Riassunto esame Fisica medica, Prof. Brocca Paola, libro consigliato Fisica bioledica, Scannicchio

Consideriamo la traiettoria curvilinea. L’accelerazione media è definita come .

∆

∆⃗? ⃗⃗⃗⃗⃗

−

⃗⃗⃗⃗⃗.

⃗⃗⃗⃗⃗

Che cosa vuol dire È dato da Questo è una velocità istantanea. Non tutte le volte possiamo fare una

2 1 1 ⃗,

misura pratica, non tutto ha una funzione e non tutto lo posso derivare: possiamo avere punti sperimentali di da

cui posso solo ricavare delle informazioni medie. Se abbiamo pochi punti sperimentali non conviene fare il medio,

ma conviene comunque prendere la tangente e calcolare la velocità istantanea nel punto che ci serve. Poi come

direzione, se si ha modo di tracciare la traiettoria, si sa anche come essa è diretta: lungo la tangente della traiettoria.

Quanti punti sperimentali dobbiamo prendere come minimo per trovare l’accelerazione media? Per la velocità media ne

servono 2. Per l’accelerazione ne servono 4, due punti per fare la prima velocità e due per la seconda, però possiamo far

collassare il secondo con il terzo e quindi averne 3: facciamo la velocità media tra i primi due e poi tra i secondi due. 2

Fisica medica Lezione 2 08/10/2024

⃗

⃗⃗⃗⃗

A questo punto, l’accelerazione non è così semplice come (lungo la tangente sulla traiettoria), perché la velocità può

cambiare non solo in modulo ma anche in direzione e verso. Quindi l’accelerazione può giacere ovunque e messa come

vuole nel piano.

Possiamo definire l’accelerazione istantanea? Sì, perché possiamo fare la derivata della velocità, cioè il limite del rapporto

∆ =

incrementale della velocità con che va a 0 e scrivo: .

Un conto è accelerare lungo la traiettoria (aumentare i m/s), un conto è mantenere la stessa velocità però seguire una

traiettoria curvilinea. Allora, punto per punto, posso definire un’accelerazione.

In questa traiettoria curvilinea la velocità aumenta: l’accelerazione non sarà orientata all’indietro, sull’asse delle x

negativo, ma sull’asse delle x positivo, perché la dimensione è aumentata. Il vettore accelerazione avrà quindi una

⃗ ⃗

componente positiva lungo , e quindi vado a destra, e poi avrà una componente lungo verso il basso.

⃗?

Perché scendo in y e non sono salita in y per rappresentare Se si fa la differenza, viene una componente che va giù,

che serve a far incurvare la traiettoria. Quindi, ha sia una componente verticale che una componente orizzontale.

3. Moto circolare uniforme

3.1. Spostamento angolare e radianti

Quindi immaginiamo che un moto parabolico è una serie di vettori che seguono la parabola. In un moto circolare, che cosa

sarà la posizione/lo spostamento? Come saranno rappresentati?

Nel moto circolare uniforme, la posizione sarà un vettore che spicca dall’origine, perché metterò l’origine degli assi al centro

⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗,

della circonferenza. Metto le posizioni e mi immagino di percorrere la circonferenza in senso antiorario. Come c’è la

1 2

convenzione di segno per cui verso l’alto salgo positivamente e verso il basso scendo negativamente, la convenzione del

verso delle rotazioni è: verso antiorario positivo e verso orario negativo. L’incremento angolare sarà cioè uno spostamento

angolare positivo se mi muovo in senso antiorario e sarà uno spostamento angolare negativo se mi muovo in senso orario.

Se tutti siamo d’accordo che lo spostamento è un vettore, è più difficile intuire che anche lo spostamento angolare sia un

vettore. 3

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È molto semplice vedere un vettore in due dimensioni perché disegniamo una freccia. Si dice però che, anche in una

dimensione, dove posso trattare il moto con oggetti scalari, in realtà i vettori spostamento sono scalari con segno: devo

stabilire se vanno a destra o a sinistra; tutte le volte che dobbiamo usare scalari con segno, quelli sono propriamente vettori

monodimensionali.

Dunque, poiché non basta l’intensità, e siccome devo decidere se sto girando orario e antiorario, lo spostamento è uno

scalare ma con segno, e dunque è un vettore, che sia in uno spazio monodimensionale, bidimensionale o tridimensionale.

Come faccio a rappresentare lo spostamento angolare come un vettore? Sul piano non sta bene. Devo solo dire se va a

destra o a sinistra e quindi posso immaginarlo come un vettore che entra o esce dalla lavagna. Usiamo l’esempio della vite:

l’avvitamento del cacciavite è negativo e lo svitamento positivo. Se avvito, giro in senso orario: quindi se entra nella lavagna,

lo spostamento è di segno negativo. Se svito, giro in senso antiorario: quindi se esce dalla lavagna, lo spostamento è di

segno positivo. Quindi lo spostamento angolare del vettore entra o esce dalla lavagna a seconda del suo segno.

Come si misura un angolo? In radianti. Non è vietato in gradi, ma il radiante è utile per alcune operazioni.

