Preparazione orale Geometria

1) Vettori nello spazio

Vettore v = terna numeri reali → identificano anche un punto.

Operazioni

• Somma / differenza: v w ⟨ ⟩.
• Prodotto scalare: → se = 0, i due vettori sono ortogonali v, w √√ 2 2 2 ⟨ ⟩.

‖ ‖ Lunghezza / norma: è il numero reale ≔ = + + v v, v x y z 2 2 2 2 ‖ ‖ se v (x, y, z) → ≔ + + v x y z ‖ ‖.

( ) −w Distanza fra 2 vettori: d v, w := v.

Proiezione ortogonale

⟨ ⟩ v, w ( ) ≔ ⋅ w p r v ( ) ⊥ −p v r v w.

La proiezione di v su w: → w 2 w ‖ ‖ w −¿v.

Dimostrazione: devo dimostrare che ¿¿→ per manipolarlo uso le proprietà del prodotto scalare: −¿v ¿¿ ( ) > p r v 0 ¿ ¿.

• Se, angolo acuto /, angolo retto /, angolo 0 0 w ottuso ( ) =2 p r v w =2.
• Se, allora v w w.

Spazio ortogonale

3 sottoinsieme di S R.

⊥ = insieme di vettori ortogonali a tutti i vettori di S S { }.

S = v, …, v Definizione: 1 n | ⟨ ⟩ ⊥ 3 ϵ ∀ ⅈ ∈ = {w =0 } S R w, v, S i ⊥ =0.

• Non appartiene a (tranne quando ) v v S =0.
• Non contiene mai un solo vettore (tranne quando ) v.

Teorema di Pitagora

2 2 2 ‖ ‖ ‖ ‖ ‖ ‖ ⊥ 3 Siano. Allora se e solo se v w + = ∈ v w v + w v, w R (ortogonali) x x x y y y.

v v Dimostrazione: siano = (, , ) = (, , ) 1 2 3 1 2 3.

x y x y x y + v w = ( +, +, + ) 1 1 2 2 3 3.

2 2 22 ( ) ( ) ( ) ‖ ‖ + + + x y x y x y = + + v + w 1 1 2 2 3 3.

2 2 2 2 2 2 x y x y = + + + + + + 2( + + x x x y y y 1 1 2 21 2 3 1 2 3 x y ) 3 3 ⟨ ⟩.

2 2 ‖ ‖ ‖ ‖ v, w = + + 2 → 0 solo se e ortogonali v w v w.

Disuguaglianza Cauchy - Schwartz

3 Se e sono due vettori di, allora vale la disuguaglianza: v w R | | ⟨ ⟩ ‖ ‖ ‖ ‖ v, w ≤ v w.

Angolo tra 2 vettori

⟨ ⟩ v, w Dalla disuguaglianza di Cauchy – Schwartz risulta che il numero è ‖ ‖ ‖ ‖ v w compreso tra 1 e – 1.

Esiste quindi un unico numero, compreso tra 0 e, tale che θ π ⟨ ⟩ v, w cosθ = ‖ ‖ ‖ ‖ v w.

Prodotto vettoriale

Prodotto vettoriale tra 2 vettori che, a 2 vettori associa un altro vettore.

x x x y y y Siano = (, , ) e = (, , ) → v w 1 2 3 1 2 3.

−x −x −x v × w = x y y, x y y, x y y 2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1.

Proprietà prodotto vettoriale:

• −x = −( − ) x y y y x y x → si invertono gli elementi (es: v × w = −( w × v) 2 3 3 2 2 3 3 2).
• È ortogonale sia a che → facendo il prodotto scalare v × w v w ⟨ ⟩ =0 risulta: v × w, v o w.
• ( ) ( ) v × u × w = v × u × w.
• ( ) ⋅ ⋅ c v × w = c v × w.
• ‖ ‖ ‖ ‖ ‖ ‖ ⋅ ⋅ = area v × w parallelogramma = v w sin θ.

Dimostrazione: costruendo il parallelogramma, con i lati pari a ‖ ‖ ‖ ‖ v w e, si può vedere che il prodotto vettoriale sia uguale ‖ ‖ ‖ ‖ ⋅ v w a.

⊥ ‖ ‖ ‖ ‖ ‖ ‖ ‖ ‖ ‖ ‖ ⋅ ⋅ sin = v w v × w v w θ.

Quindi, se si conosce l’angolo tra e, α, si ha che.

2) Rette e piani

Retta: particolare traiettoria di un punto che si muove, secondo una certa direzione e verso.

Equazione parametrica: → t parametro, P punto, A vettore r : X=P+tA | 3 ∈ ∈ = P+ } r = { X R X tA, t R.

