Probabilità e statistica matematica - parte 1

Fattoriale

n! = 1.2...n n≥1 0! = 1

n! rappresenta il numero di modi di ordinare n oggetti distinti. (permutazioni)

ex. ordinare casualmente le lettere M, I, O, M, L, N

P(_MILANO)?

E è l'insieme degli ordinamenti possibili: (6!)

P(_MILANO) = 1/6!

C, C, E, L, O |Lecco| = 5! P(_Lecco) = 1/5!

P_n = n! permutazioni semplici

Pⁿ_v = n!/(v₁! v₂! ... v_k!) permutazioni con ripetizione

Standardizzazione

|OI| = 1! P({...}) = 3!2!2!2!3!2!2! 1/7!

Disposizioni

Disposizioni semplici - raggruppamenti k che no distinguono né elementi né ordine

D^k_n = n^k disposizioni con ripetizione

D_n^k = n!/(n-k)! disposizioni senza ripetizione

Coefficiente Binomiale

(ⁿ_k) = n!/(k!(n-k)!) combinazioni semplici

C^*n_k = (n+k-1)!/(k!(n-1)!) combinazioni con ripetizione 0 ≤ k ≤ n k, n∈N

rappresenta il numero di possibili sottinsiemi di k elementi che si possono formare prendendoli da un insieme di n

ex. quante mani di 5 carte posso avere pescando da un mazzo dato?

(⁴⁰₅) 40! 5!(40-5)!

ex. ho 5 carte da un mazzo di 40 (n esercitazioni) probabilità di ottenere 5 picche?

|21| = (⁵⁰₅) elementi.

L'evento "5 carte di picche" a receiva com (5!). (P(_evento) = (¹⁰₅)/(⁵⁰₅))

Ex.

A: f(x,y) ∈ ℝ² | x² + y² < 25

P(A) = ^{area (A)}/_{area (C)} = ^π/4/_25π = ¹/₁₀₀

Ex.

Due amici si danno appuntamento al B&803 tra le 12:00 e le 13:00, il primo dopo 10 minuti dell'arrivo se ne va. Qual è la probabilità che si incontrano? Alle 13:00 se ne vanno.

x: orario di 1°, 12 ≤ x ≤ 13

y: orario di 2°, 12 ≤ y ≤ 13

s = [12, 13] x [12, 13]

Si incontrano se min {x, y} + ¹/₆ > max {x, y}

Risposta: area evidenziata

Probabilità & Quote

Scommessa: un giocatore paga 1 e se vince u riceve 9 x 1 (quote).

Supponiamo che la probabilità dell'evento sia P.

Il giocatore perde se con probabilità 1 - P e guadagna (9 - 1) e con probabilità P

La scommessa è equa se

(9 - 1) x P = 1 x (1 - P)

9 x P = 1 + 1 - P

q = ^p/_{1 - p}

Ex.

1. A, B eventi: è sempre vera che P(A ∪ B) ≥ max {P(A), P(B)}? ✓
2. A, B eventi, P(A ∩ B) = ¹/₃, P(B|A) = ²/₃ e P(A) = ¹/₂ è vero che P(A ∩ B^C) = ¹/₆? ✓ è vero che P(B) = ²/₃? ✓

PROBABILITÀ

ESPERIMENTO ALEATORIO: situazione in cui non si conosce con certezza il risultato che si osserverà.

MODELLO PROBABILISTICO: insieme dei risultati possibili

Σ è l'insieme degli eventi

EVENTO: proposizione (affermazione) che può essere vera o falsa a seconda del risultato dell'esperimento

ex. lanci di due dadi (di colori diversi):Σ = {(n,m) | n,m∈{1,...,6}} (insieme campionario)

Sono eventi (per esempio):"la somma dei punti è ≥ 8" A = {(n,m) | n+m≥8}

Gli eventi sono rappresentati da sottoinsiemi di Σ

ex. (lancio di due dadi):"esce somma pari"A = {(2,4,6)...}

OPERAZIONI TRA EVENTI (operazioni insiemistiche)

• A ∪ B "si verifica A oppure B"
• A ∩ B "si verificano A e B"
• Ā "non si verifica A" (Ac, CA)

Regole di calcolo

• A ∪ B = Ā ∩ B
• A ∩ B = Ā ∪ B
• A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)

-P[X=n+m | X>m] = P[X=n+m, X>m] / P[X>m]

= P[X=n+m] · (1-p)^n+m / (1-p)^m = P[X=n]

Densità Binomiale

def la densità binomiale di parametri n e p (n ∈ N⁺ 0 ≤ p ≤ 1) e la funzione f: {0,1,2,...n}→[0,1]

f(k) = ⁽ⁿ⁾C_(k) p^k (1-p)^n-k

B(n,p)

E[X] = n·p

V[X] = n·p(1-p)

oss f(k) > 0 ∀ k (ricordando la formula ∑ⁿ_k=0 ⁽ⁿ⁾C_(k) a^k b^n-k = (a+b)ⁿ) = ∑ⁿ_k=0 ⁽ⁿ⁾C_(k) p^k (1-p)^n-k = (p+(1-p))ⁿ = 1

oss per n=1

f(0) = ⁽¹⁾C₍₀₎ p⁰ (1-p)¹ = 1-p

f(1) = ⁽¹⁾C₍₁₎ p¹ (1-p)⁰ = p

ritrovo la densità dei Ber(p)

ex. Infinite prove indipendenti, ciascuna con risultato 0 (insucceso) o 1 (successo), p=probabilità successo nelle prove

S_n = v.a. numero di successi nelle n prove

S_n si verifica che P[S_n = k] = ⁽ⁿ⁾C_(k) p^k (1-p)^n-k per tutti k = 0, ..., n cioè S_n ∼ B(n,p)

X ∼ Bin(n,p) vuol dire che X ha valori: 0,1,...,n

P[X = k] = ⁽ⁿ⁾C_(k) p^k (1-p)^n-k k = 0, ..., n

probabilità di avere k successi in n prove

⁽ⁿ⁾C_(k) ^{= n!}_{k! (n-k)!}

coefficiente binomiale per rappresentare tutte le differenti combinazioni di n successi (k successi in n prove)

probabilità di successi nelle k prove

probabilità di insuccessi (1-p)^n-k nelle n-k prove

ex.

X ~ (g(p) X ha valori:...

P[X=x_k] = p(1-p)^k-1

E[X] = ∑_k=1 k p(1-p)^k-1...

k p = 1/p

oss Una variabile aleatoria discreta poù...

ex. se n considera fx(k) = 1/k...

k=1,...

∑_k=1 1/k(k+1)...

E[X] = ∑_k=1 k/k(k+1)...

= ∞

oss fx →∑fx(z) = fz...

Proprietà di E

X v.a. discreta a, b∈R

aX+b ê (un'altra) v.a. discreta

⇒ E[aX+b]=a E[X] + b

Verifica E[aX+b]= ∑x (ax+b)P[aX+b= xi拜] ...

= ∑x (aXi)P[X=xi] + ...

a E[X] + b

Varianza

X v.a. z1, z2... denota fx... E[X]=μ

def. si chima VARIANZA di ...

V[X]= E[(X-μ)²] ∑ (xi-μ)² fx...

(z1-μ)² è l'ecore quotato...

La varianza ê un indice di...

DISPERSIONE