Psicometria: uno studio semplice per una materia complessa

DISTRIBUZIONE BINOMIALE

“Testa”:X = 0 (se si verifica “Croce”) P(X=0) = 1/2

X = 1 (se si verifica ”Testa”) P(X=1) = 1/2

Questa distribuzione si definisce come (solo in questo caso si può chiamare “Bernulli“

Binomiale 1, 1 ⁄ 2”1⁄2”, dal nome dello studioso che l’ha definita per primo

SVILUPPO BINOMIALE

Formula per il calcolo della probabilità di ottenere una determinata sequenza di “successi/insuccessi” in un

campione di osservazioni di ampiezza n attraverso il modello rappresentato dalla distribuzione di

probabilità della distribuzione binomiale Esempio:

n (numero di tentativi ) = 10• R (numero dei risultati favorevoli) = 7• P ( probabilità che, per ogni prova, si verifichi il risultato che ci interessa) = .50••

Q = 1 - p significa sbagliare

Qual é la probabilità di sbagliare almeno 7 volte su 10 (invece di esattamente 7 su 10)? ——>7, 8, 9, o 10

La probabilità associata per ottenere 5 risposte esatte rispondendo a 10 quesiti dicotomici, vado a vedere la probabilità associata a ciascun successo dato le 10 prove, la probabilità di successi è 5.

Dall'incrocio ottengo la probabilità.

DISTRIBUZIONI DI PROBABILITA' PER VARIABILI CASUALI CONTINUE

Come già detto per la distribuzione di probabilità di una variabile discreta, la somma dei valori di una distribuzione teorica di probabilità è sempre uguale a 1.

L'andamento di variabili casuali continue invece è descritto probabilisticamente da una distribuzione normale la cui funzione di densità ha la stessa proprietà — la totalità dell'area al di sotto della curva normale è infatti uguale a 1. Non si può più sapere il valore per ogni singola probabilità, poiché abbiamo una linea costituita da un

numero infinito di punti.

Abbiamo a che fare con una distribuzione di densità

Possiamo tuttavia calcolare la probabilità esistente in determinati intervalli area—-> Per calcolare l'area compresa tra l'intervallo che va dal punto 0 al punto z, utilizziamo le tavole della distribuzione normale

Consultando la Tavola trovare:

La probabilità di ottenere per caso uno z uguale o superiore a -0,4;

La percentuale di casi compresa tra z = -0,40 e z = 0,55;

Il punteggio z che lascia alla sua destra il 5% dei casi;

Il punteggio z corrispondente al 25° percentile (P25);

Al di là di quali valori di z si trova l'1% dei casi estremi (considerando una metà a destra e una metà a sinistra).

LA STATISTICA INDUTTIVA

Modulo 8 stima di parametri statistici; test di ipotesi parametriche e non parametriche.

Statistica induttiva —-> Punto di partenza costituito dal dato empirico a nostra disposizione

Segue la suddivisione tra

Per una applicazione della statistica induttiva ottimale è fondamentale una corretta procedura di estrarre a caso dalla popolazione un certo numero di casi in modo da ottenere un campionamento - insieme più piccolo di soggetti che riproduce esattamente la popolazione per tutte le sue proprietà misurabili.

Campione rappresentativo

Differenza di campioni estratti dalla stessa popolazione - Al crescere della numerosità dell'osservazione, la forma della distribuzione risulta avvicinarsi alla forma teorica della popolazione.

Statistiche campionarie diverse tra loro:

• Indice calcolato sul campione - Indice calcolato sulla parametro popolazione - distribuzione di ciascun campione, con la propria statistica formata dai valori delle statistiche calcolate.

Distribuzione del campione: sample distribuitions - propria statistica formata dai valori delle statistiche calcolate.

Distribuzione campionaria:

sampling distribuition ——->sui campioni di uguale umorista estratti in modo casuale / probabilistico

Proprietà distribuzione campionaria della media:

• Media centrata sulla media della popolazione (molto simile)
• Deviazione standard : sempre più piccolo della
• errore standard —->deviazione standard di ciascun campione e della popolazione

teorema del limite centrale

Queste proprietà sono riunite nel La distribuzione campionaria di una——->statistica è quasi normale, centrata sulla media della popolazione, con una deviazione standard (errorestandard) pari alla deviazione standard della popolazione diviso la dell’ampiezza del campione.

Condizioni per l’applicazione:

le osservazioni campionate devono essere indipendenti:

Indipendenza:

• campionamento casuale/assegnazione casuale ai gruppi sperimentali
• se il campionamento è senza reinserimento, allora n < 10% della popolazione

la distribuzione della

popolazione deve avere Ampiezza campione/Asimmetria: essere normale, oppure se la forma della distribuzione della popolazione è asimmetrica il campione deve essere sufficientemente numeroso ——> n > 30

Errore standard (SEM) Quantità che costruisce lo scarto tipo della distribuzione campionaria Poniamo che la variabile età in una popolazione abbia deviazione standard σ ———> esempio:= 13.586, allora: Un campione di ampiezza n = 1 estratto da questa popolazione ha SEM = 13.586 / √1 =• 13.586 Un campione di ampiezza n = 10 estratto da questa popolazione ha SEM = 13.586 / √10 =• 4.296 All'aumentare di N, l'errore standard diminuisce

N.B: Se l'errore standard è molto piccolo avremo una curva normale leptocurtica Esempio: • Il tempo medio impiegato per memorizzare una storia complessa da soggetti in età evolutiva (età compresa tra 8-10 anni) è di 44 minuti con una

deviazione standard uguale a 5. Viene estratto in modo casuale un campione costituito da 38 bambini appartenenti a questa fascia di età.

QUAL È LA PROBABILITÀ CHE LA MEDIA DEL CAMPIONE IN ESAME SIA MINORE DI 44.7?

La probabilità deve essere calcolata tenendo conto che abbiamo:

• Un campione: n = 38 bambini (n > 30) possiamo dunque utilizzare il teorema del limite centrale
• Una variabile metrica (a rapporti): Tempo di memorizzazione (misurato in minuti).

Calcolo punto z: Media - media della distribuzione campionaria / l'errore standard. Vado a controllare sulla tavola l'area di probabilità: .3051 che lo sommo con 0,5 = 0.8051. Questa porzione di area rappresenta la probabilità del campione composto da 38 bambini di età compresa tra 8 e 10 anni di impiegare un tempo medio inferiore a 44.7 minuti, ovvero p (M < 44.7) = .8051 (circa 80%). L'inferenza statistica si basa sulla teoria.

Ritiene ricada il valore di un parametro. La probabilità associata al fatto che il livello di fiducia intervallo contenga il parametro è denominata il cui valore è --> livello di probabilità prossimo a 1 (evento certo), come 0,95 o 0,99. Per costruire un intervallo di confidenza, si aggiunge e si sottrae dalla stima puntuale qualche multiplo (uno z-score) del suo errore standard. Questo multiplo dell'errore standard è il margine di errore. L'intervallo di confidenza assume la forma:

CALCOLO INTERVALLI DI FIDUCIA PER LA MEDIA

Caso in cui è noto lo scarto tipo della popolazione

I valori usati per costruire un intervallo di fiducia per la media con scarto tipo noto sono 3 della popolazione saranno:

La stima della media

Supponiamo che lo scarto tipo dei punteggi