Quantità di moto e impulso

Quantità di moto - impulso di una forza

\( \vec{F} = m\vec{a} = \frac{d\vec{p}}{dt} \)

se m varia nel tempo: \( \vec{F} = \frac{dm}{dt} \vec{v} + m\frac{d\vec{v}}{dt} \)

\( \vec{p} = m \vec{v} \) Quantità di moto

I equazione cardinale della dinamica

\( \frac{d\vec{p}}{dt} = \vec{F} \)

\( \Delta \vec{p} = \int_{\tau_1}^{\tau_2} \vec{F} dt = \int_{\tau_1}^{\tau_2} \Delta \vec{J} \) impulso della forza

Teorema dell'impulso

\( \Delta \vec{p} = \vec{J} \)

\( \vec{p}_a = m_a \vec{v}_a \, \, \, \vec{p}_b = m_b \vec{v}_b \)

\( \Delta \vec{p} = m_f \vec{v}_f - m_i \vec{v}_i = \int_{\tau_1}^{\tau_2} \vec{F}(t) dt = \vec{J} \Rightarrow \vec{J} = m\Delta \vec{v} \)

• \( u_a = v_a + \mu_a \)
• \( u_f = v_f (-\mu_a) \)

\( \Rightarrow \vec{J} = -m_1 \vec{v} - v_2 \mu_x \)

Conservazione della quantità di moto

\( \vec{J} = 0 \Rightarrow \Delta \vec{p} = 0 \)

Momento angolare

\( \vec{L}_o = \vec{r} \times \vec{p} = \vec{r} \times m\vec{v} \)

Momento angolare rispetto a \( o \)

• \( \vec{L}_o \perp \vec{r} , \vec{L}_o \perp \vec{v}, \vec{L}_o \perp \vec{r} , \vec{v} \)
• il piano in cui giacciono \( \vec{r} , \vec{v} \)
• \( |\vec{L}_o| = |\vec{r}| |\vec{p}| \sin \theta \)
• ^{massimo per} \( \theta = \frac{\pi}{2} \)
• _{minimo per} \( \theta = 0 \)

Quantità di moto - Impulso di una forza

F = m V̇ = d(m ̅) / dt = d̅ / dtse m varia nel tempo: F̅ = dm / dt ̅ + m d̅ / dt

F̅ = d̅ / dt ̅ = m ̅ Quantità di moto

I equazione cardinale della dinamica

∫ ̅ = ∫ ̅ Δ̅ = ∫ _t₁ ^t₂ ̅ = Δ ̅ Impulso della forza

Δ̅ = ̅ Teorema dell'impulso

• ̅ᵢ = m ̅ᵢ
• ̅ = m ̅
• Δ̅ = m ̅ - m ̅ᵢ = ∫ _t₁ ^t₂ (t) = ̅ => ̅ = m Δ̅
• ᵢ = u μ̂ᵢ
• = (-μ̂)
• ̅ = - m ₁ - 2 u μ̂₁

̅ = 0 => Δ̅ = 0 Conservazione della quantità di moto

Momento angolare

̅ₒ = ̅ x ̅ = ̅ x m ̅ Momento angolare rispetto a O

• ̅ = _|_ ̅; ̅ = _|_ ̅; ̅, ̅, ̅ sono sul piano in cui giacciono ̅ e ̅
• |̅ₒ| = |̅| |̅| sin θ
• massimo per θ = / 2
• minimo per θ = 0

Moto Circolare

\[\vec{L}_m = \vec{r} \times m\vec{v} = r \, m \, v \, \sin 90^{\circ} \, \hat{n} = m \, \vec{v} \, r \, \hat{n} \]

\[\vec{\omega} = \frac{\vec{u}_t}{L_{\nu}} \rightarrow \vec{L}_m = m \vec{u}_t \frac{r}{\omega} \]

\[\vec{L}_m = r \, m \, y \, \times \, \vec{\omega} \]

Moto Circolare

\[\vec{L}_m = m \, r \, \hat{n} \, \cdot \, \vec{\omega} \]

