Relazione tecnica del progetto d'anno 2023/2024

D

Si riportano i diagrammi delle CdS ottenuti con Ftool:

Figura 25: Taglio A1 piano xy

Figura 26: Momento flettente A1 piano xy

3.1.2 Analisi statica nel piano xz

Analogamente al piano xy, i carichi noti sono:

• Q = 6649 N

21 28

Figura 27: Schematizzazione A1 con Ftool nel piano xz

Come fatto per lo studio nel piano xy, si sconnette la trave in corrispondenza

dei carrelli inserendo due coppie iperstatiche x e y cosı̀ da avere:

• molteplicità dei vincoli esterni V = 2 + 1 + 1 = 4

e

• connessioni c = 2 + 2 = 4

• ·

gradi di libertà complessivi 3n = 3 3 = 9

• ≤ → →

V + c = 8 3n = 9 una volta labile spostamento δ

e Figura 28: Metodo dei momenti A1 xz

Equazioni di congruenza 2 2

AC AB BC ABBC CD

→ −Q

ϕ = ϕ [(−2x−0)−(−2Q )] = [(2x+y)]

CA CD 21 21

2 2

6EJ AC AC 6EJ (52)

CD DE δ

→ − − − →

ϕ = ϕ [(−2y x)] = [(2y 0)] δ (53)

DC DE 6EJ 6EJ DE

Equazione di piano 29

Equilibrio alla rotazione in D: ·

y = DE T (54)

ED

Equilibrio alla traslazione verticale in E:

→

T = 0 y = 0 (55)

DE

Avendo trovato y, dalla prima equazione di congruenza si trova x = 60703, 70775

N mm.

Studio delle CdS

Tratto OA: N = T = M =0 (56)

Figura 29: Studio delle CdS A1 xz

Si possono calcolare dunque facilmente i valori delle reazioni vincolari:

• V = 3291 N (in alto)

A

• V = 3358 N + 1164 N = 4522 N (in alto)

C

• V = 1164 N (in basso)

D

Si riportano i diagrammi delle CdS ottenuti con Ftool:

30

Figura 30: Taglio A1 piano xz

Figura 31: Momento flettente A1 piano xz

Si noti infine come sia B la sezione più sollecitata:

q 2 2 2

M = M + M + 0, 75M = 170803, 2216N mm. (57)

f,id,B t

f,xy f,xz

Calcolo del diametro minimo: r 32M f,id,B

3 = 18, 08mm. (58)

d =

min πσ amm

3.1.3 Verifica a torsione 4

2πd 4

J = = 10490, 43746mm . (59)

0 64

M t −4 ∗ −6

· ·

θ = = 1, 706 10 rad/mm > θ = 8, 7266 10 rad/mm. (60)

GJ

0

Pongo r

32M

M M 32M

t t t t

∗ ′ 4

→

=

θ = = d = = 38, 02mm > d = 36, 25mm.

int,R1

′ ′4 ′4 ∗

2πd

GJ Gπd Gπθ

G

0 64 (61)

31 ∗ π 1

· ·

Prendendo allora come angolo di riferimento θ = 1 rad/mm =

180 1000

−5

·

1, 74533 10 rad/mm si ha: r

M 32M 32M

M t t t

t ′

∗ 4

→

= d = = 31, 97mm < d = 36, 25mm.

=

θ = int,R1

′ ′4 ′4 ∗

2πd

GJ Gπd Gπθ

G

0 64 (62)

Tuttavia per avere un diametro che sia un multiplo di 5 cosı̀ da agevolare

il futuro montaggio dei cuscinetti e cosı̀ da assicurare un gioco sufficiente con

∗

il diametro interno della ruota R1 si è scelto come angolo di riferimento θ =

−5

1

π · ·

· rad/mm = 2, 269 10 rad/mm. In questo modo si ha:

1, 3 180 1000 r

M M 32M 32M

t t t t

∗ ′ 4

→ →

θ = = = d = 29, 94mm 30mm. (63)

=

′ ′4 ′4 ∗

2πd

GJ Gπd Gπθ

G

0 64 ′4

2πd

′ 4

J = = 79521, 56mm . (64)

o 64

M t

′ −5 ∗ −5

· ·

θ = = 2, 251 10 rad/mm < θ = 2, 269 10 rad/mm. (65)

′

GJ 0

La verifica è soddisfatta.

