Riassunto esame Algebra e geometria lineare, Prof. Dardano Ulderico, libro consigliato Fioresi Morigi, Fioresi Morigi

Spazio vettoriale

Definisco uno spazio vettoriale su un campo K, l’insieme V di vettori dotato delle operazioni di somma e prodotto per uno scalare.

Teorema: proprietà elementari di uno spazio vettoriale

Sia V uno spazio vettoriale, allora ∀_v̅∈V e ∀_λ∈K, vale

• il vettore nullo _v̅0 è unico = _θ̅
• l’opposto -_v̅ di _v̅ è unico
• _θ̅·_v̅ = λ·_θ̅

Dimostrazione:

• Siamo _θ̅ e _θ̅’ due vettori nulli allora _θ̅ = _θ̅’+_θ̅’=_θ̅’, cioè _θ̅ =_θ̅’ e quindi il vettore nullo è unico.
• Siamo â e b entrambi opposti di _v̅ si ha che λ̂_v̅ = _θ̅ e b+_v̅ = _θ̅, quindi λ̂=λ=λ̂+(_v̅+b)=, per la proprietà associativa: (λ̂+_v̅)+(b=_λ) b=_λ-b=b e quindi l’opposto è unico.
• Si ha che -(_v̅+_θ̅)+(λ)|v̅, allora _θ̅+_v̅+_θ̅ e sommiamo _θ̅=_θ̅’‘’ si ha Sub>θ̅ - _θ̅.

Sottospazio vettoriale

Sia W un sottoinsieme dello spazio vettoriale V, t.c. W⊆V, diciamo che W è un sottospazio vettoriale di V se soddisfa:

• W≠∅
• W è chiuso rispetto alla somma
• W è chiuso rispetto al prodotto per uno scalare

Teorema: intersezione di sottospazi

Siamo S₁ e S₂ due sottospazi di V, allora S₁∩S₂ è ancora un sottospazio.

• Dimostrazione: Verifica della definizione
• S₁∩S₂ ≠∅ perché per definizione θ̅ ∈ S₁, S₂
• Chiuso rispetto alla somma: v₁ e v₂ ∈ S₁ e S₂⇒v₁+v₂ ∈ S₁ e S₂ che è un sottospazio e quindi v₁+v₂ ∈ S₁, il ragionamento è analogo per S₂, quindi si ha v₁+v₂ ∈ S₁ e v₁+v₂ ∈ S₂ ⇒ v₁+v₂ ∈ S₁∩S₂.
• Chiuso rispetto al prodotto: v₁ ∈ S₁ e S₂, allora v₁ ∈ S₁ e per ipotesi λv₁ ∈ S₁, ∀λ∈IR, lo stesso vale per S₂, quindi λv₁ ∈ S₁ e λv₁ ∈ S₂, allora λv₁ ∈ S₁∩S₂.

Spazio vettoriale

Definisco uno spazio vettoriale su un campo K, l'insieme V di vettori dotato delle operazioni di somma e prodotto per uno scalare.

Teorema: proprieta elementari di uno spazio vettoriale

Sia V uno spazio vettoriale, allora ∀v ̅ ∈ V e ∀λ ∈ K, vale

• il vettore nullo v₀ è unico = o̅
• l'opposto -v̅ di v̅ è unico
• o̅ ⋅ v̅ = λ ⋅ o̅

Dimostrazione:

• Siano o̅ ̅ e o̅ ̅' due vettori nulli, allora o̅ ̅ = o̅ ̅' ⋅ o̅ ̅' = o̅ ̅', cioè o̅ ̅ = o̅ ̅' e quindi il vettore nullo è unico.
• Siano a̅ e b̅ entrambi opposti di v̅, si ha che a̅ + v̅ = o̅ ̅ e b̅ + v̅ = o̅ ̅, quindi a̅ = b̅ + o̅ ̅ = a̅ + (v̅ + b̅) = per la proprietà associativa (a̅ + v̅) + b̅ = o̅ ̅ + b̅ = a̅ = b̅ e quindi l'opposto è unico.
• Si ha che o̅ ̅= (o̅ ̅ + o̅ ̅) + v̅ = o̅ ̅ + v̅, allora o̅ ̅ ⋅ v̅ + o̅ ̅ ⋅ v̅ e sommando = o̅ ̅'' si ha: o̅ ̅: o̅ ̅ v̅

Sottospazio vettoriale

Sia W un sottoinsieme dello spazio vettoriale V, t.c. w̅ ∈ V, diciamo che W è un sottospazio vettoriale di V se soddisfa:

• W ≠ ∅
• W è chiuso rispetto alla somma
• W è chiuso rispetto al prodotto per uno scalare

Teorema: intersezione di sottospazi

Siano S₁ e S₂ due sottospazi di V, allora S₁ ∩ S₂ è ancora un sottospazio.

• Dimostrazione: Verifica della definizione
• 1) S ₁ ∩ S₂ ≠ ∅ perchè per definizione o̅ ̅ ∈ S₁, S₂
• 2) Chiuso rispetto alla somma. v₁, v₂ ∈ S₁ ∩ S₂ ⇒ v₁, v₂ S₁, che è un sottospazio e quindi v₁ + v₂ ∈ S₁, il ragionamento è analogo per S₂, quindi si ha: v₁ + v₂ ∈ S, e v₁ + v₂ ∈ S₂⇒ v₁ + v₂ ∈ S₁ ∩ S₂.
• 3) Chiuso rispetto al prodotto. v̅ ∈ S ₁ ∩ S₂, allora v̅ ∈ S,₁ e per ipotesi λ ⋅ v̅ ∈ S₁, ∀λ ∈ I,R lo stesso vale per S₂