Processo di Poisson

Processo di Poisson omogeneo

1. Definizione di base

()

Sia il numero di arrivi in un sottoinsieme dello spazio considerato. Un processo di Poisson

omogeneosoddisfa: , , … ,

1. Esistono K sottoinsiemi disgiunti tali che

! " #

∩ = ∅per ≠ .

ogni

$ %

2. Il numero di arrivi in ciascun sottoinsieme disgiunto è indipendente:

( ), ( ), … , ( ) sono indipendenti.

! " #

( )

3. Ogni ha distribuzione di Poisson:

$ ( ) ∼ ( )),

Pois(

$ $

( ) > 0

dove è la misura di Lebesgue dell’insieme e è un parametro costante.

$ $

L’indipendenza dei sottoinsiemi disgiunti e la proporzionalità alla misura porta ad avere incrementi

stazionari.

2. Distribuzioni congiunte per insiemi non disgiunti

Se consideriamo due sottoinsiemi e che possono non essere disgiunti, possiamo ricondurci al

caso disgiunto:

1. Scomponiamo e in sottoinsiemi disgiunti:

= ( ∖ ) ∪ ( ∩ ), = ( ∖ ) ∪ ( ∩ ).

2. Definiamo: ( ∖ ), ( ∖ ), ( ∩ ),

che sono sottoinsiemi disgiunti e quindi indipendenti.

3. Allora: () = ( ∖ ) + ( ∩ ), () = ( ∖ ) + ( ∩ ).

() ()

4. Possiamo così calcolare la distribuzione congiunta di e partendo dalle Poisson

indipendenti dei sottoinsiemi disgiunti.

Questo permette di costruire tutte le marginali finite-dimensionali, soddisfacendo la condizione di

Kolmogorov.

3. Somma di variabili Poisson per insiemi disgiunti

Sia e disgiunti: ∩ = ∅, = (), = ()

& '

con distribuzioni: ∼ ∼

Pois(()), Pois(()),

& '

e indipendenti.

Allora: + ∼ + ()) = ∪ )).

Pois(() Pois((

& '

Questo mostra che la distribuzione del numero di arrivi nell’unione di insiemi disgiunti è ancora

Poisson con parametro proporzionale alla misura totale dell’area.

4. Continuità del processo

Supponiamo di avere una successione decrescente di insiemi :

(

)

⊃ ⊃ ⋯ ⊃ ⊃ ⋯ , = ∅.

:

! " ( (

(*!

Allora: +,-(& )

ℙ[( ) = 0] = .

!

(

( ) → 0,

Poiché vale:

( 0

ℙ[( ) = 0] → = 1quando → ∞.

(

Questo garantisce la continuit&a