Momento Di Una Forza

\[\frac{d}{dt} \vec{L}_m = \frac{d}{dt}(\vec{r} \times m\vec{v}) = \frac{d}{dt} \vec{r} \times \vec{m} + \frac{d}{dt} \vec{r} (m\vec{v}) \]

Se \(\vec{a} \, \mathrm{luss} \) \((\vec{r} \times \vec{u}_m = 0)\)

\[\frac{d}{dt} \vec{L}_m = \vec{r} \times \frac{d}{dt} \vec{p} = \frac{d}{dt} \vec{r} \times \vec{F} \]

\[\vec{M}_n = \vec{r} \times \vec{F} \]

Momento di \(\vec{F}\) Rispetto a \(n\).

\[\frac{d}{dt} \vec{L}_m = \vec{M}_n \] II Equazione Cardinale Della Dinamica

\[\vec{M}_n = 0 \Rightarrow \frac{d}{dt} \vec{L}_m = 0 \] Conservazione Momento Angolare

\[d \chi\]

\[\Delta L_{m_{\varsigma}} = 0 \]

\[L_1 = m \, R_1^2 \omega_1 \, \hat{u}_{\varsigma} \]

\[L_2 = m \, R_1^2 \, \omega_2 \, \hat{u}_{\varsigma} \]

\[\varphi R_1^2 \omega_1 = \varphi R_1^2 \omega_2 \]

\[\omega_2 = \omega_1 \frac{R_2^2}{R_1^2} \Rightarrow \omega_1 \]

Teorema del momento dell'impulso

d_t2 = ₂

dt2 = 2 + C1 ∫ t1t2 A dt

dt2 = 2 - C2 ∫ t1t2 A dt

=!

× ≠

nel ciclo ⇒ costante ⇒ ₂ = × _f ∫ t₁^t dt = × _f J momento dell'impulso

Lavoro associato al momento

_A = ∫ _A^B ( = Q_A

Q_B = F_AQ_B)

Q_A Q_B

_CA ( θ Q_A)

Riassunto

• QDM

̇ = ̇

• Forza

• 2^o Newton 1 eq. cardinale

d∫_(td) =

• Teorema impulso

_ = ∫ t₀^t₁ F(t) dt

• Lavoro

= ∫ F

• Lineari

• Angulari

₂ = ×

• Momento angolare

• Momento

₂ = ×

• II eq cardinale

d_C/d_t = ₂

• Teorema momento impulso

₂ = ̇ × _

• Lavoro in funzione del momento

= ∫ _A θ

FORZE CENTRALI A SIMMETRIA SFERICA

FORZA CENTRALE

• Se la direzione della forza passa in ogni punto per il centro della forza.
• Il modulo di |F| dipende solo dal raggio vettore.

_ⓗF_ⓗ(x), |_ⓗC

|F|=F(x) ⋅ _ⓗn, verso radiale

• F(x) > 0 REPULSIVA
• F(x) < 0 ATTRATTIVA

A SIMMETRIA SFERICA se il suo modulo dipende SOLO dalla DISTANZA dal centro

_ⓗF_ⓗ(x) = |F| ⋅ _ⓗn

ex.

• SOLO CENTRALE
• CENTRALE A SIMMETRIA SFERICA

Moto di un corpo (forze centrali)

• M_c = _ⓗr x _ⓗF = 0
• M_c = d_ⓗL_c / d_t

→ L_c costante

Il momento angolare si conserva

• Direzione di _ⓗL_c costante: piano di _ⓗr costante
• Verso di _ⓗL_c costante: _ⓗr percorsa nello stesso verso
• Modulo di _ⓗL_c costante: _ⓗL_c = _ⓗr x m_ⓗv, _ⓗL_c = _ⓗr x m(_ⓗv0ⓗθd₀ + ⓗ_ⓗd_n), _ⓗL_c = m ⋅ r_c ⋅ u x ⓞd_ⓗn, _ⓗL_c = m ⋅ r_x;ⓗ_Ω
• _μ x Ϊ