Probabilità, Statistica

24/10/13

PROBABILITÀ

SCUOLA CLASSICA

La probabilità di un evento (E) è il rapporto tra il numero di casi favorevoli e verificarsi di (A) ed il numero di casi possibili (ossia che possa essere tutto quello che possibile può capitare):

P(E) = m/n

m: numero casi favorevolin: numero casi possibili

SCUOLA FREQUENTISTA

Dato un esperimento ripetibile di un evento tra quelli possibile la probabilità è data dal limite cui tende la frequenza relativa con cui l'evento si verifica:

P(E) = lim(n→∞) h/n

(h=No)

SCUOLA SOGGETTIVISTA

La probabilità di un evento (E) è la somma che un individuo coerente è disposto a pagare pur di ricevere un'unità di conto A vintù se E si verifica.

La scienza discende dall'evento aleatorio. I casi sono diversi fra loro, ma qualcuno si comporta precludi sull'equiprobabilità dei risultati e sulla ripetibilità dell'esperimento.

Da ciò si può dedurre che la probabilità di certi di eventi si occupa tra:

0 < P(E) < 1

√(t) = 1

Se consideriamo due eventi incompatibili, cioè due eventi che non si influenzano contemporaneamente e l'aggregazione espressa logica e transporto logica porta a:

l'evento impossibile.

A ∩ B = Ø ⇨ P(A ∪ B) = P(A) + P(B)

Constato questi assiomi, si possono costruire le teorie fondamentali: Avenne rappresentando tramite diagrammi di Venn.

Ogni insieme è elenco degli elementi elementari.

E = {E1, E2, ... En}

U (≻)(inclusione universale) E1 ⊆ T

E1 ∩ E2 = Ø (i ≠ j)

Rapporto tra i vari fondamenti

... con parole (carattere di vera espressione pratica) SCUOLA CLASSICA

Questa viene detta statistica ancora: il punto è sviluppato con Sinistra definizione basata su una definizione

SCUOLA FREQUENTISTA

SCUOLA SOGGETTIVISTA

SCUOLA ASSIOMATICA

3 concetti particolari:

PROBABILITA EVENTO, PROVA

Definire 3 assiomi = affermazioni che reggiamo vere e non obiezione fumisone (poste)

1. E definisco con (E) la probabilità dell'evento è quindi

2. Se si considera l'evento cero, invece lo indichiamo con I la probabilità è quindi

Da ciò si può dedurre che la probabilità di un qualsiasi evento è compresa tra 0 e la somma dei vari eventi

3. Se si considerano due eventi incompatibili, cioè due eventi che non possono verificarsi contemporaneamente che soddisfano operazioni logiche, (complementari al congiunzione)

(Scomposizione di questo concetto si possono con naturalle tecnica polinominale → teorema rappresentazione teoriche (V diagrama di VENN)

P(E|A)

Bayes, inversando il concetto di probabilità condizionata

P(A|E) = P(E|A) P(A) / P(E)

P(A|B) = P(A₁) P(B|A₁) / P(B)

P(A) = P(E)

Teorema di Bayes

P(A₁) P(E|A₁) / P(E)

P(E|A) = probabilità a priori

P(E|A) = probabilità posteriori

Principio delle classi totali nel caso in cui A, E.... l’evento possa avvenire per n superfici

P(E) = P(A)

Probabilità a priori

• P(E) a priori
• P(E|A) probabilità posteriori

P(A) P(E|A) / P(E)

NB Bayes fa che dato un evento vuole le cause che possono A A - E

Probabilità a priori e associare le cause

Probabilità posteriori

P(E|A) = 4/3 = 5/10 / P(E) I Urna 4/3P(E)

P(E|A) = 2/3 = 2/10 / P(E) II Urna 4/3 P(E)

P(E) = P(E|A) * P(E|A) => TABELLA A DUE V IE O A DOPPIA ENTRI +

MARGINE ( non tabella a doppie entrate)

P(E|A) = probabilità a priori

P(A) = probabilità

P(A|E) = probabilità a posteriori

P(A)|= P(E|A) /P(E)

P(A) =P(E|A) P(E)

VARIABILE CASUALE BINOMIALE

V.C. \( X \sim B(N,π) \)

x: 0, 1, 2,...,N

p(x): probabilità di successo in N prove

\( P(X = x) = {N \choose x} π^x (1-π)^{N-x} \)

ESERCITAZIONE

1. \(Ω = {1^1, 4^2, 6^1, 8^1, 10^3}\)

   L'esperimento estraggiamo un numero.