Retta passante per 2 punti: (Q−P) r : X=P+t.

La retta ha molte possibili equazioni parametriche.

{ ax + by + cz + d =0 r = equazione cartesiana: ' ' ' ' + =0 a x + b y c z + d.

Piano

Piano: l’insieme ortogonale ad una direzione fissata = (a n, b, c).

Definizione: dato un vettore normale, il piano passante per α α ⊥ l’origine e ortogonale alla direzione è l’insieme di tutti i vettori n ortogonali a: n { } { } | | 3 3 ⟨ ⟩ ( ) ∈ ∈ = =0 = + by + cz =0 α X R X, n x, y, z R ax.

2 modi di visualizzarlo:

• Forma parametrica = spazio con 2 gradi di libertà → = P + t + α : X A s A 1 2.
• Forma cartesiana = insieme di vettori ortogonali → ax + by + cz + d =0.

Mutue posizioni 2 rette

• Parallele: vettori direzione sono multipli tra loro → A = k A’.
• Coincidenti → A = k A’ almeno 1 punto in comune (quindi tutti).
• Incidenti → 1 punto comune.
• Sghembe → nessun punto → inoltre, due rette sghembe non possono stare sullo stesso piano.
• ⊥ Ortogonali: se, oltre ad essere incidenti / sghembe, i vettori direzione sono ⟨ ⟩ → =0 A, A'.

Mutue posizioni 2 piani

• Paralleli: vettori normali multipli tra loro → n = k n’.
• Coincidenti → se hanno almeno 1 punto comune.
• Incidenti: se intersecano in una retta.
• ⟨ ⟩ ⊥ =0 ortogonali: se, oltre a incidenti, i vettori normali sono → n, n'.

Mutue posizioni retta – piano

• ⟨ ⟩ ⊥ Paralleli: vettore direzione retta vettore normale piano → =0 A, n.
• La retta giace sul piano → se hanno almeno 1 punto comune.
• Incidenti: hanno solo 1 punto in comune.
• Ortogonali: se, oltre a incidenti, vettore direzione e vettore normale sono multipli → A = k n.

3) Vettori nR

n Per ogni numero naturale, consideriamo l’insieme delle n ≥ 1 n−uple R ordinate di numeri reali: | { n ( ) ∈ = = } R v x, …, x x R 1 n i.

x, …, x I suoi elementi = vettori → si chiamano componenti / coordinate di 1 n v.

Operazioni

• Somma.
• Moltiplicazione per scalare.

Proprietà operazioni

• Commutativa → v w = w + v.
• ( ) ( ) + + u = v + associativa → v w w + u.
• (−v ) = O + O = v + zero → v v.

Prodotto scalare

⟨ ⟩ Prodotto scalare v, w.

Proprietà prodotto scalare:

• ⟨ ⟩ ⟨ ⟩ = commutativa → v, w w, v.
• ⟨ ⟩ ⟨ ⟩ ⟨ ⟩ Distribuzione → = + v, w + u v, w v, u.
• ⟨ ⟩ ⟨ ⟩ ⟨ ⟩ ( ) = c = scalare → cv, w v, w v, (cw).
• ⟨ ⟩ = O zero → se solo se v v, v ≥ 0, =0.

3 Lunghezza / distanza / ortogonalità stesse formule di R.

Teorema Pitagora

2 2 2 ‖ ‖ ‖ ‖ ‖ ‖ n Se sono ortogonali, allora + = ∈ v w v + w v, w R.

Disuguaglianza Cauchy – Schwarz

| | ⟨ ⟩ ‖ ‖ ‖ ‖ n Se, , allora vale la disuguaglianza: e vale v v, w ≤ v w ∈ w R l’uguaglianza se e solo se e sono uno multiplo dell’altro v w.

Disuguaglianza triangolare

‖ ‖ ‖ ‖ ‖ ‖ n + Se, allora: v + w ≤ v w ∈ v, w R.

Dimostrazione: siccome numeri positivi, possiamo elevare al quadrato.

⟨ ⟩ ⟨ ⟩ ⟨ ⟩ ⟨ ⟩ ⟨ ⟩ ⟨ ⟩ ‖ ‖ ‖ ‖ + + + v, v v, w v, w w, w ≤ v, v v w w, w + 2 +.

⟨ ⟩ ⟨ ⟩ ⟨ ⟩ ‖ ‖ ‖ ‖ ≤ v, v w, w 2 v, w v w sì semplificano e → 2.

| | ⟨ ⟩ ⟨ ⟩ ‖ ‖ ‖ ‖ v, w ≤ v, w ≤ v w per Cauchy – Schwarz:

Angolo tra vettori

⟨ ⟩ ⟨ ⟩ v, w v, w −1, con cosθ = ≤ ≤1 ‖ ‖ ‖ ‖ ‖ ‖ ‖ ‖ v w v w.

