Preparazione orale Geometria

Proprietà delle matrici simmetriche e antisimmetriche

Se A è una matrice quadrata simmetrica, allora:

• A^T = A
• tr(A) = 0
• det(A) ≥ 0

Se A e B sono matrici antisimmetriche, allora:

• A + B è antisimmetrica

Se A è una matrice quadrata antisimmetrica, allora:

• A^T = -A

Operazioni con le matrici

Somma: si sommano i vari coefficienti tra loro con i e j a

Moltiplicazione per scalare: si moltiplica uno scalare per ogni ij

Proprietà:

• Commutativa
• Associativa
• Zero

L'insieme delle matrici è un esempio di spazio vettoriale m × n

Prodotto righe per colonne

Date A e B, il prodotto righe per colonne dà come risultato, per ogni coefficiente della matrice risultante C, il prodotto scalare tra la rispettiva riga della matrice A e la rispettiva colonna della matrice B:

( ) ( ) ( ) ( )

2 3 2 0 1 2 × 2+3 × 1 2

A- 1° condizione: una matrice A è ortogonale se e solo se le sue colonne sono ortogonali tra loro e di norma 1:

(A^T)(A) = I, dove A^T è la trasposta di A e I è la matrice identità.

2° condizione: ogni vettore si può scrivere come combinazione lineare delle colonne di A:

v = w_1 * v_1 + ... + w_n * v_n, dove v_1, ..., v_n sono le colonne di A e w_1, ..., w_n sono scalari.

La formula si può scrivere come somma di matrici:

v = [v_1, ..., v_n] * [w_1, ..., w_n]^T

Questa equivale a rappresentare tutto in termini di w:

w = [v_1, ..., v_n] * [w_1, ..., w_n]^T

Proprietà matrici ortogonali:

A^T * A = I (quindi det(A) ≠ 0)

det(A) = ±1

Dimostrazione: sapendo che una matrice e la sua trasposta hanno lo stesso determinante, e che A * A^T = I, allora:

det(A * A^T) = det(I)

det(A) * det(A^T) = 1

det(A) * det(A) = 1

det(A)^2 = 1

det(A) = ±1

1. →(det A) → det A=±1- Se sono ortogonali → anche è ortogonaleA , B AB⟨ ⟩ ⟨ ⟩n- Se A matrice ortogonale e =Av , Au v , w∈v ,u R⟨ ⟩ ⟨ ⟩ ⟨ ⟩T T T T TDimostrazione: siccome →=v =(v ,u u Av , Au Av) Au=v A Au=v u= v ,u- Se v , u sono ortogonali tra loro, anche Av e Au sono ortogonali( ) ( )−sincos θ θ cos θ sin θesempio matrici ortogonali 2 x 2: , −cossin θ cos θ sin θ θ
2. DETERMINANTE ∈A MSi definisce ricorsivamente. Sia :n ×n( )- Se n = 1 , con det A=aA= a n+1(−1 )−¿ +A a det A …+ a det A11 21 21 n 1 n 1- Se n > 1, ¿A :=¿+ a det11¿detAdove è la matrice ottenuta cancellando la riga i e la colonna jijProprietà:=1det Id- matrice invertibile det A ≠ 0n T- det A=det A n∏ (prodotto coefficienti sulla- Se A matrice triangolare: det A= a iii=1diagonale) n- Se moltiplico A per t: , con n = num

M∈A M- Se ha rg = n , allora det A ≠ 0m ×n- non si può dire nulla sul rango di un prodotto (rgAB)Proprietà:- Se A = 0, il rg = 0- Se det = 0 , rgA ≠ max- Se A matrice diagonale, rgA = #elementi ≠ 0 sulla D- Se A matrice triangolare, rgA = prodotto degli elementi sulla D5)SISTEMI LINEARI ( )x , … , xDefinizione: un insieme di equazioni, con m equazioni e n incognite .1 nTutte le incognite compaiono con esponente 1. Davanti alle incognite troviamo ia (b )coefficienti . Dopo l’uguale, invece, troviamo i termini noti , … , b1 mij- omogeneo: se tutti i termini noti sono = 0- compatibile: se esiste almeno una soluzione → omogeneo ha sempresoluzionela matrice A si dice matrice dei coefficientiil vettore b si dice vettore dei termini notila matrice ( A | b ) si dice matrice completa del sistema. Indichiamo con:| l’insieme delle soluzioni del sistema di matrice completan( ) ∈ }Sol A∨b :={ x R Ax=b( A | b )1) Il sistema

