Riassunto esame Algebra e geometria lineare, Prof. Dardano Ulderico, libro consigliato Fioresi Morigi, Fioresi Morigi

Spazio vettoriale

Definisco uno spazio vettoriale su un campo K, l'insieme V di vettori dotato delle operazioni di somma e prodotto per uno scalare.

Teorema: proprietà elementari di uno spazio vettoriale

Sia V uno spazio vettoriale, allora ∀_v∈V e ∀_λ∈K, vale

• il vettore nullo v₀ è unico
• l'opposto -v di v è unico
• 0·v = 0
• λ·0 = λ·0_v

Dimostrazione:

• Siano o e ò due vettori nulli allora o = o₁ = ò₁, cioè o = ò e quindi il vettore nullo è unico.
• Siano a e b entrambi opposti di v si ha che a + v = o e b + v = o, quindi a + v = b + v per la proprietà associativa (a + v) + b = o + b = b e quindi l'opposto è unico.
• Si ha che v + (o + o) = o + v = o + v e sommando = o si ha: o = o_v.

Sottospazio vettoriale

Sia W un sottoinsieme dello spazio vettoriale V, t.c. w ∈ V, diremo che W è un sottospazio vettoriale di V se soddisfa:

• W ≠ ø
• W è chiuso rispetto alla somma
• W è chiuso rispetto al prodotto per uno scalare

Teorema: intersezione di sottospazi

Siamo S₁ e S₂ due sottospazi di V, allora S₁ ∩ S₂ è ancora un sottospazio.

Dimostrazione: Verifica della definizione

• S₁ ∩ S₂ ≠ ø perché per definizione ø ∈ S₁, S₂
• Chiuso rispetto alla somma.. v₁ e v₂ ∈ S₁ ∩ S₂ => v₁, v₂ ∈ S₁, che è un sottospazio e quindi v_i + v_j ∈ S₁, ragionamento analogo per S₂ quindi si ha v₁ + v₂ ∈ S₁ e v₁ + v₂ ∈ S₂ => v₁ + v₂ ∈ S₁ ∩ S₂.
• Chiuso rispetto al prodotto.. S₁ ∩ S₂, allora v ∈ S₁ e per ipotesi λv è S₁, ∀λ∈ℝ, lo stesso vale per S₂, quindi λv ∈ S₂ e λv ∈ S₁ allora λv ∈ S₁ ∩ S₂.

Teorema: somma di sottospazi

Siano S₁ e S₂ due sottospazi di V, allora la loro somma S₁ + S₂ è ancora un sottospazio.

Dimostrazione: Verifica della definizione

1. S₁ + S₂ ≠ ∅, per ipotesi ∅ ∈ S₁ e ∅ ∈ S₂, quindi si ha ∅ = ∅ + ∅ ∈ S₁ + S₂
2. Chiuso rispetto alla somma. Sia ω₁ + ω₂ ∈ S₁ + S₂ e ω' + ω'₂ ∈ S₁ + S₂, si ha che:
   • (ω₁ + ω₂) + (ω'₁ + ω'₂) = (ω₁ + ω'₁) + (ω₂ + ω'₂) e poiché ω₁ e ω'₁ ∈ S₁ e ω₂ e ω'₂ ∈ S₂ e quindi:
   • (ω₁ + ω'₁) ∈ S₁ e (ω₂ + ω'₂) ∈ S₂ e (ω₁ + ω'₁) + (ω₂ + ω'₂) ∈ S₁ + S₂.
3. Chiuso rispetto al prodotto. Sia ω₁ + ω₂ ∈ S₁ + S₂ e λ ∈ ℝ, allora (λω₁ + λω₂) ∈ S₁ + S₂ dato che λω₁ ∈ S₁ e λω₂ ∈ S₂.

Proposizione

• S₁ ∩ S₂ è il più grande sottospazio contenuto in entrambi.
• S₁ + S₂ è il più piccolo sottospazio che contiene entrambi.

Teorema Somma diretta di sottospazi

Sia V uno spazio vettoriale e S₁ e S₂ due sottospazi di V. Se ho che

1. S₁ + S₂ = V e
2. S₁ ∩ S₂ = {0}

Dimostrazione

Suppongo che la somma sia diretta, cioè che S₁ ∩ S₂ = {0}, se esistesse un v ∈ S₁ + S₂ t.c.v = v₁ + v₂ = v₁' + v₂', non verificherebbe la definizione. Allora sia per ipotesi che:

• v₁ - v₁' = v₂ - v₂' ∈ S₁ e S₂ e quindi v₁ - v₁' ∈ S₁ e se v₂ - v₂' ∈ S₂
• e so perché S₁ ∩ S₂ = {0} quindi v₁ - v₁' = 0 e quindi v₁ = v₁' e v₂ = v₂' e quindi v si scrive in modo unico.