Proiezione ortogonale

⟨ ⟩ v, w ( ) ≔ ⋅ w p r v ( ) ⊥ −p v r v w.

La proiezione ortogonale di v su w: → w 2 w ‖ ‖ w.

Spazio ortogonale

n Dato un insieme di vettori in S R.

⊥ = insieme di vettori ortogonali a tutti i vettori di S S { }.

S = v, …, v Definizione: 1 n | ⟨ ⟩ ⊥ 3 ∈ ∀ ⅈ ∈ = {w =0 } S R w, v S i.

4) Matrici

a Una matrice di formato è una tabella di numeri, con A m × n mn m ij righe e colonne n.

• A sono detti coefficienti ij.

¿ a Uguali: due matrici sono uguali → stesso numero di righe e colonne, e se ij per ogni i e j.

Matrice quadrata → righe = colonne → se A, B due matrici quadrate, allora AB = BA.

• =0 a diagonale: tutti i coefficienti ≠ D sono = 0 → con i ≠ j ij.
• =0 a triangolare superiore: tutti i coefficienti sotto D sono = 0 → ij con i > j.
• =0 a a inferiore: tutti gli sopra D sono = 0 → con i < j ij ij.

n Le matrici triangolari con D = 0 sono matrici nilpotenti: con =0 A ≠ 0 → A.

Avendo gli elementi sulla diagonale = 0, le matrici nilpotenti non hanno mai rango max.

Sommando / moltiplicando matrici triangolari ottengo sempre triangolari.

• =1 a matrice identità: matrice diagonale con 1 sulla D → con i = j ij.

Traccia trA

Il numero che si ottiene sommando tutti gli elementi sulla diagonale principale.

m ∑ tr A = a iii =1.

Proprietà:

• ( ) = trA + trB - tr A + B.
• ( ) = c - tr c A trA.
• ( ) = tr (B - tr A B A).

Trasposta

T A ( ) T La matrice che si ottiene scambiando le righe con le colonne ≔ a A ij ji.

Proprietà:

• A ¿ - ¿¿ + B ¿ A - ¿¿ T T.
• (c = c A) A.
• AB ¿ - ¿¿.

Dimostrazione: calcolo separatamente le due parti.

AB ¿¿ - SX: riga j, colonna i ¿¿¿¿ BA j(¿¿ ) T - DX: (¿¿ ) ¿ T, i ⟨ ⟩ i ¿ = B, A j [ ] T T = ¿ B A ij.

Il prodotto scalare è simmetrico, quindi sono uguali.

( ) T Relazione tra traccia e trasposta: = trA tr A.

Matrici simmetriche / antisimmetriche

T Matrice simmetrica: = A A.

• Se A matrice simmetrica a coefficienti reali, i suoi autovalori sono reali.
• Ogni matrice simmetrica è diagonalizzabile.
• Se A, B matrici simmetriche: A + B simmetrica.
• T + A A ¿ T - Se A matrice quadrata, è simmetrica → Dimostrazione: + A A ¿¿ p.
• Se A simmetrica è simmetrica A T.

Matrice anti simmetrica: = − A A.

• TrA = 0.
• Det A ≥ 0.
• Se A, B matrici antisimmetriche: A + B antisimmetrica.
• T - Se A matrice quadrata, è antisimmetrica → Dimostrazione: − A A T − A A ¿¿¿ p.
• Se A antisimmetrica simmetrica se p pari antisimmetrica se p dispari A.

Operazioni

• Somma: si sommano i vari coefficienti tra loro con = i e j.
• A - Moltiplicazione per scalare: si moltiplica uno scalare per ogni ij.

Proprietà:

• Commutativa.
• Associativa.
• Zero.

M L’insieme delle matrici è un esempio di spazio vettoriale m × n.

Prodotto righe per colonne

Date A, B → il prodotto righe per colonne dà come risultato, per ogni coefficiente della matrice risultante C = prodotto scalare tra la rispettiva riga della matrice A e la rispettiva colonna della matrice B.

( )( ) ( ) ( ) 2 3 2 0 1 2 × 2 + 3 × 1 2 × 0 + 3 × 2 2 + 9 7 6 11 = = C = A × B = −1 −1 −2 −30 1 2 3 0 × 2 + −1 × 1 0 + 2 0 −3.