   • A = {2, 3, 4, 6, 8, 10}
     • P(A) = 5/10 = 0.5
     • B = {7, 8, 5, 9, 3, 4, 10}
       • P(B) = 6/10 = 0.6
       • A∩B?
         • P(A∩B) = {8, 4} = 2/10 = 0.2
           • e)A∪B =?
             • P(AUB) = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10} = 7/10 = 0.7
             • P(AUB) = P(A) + P(B) - P(A∩C) = 0.5 + 0.6 - 0.2 = 0.9 (SOLO QUANDO GLI EVENTI SONO COMPATIBILI)
             • Estraiamo casuale da un mazzo di carte ∅ = {57, 2 3 4, 60}
             • Estraiamo 3 bossoli e lasedia
               • P(T) = 9/40 = 0.2
               • P(B) = 10/40 = 0.25
               • P(T∩B) = 05 * .025 = .2025

V.A.R. delle VARIANTE CASUALE BINOMIALE

Prello questo si un random che ha due variabile

Casuale ovvero un numero positivo del campione del

Binomiale del calcolo delle

probabilità è:

Positivà   ≥0

E sarà :

NON B moltiplicato per n dalla 0 alla N con la probablità unica

n

P(X = x) (1 - π)  (1 - π)

Con la binomiale casuale cwe ha cresce

• χ = E(x) = nπ
• V(X) = nπ(1-π)

VAR(X) = VAR (Σ χ_i) = Σ VAR(χ_i) = nπ(1-π)

Binomiale relativa

BINOMIALE RELATIVA

• v.c. X/n ∼B (n,π)
• E (χ/n) = 1/n E(x) = 1/nπ = π
• VAR(X/n) = VAR(X)/n = 1/n² n π (1-π) = π(1-π)/N;

ERO sempre uguale alla probabilità di successo diviso il numero delle prove

n.berosità del campione se al crescere di N la VAR tende a 0, per maggiore informazione più tendono corrispondenti alla media

Modeli di probabilità : Variabili casuali continue

Descriviamo le frequenze che possono accadere in un prefisso di un intervallo di tempo

Quando accade la probabilità caratterizzata non può essere minore di 1 se n può avere funzione che ha 1 varianza variabili che accadono

Non pit bose

R² per φαR  = 0

iseaux

Esempio

v.c.x ∼ N (100, 0.5)

• aumento delle variate per n = 100
• μ = 100
• σ = 1/2

2) Probabilità che una certa variate sia 30 volte o più su 70 volte

P(X ≥ 30) + P(X ≥ 30) ⇒ standardizzo ⇒ P(z ≤ 50₅) + P(z ≥ 50₅) = P(z ≤ 4) + P(z ≥ 4) = 2P(z ≥ 4)

3) Graficamente avremo

π/0 π ⇒ π/σ

AB

Teorema del limite centrale

• Per occuparci una formula utile normale, effettua una normale p di variabile casuale x equivalente ai parametri lim ∞
• L.C.T identifica sintesi di osservazioni μx identica
• Una variabile casuale precisa la serie con distribuzione
• Solicitudine normale (Mn) e varianza della variabile

x = 45

Esercitazione

6/11/2003

Q 5 Sapendo che il 50% dei candidati di un concorso pubblico.

Porzione Finita My variabile discreta X ∼ B (46,0.30) n = 36

P(X = x) = ^{(_n) C_x} (n-x)(1 - *)⁴