Capitolo 6
- autovalori e autovettori -
autospazi (V)
(dimauchex)
vettoriale applicazione End
Te
lineare deR
spazio
dato v T V-V
:
, ,
V)
{veV /T()
è E(6)
l'autospazio
allora di perod = =
ristretto
è E(6) E(6)
un'omoreria TIE(6)
Te(x) >
> : -
- xV
V >
-
vettoriale T(E(6)
proposizione E(1)
E(6) è sottospazio e =
un
: perché OfE(6)
0) T(0)
E(6)
dimostrazione 0 0
uroto +
non >
=
=
: - W)
chiusura (w) (v
W) T(V) Xw
T(V ↓V
la T
Somma
per + +
+ +
= =
=
ET(6)
moltiplicazione
Chiusura per T[T(] T[bv] XT(v)
T[T(ri]EE()
E(6)
T(V) > =
- > =
-
-
(T) in
osservazione E(0) i
tutti vettori
Ker XV
che OV 0
valo
: = =
=
(mx)
molteplicità è dimE(t)
geometrica uguale alla
definizione x
di
:
autovalori (0) JVEV VIO / T(v)
E(6)
è autovalore
VER di
TMX) +
def ↓V
con
0 =>
<
un
: =
autovettori FER)
è T(V)
di XV
autovettore Tse VIO
VEV
def un e
: =
VEV/VIO
120) di d
E(x) TN) pero
V
e
= =
Spettro (autovalori T3
0]
{HER/dim di
E(6) &R
def >
: = Un ev
Gue
S
T
dato
teorema VEV
: =
e
: , ...,
autovettori
degli autovalori
Sè diversi
l'insieme fi,
con ovvero Vito
linearmente
S indipendente
è
T(VI) allora
di Fdj
diVi e
= E(6)
I dim
Corollario dimU
=
dimfinita
Una
1 : -2(t)
↓ (6(T))
finita cardinalità
ha dim
corollario V
Se dimU dello spettro
<
2 >
: - #0
simmetrica AV
6(T)
allora Av
T
spettrale Amatsimm
anche
teorema VeV
1 : : =
.
spettrale
teorema
2 : di
ortonormale autovettori
base
simmetrica esiste composta
una V
V da
T V ,
+
: diagonalizzabile
in anche simmetrica
Ti
di T particolare A esistec
mat
, ,
è
c'AC
tall diagonale
Ortogonale che
, induzione
dimostrazione div
2 su
1 = : n n
= è diagonale
Caso 1
n
> ->
=
- div
il teorema
allumiamo 1-1
per
> =
- tale
il base
spettrale JER
VEV che
esiste
teorema
per VIO
>
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