Proprietà:

• Colonne di A = righe di B.
• Associativa e distributiva.
• Il prodotto non è commutativo A B ≠ B A.
• È possibile che il prodotto dia 0 anche se le matrici A, B siano ≠ 0.

Matrici invertibili

−1 A ∈ ∈ A M B M è invertibile se esiste tale che A B = B A = Id n × n n × n.

−1 in questo caso B è unica, è detta l’inversa di A e si denota A.

• ∈ A, B M - Se sono invertibili, allora anche A B è invertibile e la sua inversa n × n −1 −1 −1 è ( A B) B A.
• −1 −1 - ( ) = A A.
• ( ) ( ) 1 − b a b d −1 ∈ A M ⋅ = - Se, con → A = A 2 × 2 − c c d det A a.
• Se, A è invertibile det A ≠ 0.

Matrici ortogonali

−1 T = A A −1 T Una matrice quadrata A si dice ortogonale se è invertibile e → = A A T.

T o = Id A A = Id A A.

• 1° condizione: una matrice A è ortogonale se e solo se le sue colonne sono a 2 a 2 ortogonali tra loro e di norma 1.

( ) T v 1 T ( ) − v = ¿ ⟨ ⟩ A A = v v, v ¿ → significa che: = 0 se i ≠ j 1 n i j n T v = 1 se i = j n.

• 2° condizione: ogni vettore si può scrivere come combinazione lineare ∈ w R {v } + … + = w n a v a v delle colonne ovvero tale che ∀ ∈ ∃ a w R, , …, a i 1 1 n n 1 n.

T T T = A = v La formula si può scrivere come somma di matrici → I A v … v v n 1 1 n n.

( ) ( ) T T essa equivale a rappresentare tutto in termini di w → w = v v w + … + v v w 1 1 n n.

v v = <w, > + … + <w, 1 1 v v> n n.

Proprietà matrici ortogonali:

• T - e sono ortogonali A A.
• ( ) T - (quindi det ≠ 0) -det A = ± 1 = 1 det A A.

Dimostrazione: sapendo che una matrice e la sua trasposta hanno lo stesso determinante, e T che, allora = Id A A.

( ) T T 2 = det = 1 → =1 det A A Id → det A ∙ det A det A ∙ det A = 1 → (det A) → det A = ±1.

• Se sono ortogonali → anche è ortogonale A, B AB.
• ⟨ ⟩ ⟨ ⟩ n - Se A matrice ortogonale e = Av, Au v, w ∈ v, u R.

⟨ ⟩ ⟨ ⟩ ⟨ ⟩ T T T T T Dimostrazione: siccome → = v = (v, u u Av, Au Av) Au = v A Au = v u = v, u.

• Se v, u sono ortogonali tra loro, anche Av e Au sono ortogonali.

( ) ( ) − sin cos θ θ cos θ sin θ esempio matrici ortogonali 2 x 2: , − cos sin θ cos θ sin θ θ.

Determinante

∈ A M Si definisce ricorsivamente. Sia: n × n.

• ( ) - Se n = 1, con det A = a A = a.
• n + 1 (−1 ) − ¿ + A a det A … + a det A 11 21 21 n 1 n 1 - Se n > 1, ¿ A := ¿ + a det 11 ¿ det A dove è la matrice ottenuta cancellando la riga i e la colonna j ij.

Proprietà:

• =1 det Id.
• Matrice invertibile det A ≠ 0 n.
• T - det A = det A.
• n ∏ (prodotto coefficienti sulla - Se A matrice triangolare: det A = a iii =1 diagonale).
• n - Se moltiplico A per t: , con n = num righe/colonne = t det tA det A moltiplicate × t.
• Se ho 2 ≤ righe / colonne uguali, pari a 0, multiple tra loro: det A = 0.
• Se scambio 2 righe / colonne: det cambia segno.
• Se aggiungo ad una riga / colonna un multiplo di un'altra, il det non cambia.
• , se n pari (−A) = det det A ¿ −det, se n dispari A.
• ABBAAB ( ¿) ⋅ (¿) = det - Formula Binet: → inoltre, A det B (¿) = det ¿¿ det ¿ det.
• n A −1 n - det ( ) = det → Se invertibile, allora: det ( ) = det ( ) A A A −1 ( ) A.

Dimostrazione: dalla formula di Binet e dalla definizione di inversa −1 −1 A ) (A) 1 = det I = det ( = det det ( ) A A.

Minori e rango

∈ A M Minore: un minore di una matrice è una matrice quadrata che si p × p m × n ottiene da A cancellando righe e colonne m − p n − p.

∈ A M Rango: la matrice ha rango r se esiste un minore con dimensione r m × n =0 tale che, ma tutti i minori di ordine r + 1 hanno.