θ,

Cos’è il radiante? È costruito così: prendo l’arco sotteso dall’angolo una parte di traiettoria curva che chiamo s che si

misura in metri, e lo divido per r, il raggio della circonferenza su cui essa stessa giace. Dare una misura di angoli come

= ),

rapporto tra due lunghezze ( vuol dire darne una misura adimensionale in radianti. Un radiante non è come un

2 ,

grado: in una circonferenza lunga ci sono 6,28 radianti (2 radianti).

3.2. Accelerazione centripeta

(d⃗ d⃗)

Ogni curva localmente per può essere approssimata con una circonferenza. Si dice “raggio di curvatura” locale di

una traiettoria il raggio della circonferenza che meglio approssima la traiettoria localmente. Un grande raggio di curvatura

è una curva ampia, un piccolo raggio di curvatura è una curva molto stretta.

In un moto circolare uniforme, la traiettoria prosegue lungo una circonferenza. Quindi la circonferenza è un insieme di

punti che localmente sono sempre ben approssimati nel loro spostamento sempre dalla stessa circonferenza di raggio r.

Allora se sono ben approssimati tutti dalla stessa circonferenza, quando prendiamo un punto origine 0, ci spostiamo di

θ, θ.

delta e prendiamo un altro punto di origine/di arrivo 1. Abbiamo un percorso s e un angolo spazzato delta

∆⃗

Se la velocità in m/s non cambia lungo la traiettoria, si può andare a rappresentare al centro un che è diretto verso il

centro della circonferenza. Se non cambia la velocità lungo una circonferenza, quando faccio la differenza di due vettori

velocità che sono lunghi uguali (hanno gli stessi moduli), ho che la loro differenza, qualunque essi siano, va verso il centro

della circonferenza, quasi a metà strada tra i due nello spostamento s.

Intuiamo, quindi che, se la velocità non cambia di modulo, allora l’accelerazione, il delta v, ha una specifica direzione, che

non è né in avanti né in indietro, ma che va a cercare qual è il centro della circonferenza che meglio approssima localmente

la curva e si dirige verso il centro di quella circonferenza. 4

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Matematicamente, faccio la derivata della velocità e trovo l’accelerazione. Le sue componenti sono i due versori.

⃗ ⃗

In un sistema fisico, i vettori accelerazione, invece che essere scomposti lungo e lungo , si scompongono in una

componente che è perpendicolare alla tangente alla traiettoria e una componente che è lungo la tangente della traiettoria:

si scrivono con i segni e alla traiettoria. Però se introduco un altro sistema di riferimento, avrò un sistema di

⊥ //

riferimento che è individuato dalla congiungente a ogni punto con il centro del cerchio e poi l’altro asse lungo la tangente

a quel punto: non è un sistema di riferimento che va bene per tutti i punti. Ogni volta devo metterlo dove serve. È però un

sistema di riferimento utile perché dice la direzione dell’accelerazione: dice che c’è una componente che serve a curvare e

2

una che serve ad accelerare lungo la traiettoria in m/s .

3.3. Sistemi di riferimento

Fare la cinematica significa fare tutto. Se io so fare la cinematica, so la dinamica. Se so descrivere la cinematica, so descrivere

tutto perché nella cinematica c’è l’accelerazione, che è la grandezza legata alle forze.

Perché l’accelerazione è una grandezza speciale (non la velocità o la posizione)? Perché ha le qualità per descrivere ciò che

veramente succede? Pensate a F=ma.

Sto andando a 300 km/h su un treno, prendo il bicchiere, bevo l'acqua e lo metto giù, non mi succede niente. Chiudo i

finestrini e non so che mi sto muovendo a 300 km/h perché l’aria si muove con me.

Le leggi della fisica dentro il treno sono esattamente quelle di Newton: faccio F=ma, perché mi sto muovendo a velocità

costante, ad accelerazione nulla. Se l’accelerazione non c’è, tutto è equivalente.

Perché qui funziona F=ma? Perché la Terra gira così piano che non trovo fenomeni diversi.

Allora l’accelerazione è la grandezza speciale perché se c’è non funziona più F=ma. L’accelerazione è speciale: se non mi

accorgo che c’è oppure trascuro che c’è, non funziona più nulla.

Prendete due scienziati, metteteli su un’altalena a bilico però rotante (l’altalena ruota attorno a un perno). Ogni seggiolina

fa una traiettoria circolare. Se si spingono e poi si mettono ad andare ad una certa velocità costante, girano con un moto

che si chiama moto armonico. Ora uno dei due scienziati ha una palla in mano e decide, conoscendo le leggi della fisica, di

imprimerle una velocità (un moto parabolico, perché le fornisce una velocità diversa da zero sull’asse verticale) in modo da

farle fare una parabola. Lancia la palla al suo collega. La palla non arriva all’altro, ma esce fuori. Lo scienziato dice: “Le leggi

della fisica non funzionano più”. Non è così: è lui che sta girando.

Allora quando non funzionano più le leggi, è quando un oggetto è in un sistema di riferimento che è accelerato rispetto ad

un sistema di riferimento solidale con le stelle fisse.

Se mi muovo con un sistema di riferimento che si muove a velocità costante rispetto a quello delle stelle fisse, vale F=ma.

Se invece non si muove di velocità costante (non solo il mod