Riassunti per l'esame di fisica tecnica

POSTULATO DI FOURIER

Alla base dello studio della trasmissione del calore per conduzione ... espresso mediante questa formula:

dQ = -λ dS dτ ∂T/∂n

la quantita di calore dQ che attraversa in direzione normale (nel ...alla derivata di T dalla temperatura rispetto alla variabile geometrica ...in verso opposto.

EQUAZIONE DI FOURIER

In un trasferimento di calore per conduzione è possibile ricavare la funzione ...e delle coordinate geometriche (T=f(x,y,z,t)), inoltre essa deve essere integrabile ...

• ... intorno ad un punto generico del campo termico un elemento ...
• ... del postulato di Fourier, la quantita di calore che entra nell' ...

... conservazione del calore che serve dalle facce per ...

dλx = -λ ⋅ dy ⋅ dz ⋅ dτ ⋅ ∂T/∂x = calore entrante

dλQx + dλQx = λ dτ ∂/∂x (∂T/∂x) → calore rimosso ...

... rimosso nel volume lungo la ...

... punto del campo in un determinato ...

Lastra Piana in Regime Stazionario Senza Generazione Interna di Calore

In una lastra piana in regime stazionario senza generazioni interne di calore, per valutare l'andamento della funzione temperatura, procedo nel seguente modo:

• Le ipotesi per risolvere il problema sono:
  • Materiale omogeneo e isotropo
  • Strato di lunghezza finita nella direzione trasversale
  • Temperature istante alle facce limite
  • No dispersioni esterne
• Poiché ci troviamo in regime stazionario e senza generazione interna di calore, l'equazione di Fourier può essere scritta nel seguente modo:

∇²T = 0

∂²T/∂x² = 0

∂T/∂x = 0

∫∂T/∂x = A

T(x) = Ax + B

I valori delle due costanti di integrazione si ottengono mediante le condizioni al contorno:

• T(x=0) = T₁
• T(x=λ) = T₂

B = T₁

A = (T₂ - T₁)/λ

Adesso sostituendo i valori ottenuti (grazie alle condizioni al contorno) nella equazione di partenza, ottengo:

T(x) = -(T₁ - T₂)x/λ + T₁

Abbiamo così ottenuto l'andamento della temperatura T in funzione di x. Analizzando l'equazione è facile notare che l'andamento della funzione è lineare; infatti la temperatura è espressa da una retta con pendenza negativa.

Quando ho parti in serie devo imporre una condizione fisica, ovvero che il flusso termico (ossia la quantità di calore nell'unità di tempo) che entra in una parete ed esce da un'altra è uguale:

dθ/dx = q = (T₁ - T₂)/∑R_t

• ΔT = T_o - T_s
• R_T = λ/S

Resistenza Termica

METODI NUMERICI NELLA CONDUZIONE

La determinazione del campo termico quando la geometria del corpo non è estremamente semplice diviene complicata ed inoltre nella pratica non ci interessa il campo termico in tutti i punti, ma solo in alcuni punti. Si ricorre per questo ad una distribuzione discreta (discretizzazione) ed in pratica una griglia di punti detta mesh. Si ottiene un'approssimazione accettabile ricorrendo ai metodi numerici. I metodi numerici consistono nel sostituire all'equazione di Fourier, alle derivate parziali dell'equazione in una condizione finita, Δx, Δy, Δz, Δt , delle variabili nel rettangolo. Inoltre, che i nodi di un reticolo di coordinate ^{- o} , ₁ , x , _Δx , y , _Δy , z Δz

Considerando una funzione μ(v), come mostrato in figura ho che: u₁ , u₂ , u₃ , Δu in corrispondenza del valore v₁ ho u₁, v₂ = v₁+Δv, v₃ = v₁ + 2Δv μ₃ = u₁ + Δu₁, μ₂ - u₁

Riguarda dopo avere scritto queste relazioni, non possiamo avere il rapporto incrementale nel punto _i , in quel punto.

RAPPORTO INCREMENTALE ANTERIORE Δu = u₁ - u₀ = ^Δμ_Δv RAPPORTO INCREMENTALE POSTERIORE Δu = u₂ - u₁ = Δμ Δv RAPPORTO INCREMENTALE CENTRALE Δu = u₂ - u₀ - ¹/2(_2Δν³)

Il rapporto incrementale del secondo ordine quindi può essere scritto come: ^Δμ = ^{μ₃ - μ₂ - (μ₂ - μ₁)} Δv ² -{u₁}

Dunque possiamo scrivere l'equazione di Fourier noto che: _ν Δ_{ΔΔT b2 b3 T-T0 T1-T0 Δx2}

Dunque la discretizzazione considerevola nello spazio nel tempo - ΔT _{b3 T-T0 x0 T - ΔT b3 xt T Δz y z}

Se consideri il regime stazionario: T₃ - 2T₂ ΔT ⁵ Δx - 2D Δx

tenta per azione intorno il dora oblique che T₃ + T₂ + i_{T5 + i4 + i46 + j Ti6 ⟹ 9k4f = ^{i hai9 0}}

Irraggiamento

Proprietà dei corpi come ricevitori di energia radiante

Quando un fascio di energia raggiante incide su di un corpo, una parte dell'energia viene da esso rinviata per riflessione, una parte viene assorbita e una terza parte attraversa il corpo. In base al principio di conservazione dell'energia, si può scrivere la seguente relazione:

Pinviata = Priflessa + Passorbita + Ptrasmessa

Adividendo questa equazione per Pinviata ottengo: 1 = r + a + t

• r = Priflessa/Pinviata ⇒ coefficiente di rinvio
• a = Passorbita/Pinviata ⇒ coefficiente di assorbimento
• t = Ptrasmessa/Pinviata ⇒ coefficiente di trasparenza

Se t è diverso da 0 il corpo è trasparente, mentre se t è uguale a 0, il corpo si dice opaco (r+a=1) e quindi l'energia raggiante non riesce ad attraversare il corpo.

I coefficienti r, a, t dipendono dalla lunghezza d'onda; dalla natura del corpo attraversato; dalla sua temperatura, dalla direzione d'incidenza della radiazione e dalla spessore dello strato.

Legge di Bouguer

Il coefficiente di assorbimento a dipende dalla natura del materiale e dalla spessore della lastra. Al fine di caratterizzare la capacità di assorbimento intrinseca del materiale, indipendentemente dalla spessore, si introduce la costante di assorbimento α.

Dal seguente disegno si può notare che si prende una potenza raggiante Px incidente sulla lastra; Px è la potenza rimanente alla fine della lastra ovvero la potenza assorbita. Si considera un tratto infinitesimo di spessore dx; la potenza Px entrando nello strato viene assorbita diminuisce di un valore infinitesimo pari a d(-dPx). Dunque secondo la legge di Bouguer si ha:

-dPx = αPx dx ←→ dPx = -α dx ↔ ln Px = -α x + cost

Per trovare la costante di integrazione impongo la condizione al limite: per x = 0 → Px = (Pi - Pr) dunque cost → ln (Pi - Pr) →

ln Px = -α x + ln (Pi - Pr) →

ln (Px/(Pi - Pr)) = -α x → Px = (Pi - Pr) e^-αx

La potenza uscente dalla traversa s'è proprio la potenza Px: Px = (Pi - Pr)e^-αx