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Fisica Teorica II
LEZIONE 23/11/22
Siamo quindi riusciti ad avere una teoria delle perturbazioni covariante siamo riusciti anche ad esprimere le particelle come eccitazioni dei campi. Abbiamo quindi
una teoria quantistica e relativistica perfettamente consistente.
(questi strumenti siamo in grado di arrivare a qualcosa di misurabile, la sezione d'urto.
Ora usiamo viso solo diagrams albero, arriveremo anche a discutere il loop
e a trattare le divergenze causate da momenti non fissati K.
La teoria che spiega questi fenomeni è la QED.
Iniziamo studiando un caso particolare; lo scattering in un campo esterno.
In generale posso separare il campo EM in una parte quantizzata (che
abbiamo già trattato ed una parte classica.
Aμ(x) = Aγ(x) + AC(x)
e --- p = p'
Scattering elastico
Supponiamo di fare scattering su nucleo
e che questo sia talmente pesante che non
risente dello scattering e non subisce rinculo (ecco cosa vu
:dire la X sul nucleo)
D'altra parte il principio di indeterminazione ci dice che:
ΔvΔx ≥ 1M → il nucleo ha M grande quindi il rinculo va
giù come 1/M.
Il nucleo produce quindi un campo classico esterno che non risente dello
scattering. È quindi: statico.
La prima obiezione da fare è che avevamo detto che al primo ordine
in un processo di scattering avevamo termini che non davano contributi ad
S poiché non conservavano il 4-momento.
Questo adesso non è più vero perché il fotone ora è una particella
C'è un altro problema nella formula: nel limite di q!&0 diverge ma nell'ex di Rutherford, questa cosa non veniva osservata.
q molto piccolo equivale a dire b grandi quindi le particelle sentono poco la repulsione del nucleo. Cos'è che stiamo trattando in modo sbagliato? Stiamo sbagliando il modello dell'atomo, il nucleo è molto piccolo rispetto al suo involucro elettronico quindi per b abbastanza grandi: il nucleo appare neutro allo e, e a questo numero di cattegai ins sale. La formula diverge poiché il nostro modello è campop patologico perché a lunge range.
Naturalmente queste trattazioni hanno a che vedere col fatto che se io voglio risolvere un regime di primo ordine in 8 ho bisogno di una sonda con q&entropi h/S q piccoli corrispondono a 8 grandi.
Con 8 grandi: il nucleo sembra neutro.
Abbiamo capito tutto del primo ordine, andiamo ora al secondo ordine. Che succede se voglio studiare:
Sta volta questo in viola è un fotone reale. Questo fenomeno è chiamato Bremsstrahlung (radiazione di frenamento) ed è la radiazione che tutte le particelle cariche emettono quando vengono accelerate.
Il nostro processo è e⁻ + Z → e⁻ + Z + γ
Naturalmente dobbiamo considerare sia a che b sia per avere la corretto e sia per mantenere vera la Gauge invariaro. In questo caso lo scattering è anelastico perché |p'|≠|p|
Sfi = i q ∫ dx dy . ψ' ∂'x A' ψ'x |ψ ∂x A ψ|x + ψ ∂x A ψx.
le uniche contrazioni possibili sono quelle in rosso e sono i propagatori dell'elettone nei due diagrammi.
Continueremo in seguito questa trattazione.
Riprendiamo ora la questione dello spin del fotone. Vogliamo capire come il campo del fotone sotto boost e rotazioni di Lorentz. Voglio arrivare ai generatori.
Facciamo prima un breve recap sui fermioni di spin 1/2:
ψ(x) = ψ'₋ᵩ(x) = γₓ(i∇μΔμν−θΛν)ψᵧ
(Vedi: Covariante di Dirac)
Era antisimmetrico per far conservare la norma
Qui Sρᶲ ha bisogno anche degli indici spinoriali perché durante la trasformazione gli spin possono cambiare. Invece μν sono indici spazio-temporali.
Ricorda che avevamo definito δμFQ = 1/2 [δᵧᶻ, δϕ]
Sono 6 e antisimmetriche
Per trovare le quantità conservate mi serve L = ψ[1/2 δμ − 1/2] ψ
e la sua invariance per rotazioni mi porta alla conservazione del tensore momento angolare.
L'integrale della Mᵐⁿ mi dà le grandezze conservate, se μν = 01,02,03 abbiamo le regole di conservazione del moto del baricentro; se μ = 12,13,23 otteniamo lo spin di momento angolare orbitale e momento angolare intrinseco.
Sviluppiamo le prime componenti 4-vettoriale (p=0) delle componenti spaziali (μσ e νᶿ¤) e discutiamo lo spin.
Mᵐⁿ = ∫ d³X X∞δ + ∫ πNθ Mσᵒ
Devo però sapere quanto vale πᵐᵏ = ∂ɢ /∂(φ η),
Sviluppiamo anche il tensore energia impulso:
μᵇ = ∂υ(∂2ϕ₁)γ(δ,φ) ∂φ− èlement
La t.d.l. è quindi troviamo che \( A = \exp[-\bar{w} \bar{S} - \bar{\zeta} \bar{K}] \)
Facciamo un esercizio ossia un boost sull'asse x. \( \bar{w} \) sono quindi nulle
boost su \( x: \bar{w} = 0, \bar{\zeta} = \bar{S} \epsilon_1 = \bar{\zeta}_x \) \( \Rightarrow \) \( A = \exp[-\bar{\zeta}_x K_1] \)
Espandiamo in serie la \( A: A = 1 - \bar{\zeta}_x K_1 x \frac{1}{2!} \bar{\zeta}_x^2 (K_1 K_1) + \frac{1}{3!} \bar{\zeta}_x^3 (K_1 K_1 K_1) + \ldots \)
Posso però aggiungere e togliere lo stesso termine e riorganizzo la serie:
\( A = \biggl( 1 - \frac{k_1}{1!} \bar{\zeta}_x (1 + \frac{1}{3!} \bar{\zeta}_x^2 + \ldots) \biggr) + \frac{k_1^2}{1!} \biggl( 1 + \frac{1}{2!} \bar{\zeta}_x^2 + \frac{1}{4!} \bar{\zeta}_x^4 \biggr) \)
\( = (1 - k_1^2) k_1 \sinh(\bar{\zeta}) + k_1 \cosh(\bar{\zeta}) \)
Ma inserendo all'interno tutte le scritture di \( K_1 \) e \( \bar{k_1^2} \) ottengo:
Ricordiamoci la trasformazione iperbolica, se identifico \( \bar{\zeta} - \operatorname{arctanh} \beta_x \)
\( A = \left( \begin{matrix} \cosh \bar{\zeta} & -\sinh \bar{\zeta} & 0 & 0 \\ -\sinh \bar{\zeta} & \cosh \bar{\zeta} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right) \)
Inserendo questa \( \bar{\zeta} \) troviamo che sia il tempo sia la x sono cambiati con \( \beta_x \)
Questa è proprio una t.d.l.
Si può provare analogamente con le rotazioni. \( \bar{\zeta} = 0, \bar{w} = w \epsilon_1 \) (se rot. su z)
Abbiamo quindi dimostrato che le \( S_i \) e le \( K_i \) sono i generatori delle t.d.l per il campo fotonico.
È interessante vedere che c'è un'algebra dei generatori:
Cosa accade se facciamo due rotazioni successive (una volta su i poi su j)?
\( [S_i, S_j] = \epsilon_{ijk} S_k \)
c'è una rotazione residua. Lo separiamo anche dalla geometria 3D. Queste sono proprio le regole dei momenti angolari
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