W_p = πD³ / 16

PRINCIPIO DEI LAVORI VIRTUALI

Permette di calcolare spostamenti elastici di punti di un componente e di determinare le reazioni incognite in problemi iperstatici.

Lavoro interno

• Flessionale L_i = M_f·ψ"
• Normale L_i = N·ε
• Tagliante L_i=(T·δ)·k → δ = T/GA
• Torcente L_i = M_t·ψ φ = M_t/GJ_p

Calcolo di frecce e rotazioni

f_A? = di quanto si sposta il punto A

Trave effettiva

• M_f=Px

Trave ausiliaria

• P=1

La forza P produce un momento flettente M_f = Px e una deformata lungo l'asse della trave.

Si applica una forza unitaria P=1 nel punto in cui si cerca la freccia (o la rotazione), la quale causa un M_f(rotante) = 1·x.

L_i è l'integrale su L di M_{f reale} per ψ"_unitario

L_i= ∫₀^l M_f·ψ "_L dx

Le ε è il prodotto tra spostamenti/rotazione virtuale f_a,V e forza unitaria P=1

Struttura Iperstatica (Static. Indeterminata) con Castigliano

1) Sostituire ai vincoli i carichi o le coppie incognite rendendo la struttura isostatica

2) Si determina col Castigliano la freccia nel punto in cui cerchiamo la forza F. \( f_0 = f_A(F) \)

3) Imponendo \( f_A = 0 \) troviamo F

\( U_1 = \int_0^{l/2} \frac{(Fx)^2}{2EJ} \, dx = \frac{F^2 l^3}{2EJ \cdot 3} = \frac{F^2 l^3}{6EJ \cdot 8} \)

\( U_2 = \int_0^{l/2} \frac{(Py + F(y+\frac{l}{2}))^2}{2EJ} \, dy = \dots \, \rho \, \frac{q l}{2EJ} [ \frac{F^2(l^3 + \dots)}{24} \] \)

\( U = U_1 + U_2 \quad \Rightarrow \quad f_A = \frac{\partial U}{\partial F} \quad \Rightarrow \quad \frac{1}{2EJ} \left[ \frac{2Fl^3 - 5Pl^3}{3} \right] = 0 \)

\( F = \frac{5P}{16} \)

Freccia in presenza di carichi distribuiti

aggiungo una forza fittizia F.

\( M_{\rho}(x) = Fx + \frac{px^2}{2} \)

\( U = \int_0^{l} \frac{M_{\rho}^2}{2EJ} \, dx = \int_0^{l} \frac{(Fx + Px^2)^2}{2EJ} \, dx = \frac{l}{2EJ} \left[ \frac{Fx^4}{4} \right]_0^{l} = \frac{Fp l^4}{8EJ} \)

REGOLA DEL FILO

L’applicazione delle forze genera una variazione di angolo del filo minore di 180° due...

...oppure...

...di coppie, esse devono presentare coppie due forze opposte...

ANTIORARIA

IN ORARIA

ESTREMITÁ LIBERA - h=0

CERNIERA - MA=0

oppure i rami devono essere // prima e dopo il salto

solo se in corrispondenza della coppia ho anche una forza...

...allora cambio direzione...