lineare quadrato omogeneo, Ax = 0 è sempre compatibile ≠ se det (A) 0, quindi rgA = n, la soluzione è UNICA- se det (A) = 0, rgA non max, le soluzioni sono INFINITEammette soluzioni non banali quando il detA = 0

2) Il sistema lineare quadrato non omogeneo, A ∈ Mn×n → Ax = b non sempre ammettesoluzioni, e mai la terna banale (0, 0, 0)- è risolubile se rgA = rg (A|b)se rgA = n, ammette UNICA soluzioneo se rgA < n ammette INFINITE soluzionio

3) Il sistema lineare con m equazioni e n incognite, A ∈ Mm×n → Ax = b (con b ≠ 0).Se sistema è compatibile:- se m < n, ammette SEMPRE soluzione ≤- se m > n, ammette soluzione SOLO se rgA n

OPERAZIONI ELEMENTARI RIGHE- scambio di posto 2 righe- sommare ad una riga il multiplo di un'altra- moltiplicare una riga per uno scalare non nulloL'insieme delle soluzioni di un sistema lineare non cambia quando si effettuanooperazioni elementari

MATRICE RIDOTTA- l'elemento

Di testa di una riga di è il primo coefficiente non nulla di questa riga (da sx a dx).

Una matrice si dice ridotta a scala se l'elemento di testa della prima riga è a sinistra dell'elemento di testa della seconda, il quale, a sua volta, è a sinistra dell'elemento della terza ecc.

In altre parole, sotto ad ogni elemento di testa compaiono solo degli zeri- ogni matrice può essere ridotta a scala mediante operazioni elementari sulle righe.

SISTEMA RIDOTTO

Un sistema lineare di equazioni in n incognite, x, si dice ridotto se la sua matrice dei coefficienti è ridotta a scala.

SINSIEME SOLUZIONI SISTEMA RIDOTTO

Se è un sistema lineare ridotto, di m equazioni in n incognite, e S è la sua matrice ridotta a scala, si presentano 3 casi:

1. Se la matrice S presenta righe = 0, con i termini noti ≠ 0, il sistema non ammette soluzioni.
2. Se la matrice S presenta righe con 1 solo coefficiente ≠ 0, il sistema ammette soluzioni.

4( )| =S d 0 3 6con i termini noti ≠ 0 → ammette 1 soluzione unica- se la matrice S presenta righe = coefficienti , entrambi = 0r r|( )1 2 4( )| =S d 0 0 0il sistema ammette infinite soluzioni , che dipendono da parametrin−r

ALGORITMO GAUSS

Scopo: trasformare un sistema lineare A | b in una matrice ridotta a scala , ovvero una matrice il cui primo pivot di ogni riga sia a sx rispetto al pivot della riga successiva

1. Trovare una riga il cui il pivot sia il più a sx rispetto alle altre righe
2. Sottrarre un opportuno multiplo della prima riga da tutte le righe che stanno sotto, in modo che sotto l’elemento di testa della prima riga compaiano solo zeri
3. Continuare il procedimento, utilizzando le operazioni elementari, fino ad avere una matrice ridotta a scala

RANGO

Il rango di una matrice A è uguale al numero di righe r ≠ 0 di una sua riduzione a scala ottenuta tramite l’algoritmo di Gauss

Se M- sia, allora il rango di A è uguale al rango

per minori di Am×n- posso ridurre a scala solo per trovare rango o soluzioni → NO determinanteROUCHE – CAPELLI∈A MSia . Allora il sistema lineare è compatibile se e solo seAx=bm ×n|( )rgA ≤ rg A b- quando il sistema è compatibile, le soluzioni dipendono da parametrin−rgA- la soluzione è unica quando , ovvero quando è max