Combinazioni lineari

Sia V uno spazio vettoriale t.c. (v₁, ..., v_m) ∈ V e siamo (λ₁, ..., λ_m) ∈ ℝ scalari, allora il vettore ω si può scrivere come ω = λ₁v₁ + λ₂v₂ + ... λ_mv_m e si definisce ω come combinazione lineare di (v₁, ..., v_m) con scalari (λ₁, ..., λ_m).

Spazio vettoriale generato

Sia V uno spazio vettoriale generato e {v₁, ..., v_m} un insieme di vettori di V, il sottospazio generato da {v₁, ..., v_m} è l'insieme di tutte le loro combinazioni lineari e si indica con ⟨v₁, ..., v_m⟩ o span{v₁, ..., v_m}.

Dimensione

Il numero di elementi di una base costituisce la dimensione dello spazio vettoriale e si indica con dim(V), quando tale numero è finito, cioè V è generato da un numero finito di vettori, allora V si dice di dimensione finita.

Lemma di Steinitz

Sia B={v₁,...,v_m} una base finita di V e X={w₁,...,w_m} un sottoinsieme ind. di V, allora m ≤ n, cioè in uno spazio vettoriale di dimensione finita il numero di vettori lin. ind. che appartengono a un sistema libero non può mai superare la dimensione, cioè m ≤ dim(V).

Teorema di equipotenza delle basi

Tutte le basi di uno stesso spazio vettoriale finitamente generato hanno lo stesso numero di elementi (stessa dimensione).

Dimostrazione

Siano B₁ e B₂ due basi di V t.c. B₁={v₁,...,v_m} e B₂={w₁,...,w_m}, suppongo per assurdo che m ≥ m, allora io scelgo B₁ in quanto base è linearmente indipendente, se vado ad aggiungere m-m vettori di B₂, poiché B₁, insieme indipendente massimale, avrò che i vettori ottenuti sono lim. dipendenti e ho raggiunto l'assurdo. Avrò necessariamente n=m.

Corollario

Se X è un sottoinsieme di V t.c. X è formato da m=dim(V) <∞ vettori, allora valgono:

• X è una base
• X è un insieme di generatori
• X è indipendente

Teorema della dimensione

Sia F: V -> W un'app. lineare, allora dim(V) = dim(Ker) + dim(Im).

Dimostrazione

Sia B una base del Ker, per il Teorema del completamento possiamo completare B = {u₁, u₂, ..., u_r} con r < n = dim(V) a una base di V e posso farlo perché u₁, u₂, ..., u_m sono lin. indipendenti per ipotesi, quindi avrò B₁ = {u₁, ..., u_R, v_R+1, ..., v_n} (base di V).

Ora so che le immagini dei vettori sono un sistema di generatori per Im(F) ovvero:

Im(F) = {F(u₁), F(u₂), ..., F(u_R); F(v_R+1), ..., F(v_n)} e essendo {u₁, ..., u_R} una base del nucleo si ha che F(u₁) = F(u₂) = ... = F(u_R) = 0 allora Im(F) = {F(v_R+1), ..., F(v_n)}, adesso devo mostrare che {F(v_R+1), ..., F(v_n)} sono indipendenti:

λ_R+1F(v_R+1) + ... + λ_nF(v_n) = 0 e per la linearità riscrivo: F(λ_R+1v_R+1 + ... + λ_nv_n) = 0 cioè si ha che λ_R+1v_R+1 + ... + λ_nv_n ∈ Ker(F) e quindi può essere espresso come comb. lineare di B:

λ_R+1v_R+1 + ... + λ_nv_n = α₁u₁ + α₂u₂ + ... + α_Ru_R + v_R+1 + ... + λ_nv_n = 0 e questa altro non è che una comb. lineare di B₁ di V e quindi dovrà essere necessariamente λ_i = 0.

Isomorfismo

Un'app. lineare F: V -> W si dice isomorfismo se è invertibile (iniettiva e suriettiva) e due spazi vettoriali V e W si dicono isomorfi se esiste un isomorfismo F: V -> W allora si dice che V è isomorfo a W: V ≅ W.