3.1.4 Verifica a flessione nel piano xy

≤ ≤

Tratto OA: 0 s 13, 91 mm [sx]

0 ′′

v = 0 (66)

0

′

v = c (67)

1

0

v = c s + c (68)

0 1 0 2

≤ ≤

Tratto AB: 0 s 34, 78 mm [sx]

1 V s

A 1

′′

v = (69)

1 EJ

21

V s

A

′

v = + c (70)

3

1 2EJ

31

V s

A

v = + c s + c (71)

1 3 1 4

6EJ

≤ ≤

Tratto BC: 0 s 52, 17 mm [sx]

2 −

R s V (AB + s )

21 2 A 2

′′ − (72)

v =

2 EJ

22

(−R + V )s V ABs

21 A A 2

′

v = + + c (73)

5

2 2EJ EJ

22

32

(−R + V )s V ABs

21 A A

v = + + c s + c (74)

2 5 2 6

6EJ 2EJ

32

≤ ≤

Tratto CD: 0 s 52, 17 mm [sx]

3 −

V (AC + s ) R (BC + s ) + V s

A 3 21 3 C 3

′′

v = (75)

3 EJ

23 −

− (V AC R BC)s

(V R + V )s A 21 3

A 21 C

′ + + c (76)

v = 7

3 2EJ EJ

33 23

− −

(V R + V )s (V AC R BC)s

A 21 C A 21

v = + + c s + c (77)

3 7 3 8

6EJ 2EJ

≤ ≤

Tratto DE: 0 s 46, 97 mm [dx]

4 −

R (DE s )

21 4

′′ (78)

v =

4 EJ 24

R s

R DE 21

21

′ −

s + c (79)

v = 4 9

4 EJ 2EJ

34

R DE R s

21 21

2 −

v = s + c s + c (80)

9 4 10

4 4

2EJ 6EJ

Equazioni associate ai vincoli (condizioni al contorno):

→

v (OA) = 0 c OA + c = 0 (81)

0 1 2

′ ′ →

v (OA) = v (0) c = c (82)

1 3

0 1 →

v (0) = 0 c = 0 (83)

1 4

3

V AB

A

→ + c AB + c = c (84)

v (AB) = v (0) 1 4 6

1 2 6EJ 2

V AB

A

′ ′ →

v (AB) = v (0) + c = c (85)

3 5

1 2 2EJ

2 3

−

V ABBC (V R )BC

A A 21

→

v (BC) = v (0) + + c BC + c = c (86)

2 3 5 6 8

2EJ 6EJ 2

−

V ABBC (V R )BC

A A 21

′ ′ →

v (BC) = v (0) + + c = c (87)

5 7

2 3 EJ 2EJ

2

− −

(V R + V )CD (V AC R BC)CD

A 21 C A 21

′ ′ →

v (CD) = v (0) + + c = c

7 9

3 4 2EJ EJ (88)

3 2

− −

(V R + V )CD (V AC R BC)CD

A 21 C A 21

→

v (CD) = 0 + +c CD+c = 0

3 7 8

6EJ 2EJ (89)

→

v (0) = 0 c = 0 (90)

4 10

→

v (0) = 0 c = 0 (91)

3 8

Risolvendo il sistema di 11 equazioni in 10 incognite (una ridondante per l’iper-

staticità) si trova:

• −0,

c = c = 000064910

1 3 33

• c = 0, 0009029

2

• c = c = c = 0

4 8 10

• c = 0, 0000041068

5

• −0,

c = 0014568

6

• −0,

c = 000027968

7

• c = 0, 00019153

9 ∗

′ ) = 0, con i = 0, 1, 2, 3, 4, e calcolando gli spostamenti in

(s

Ponendo infine v i

i

∗

questi punti s che ne annullano le derivate prime si trovano, se esistono, gli

i

abbassamenti massimi in ogni tratto. Il valore più grande è v (DE = 46, 97

4

mm) = 0, 01901 mm, che rappresenta quindi la freccia massima nel piano xy

f .

max,xy ′′ ∗∗

Ponendo invece v (s ) = 0, con i = 0, 1, 2, 3, 4, si trovano, se esistono, gli

i i ′ ∗∗

−v

angoli massimi in ogni tratto: infatti α = (s ). Il valore più grande è

i i i

′

−v −0,

α = (DE = 46, 97 mm) = 00051124 rad, la cui tangente è certamente

4 4 −3

minore di 10 . Figura 32: Linea elastica A1 nel piano xy

Figura 33: Rotazioni A1 nel piano xy

3.1.5 Verifica a flessione nel piano xz

≤ ≤

Tratto OA: 0 s 13, 91 mm [sx]

0 ′′

v = 0 (92)

0

′

v = c (93)

1

0

v = c s + c (94)

0 1 0 2

34

≤ ≤

Tratto AB: 0 s 34, 78 mm [sx]

1 V s

A 1

′′ −

v = (95)

1 EJ

21

V s

A

′ −

v + c (96)

= 3

1 2EJ

31

V s

A

− + c s + c (97)

v = 3 1 4

1 6EJ

≤ ≤

Tratto BC: 0 s 52, 17 mm [sx]

2 −

Q s V (AB + s )

21 2 A 2

′′

v = (98)

2 EJ 22

−

(Q V )s

V ABs 21 A

A 2

′ − + + c (99)

v = 5

2 EJ 2EJ 32

22 −

(Q V )s

V ABs 21 A

A

− + + c s + c (100)

v = 5 2 6

2 2EJ 6EJ

≤ ≤

Tratto CD: 0 s 52, 17 mm [dx]

3 −

V (CD s )

D 3

′′

v = (101)

3 EJ 23

V CDs V s

D 3 D

′ −

v = + c (102)

7

3 EJ 2EJ

33

23 V s

V CDs D

D − + c s + c (103)

v = 7 3 8

3 2EJ 6EJ

≤ ≤

Tratto DE: 0 s 46, 97 mm [dx]

4 ′′

v = 0 (104)

4

′

v = c (105)

9

4

v = c s + c (106)

4 9 4 10

Equazioni associate ai vincoli (condizioni al contorno):

→

v (OA) = 0 c OA + c = 0 (107)

0 1 2

′ ′ →

v (OA) = v (0) c = c (108)

1 3

0 1 →

v (0) = 0 c = 0 (109)

1 4

3

V AB

A

→ −

v (AB) = v (0) + c AB + c = c (110)

1 2 3 4 6

6EJ 2

V AB

A

′ ′ → −

v (AB) = v (0) + c = c (111)

3 5

1 2 2EJ

35

2 3

−

V ABBC (Q V )BC

A 21 A

→ −

v (BC) = 0 + + c BC + c = 0 (112)

2 5 6

2EJ 6EJ

→

v (0) = 0 c = 0 (113)

3 8

22

− V ABs

(Q V )s A 2

21 A

′ ′ −

→ + c = c (114)

v (BC) = v (0) 5 7

2 3 2EJ EJ

2 2

V CD V CD

D D

′ ′ → −

v (CD) = v (0) + c = c (115)

7 9

3 4 EJ 2EJ

3

V CD

D

→

v (CD) = 0 + c CD + c = 0 (116)

3 7 8

3EJ

→

v (0) = 0 c = 0 (117)

4 10

Risolvendo il sistema di 11 equazioni (una ridondante per l’iperstaticità) in 10

incognite si trova:

• c = c = 0, 00027983

1 3

• −0,

c = 0038925

2

• c = c = c = 0

4 8 10

• c = 0, 000041443

5

• c = 0, 0069755

6

• −0,

c = 000126427

7

• c = 0, 000063213

9 ′ ∗

Ponendo infine v (s ) = 0, con i = 0, 1, 2, 3, 4, e calcolando gli spostamenti in

i i

∗

questi punti s che ne annullano le derivate prime si trovano, se esistono, gli

i

abbassamenti massimi in ogni tratto. Il valore più grande è v (3, 171mm) =

2

0, 00704 mm, che rappresenta quindi la freccia massima nel piano xz f .

max,xz

′′ ∗∗

Ponendo invece v (s ) = 0, con i = 0, 1, 2, 3, 4, si trovano, se esistono, gli

i i ′ ∗&