Parte 1 - Calcolo combinatorio e probabilità - Statistica

PROBABILITA’

▪ PROBABILITA’ DI UN EVENTO () = ≤ () ≤

= sapendo che ,

se non immediatamente deducibili dal testo del problema, casi favorevoli (numero di

combinazioni a favore del nostro evento) e casi possibili (ossia numero totale di

combinazioni) si trovano mediante il calcolo combinatorio (quindi permutazioni,

disposizioni e combinazioni).

casi favorevoli

P(E) =

La formula va applicata nel caso di un evento E casuale, ossia il cui

casi possibili

verificarsi dipende dal caso; gli eventi E non casuali, invece, si distinguono in:

▪ Se un evento è certo (cioè è possibile stabilire con assoluta certezza che si

allora essendo “casi possibili = casi

verificherà), tutti i casi sono favorevoli,

casi favorevoli

favorevoli” si avrà che P(E ) = =1

certo casi possibili

▪ Se un evento è impossibile (cioè quando non potrà mai verificarsi), non ci

sono casi sono favorevoli, allora essendo “casi favorevoli = 0” si avrà che

casi favorevoli

)

P(E = =0

impossibile casi possibili

SPAZIO CAMPIONARIO

Ω e rappresenta l’insieme

Si indica con la lettera greca dei possibili risultati di un evento E,

Ω

ad esempio, nel lancio di un dado a sei facce lo spazio campionario sarà = {1, 2, 3, 4, 5,

Ω = {testa, croce}, mentre nell’estrazione

6}, invece nel caso del lancio di una moneta sarà

da un’urna di 10 palline numerate sarà Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}, nel lancio di due

Ω {(1;1), (1;2), (1;3), (1;4), (1;5), (1;6), (2;1),

dadi a sei facce i possibili risultati saranno =

(2;2), (2;3), (2;4), (2;5), (2;6), (3;1), (3;2), (3;3), (3;4), (3;5),(3;6), (4;1), (4;2), (4;3),

(4;4), (4;5), (4;6), (5;1), (5;2), (5;3), (5;4), (5;5), (5;6), (6;1), (6;2), (6;3), (6;4), (6;5),

(6;6)} e così via per ogni caso. Ricorda però che spesso è impossibile (i possibili risultati

sono troppi da poterli scrivere tutti) o inutile ai fini dell’esercizio esprimere per esteso lo

spazio campionario, l’importante è avere ber chiaro quale sia (quindi nel lancio di due

dadi a sei facce, una volta compreso che i possibili risultati saranno dati dalle varie

–

combinazioni dei numeri delle due facce ad esempio se lancio i due dadi potrebbe uscire

–

nel primo 1 e nel secondo 2, nel primo 2 e nel secondo 3, nel primo 5 e nel secondo 5 ecc.

o, se non è

Ω {(1;1), (1;2), (1;3),…}

si può scrivere lo spazio campionario come =

esplicitamente richiesto, si può non scrivere direttamente).

EVENTI COMPATIBILI, INCOMPATIBILI E COMPLEMENTARI

▪ quando il verificarsi dell’uno non esclude il

Due eventi E1 ed E2 si dicono compatibili

verificarsi dell’altro (= i due eventi possono verificarsi contemporaneamente).

Sapendo che la probabilità del primo evento è P(E1) e quella del secondo evento è P(E2),

una volta constatato che i due sono compatibili, la probabilità dell’unione di questi eventi

(cioè P(E1 U E2) = probabilità che gli eventi E1 ed E2 si verifichino

– ∩

CONTEMPORANEAMENTE) è data da P(E1 U E2) = P(E1) + P(E2) P(E1 E2)

5

∩

dove il calcolo di P(E1 E2) dipende al fatto che i due eventi siano tra loro dipendenti

oppure indipendenti (concetti che verranno approfonditi tra poco).

▪ quando il verificarsi dell’uno esclude il

Due eventi E1 ed E2 si dicono incompatibili

verificarsi dell’altro (= i due eventi non possono verificarsi contemporaneamente).

Sapendo che la probabilità del primo evento è P(E1) e quella del secondo evento è P(E2),

la probabilità dell’unione di questi

una volta constatato che i due sono incompatibili,

eventi (cioè P(E1 U E2) = probabilità che si verifichi l’evento 1 OPPURE l’evento 2) è

data da P(E1 U E2) = P(E1) + P(E2) (ex. Consideriamo il lancio d un dado e chiamiamo

l’evento “esce

E1 1”, E2 = esce 3; i due eventi sono incompatibili poiché, lanciando un

dado, non possono uscire contemporaneamente sia il numero 1 che il 3, di conseguenza

la probabilità dell’evento P(E1 U E2) = “esce il numero 1 OPPURE il numero3”, sarà

data dalla somma della probabilità dei due eventi, cioè P(E1 U E2) = P(E1) + P(E2) e,

–

poiché P(E1) = P(E2) = 1/6 cioè vi è una possibilità su sei che esca il numero 1, stessa

–

cosa per il numero 3 allora risulta che P(E1 U E2) = 1/3).

▪ quando il verificarsi dell’uno esclude il

Due eventi E1 ed E2 si dicono complementari

verificarsi dell’altro (= i due eventi non possono verificarsi contemporaneamente) ma

uno dei due si verificherà di sicuro (ex. Lancio della moneta: necessariamente o esce

testa o esce croce e i due eventi non possono verificarsi insieme). La probabilità di due

–

eventi complementari è data da P(Ec) = 1 P(E) dove E è un evento (ex. Nel lancio di

una moneta E = “esce croce”) e Ec il suo complementare ((ex. Nel lancio di una moneta

E = “esce testa”) EVENTI DIPENDENTI E INDIPENDENTI

se il verificarsi dell’uno

Due eventi COMPATIBILI E1 ed E2 si dicono INDIPENDENTI

influisce sul calcolo della probabilità del verificarsi dell’altro

NON e la probabilità della

E2) = P(E1) ∙

∩

loro intersezione è data da P(E1 P(E2). se il verificarsi dell’uno

Due eventi COMPATIBILI E1 ed E2 si dicono DIPENDENTI

influisce sul calcolo della probabilità del verificarsi dell’altro e la probabilità della loro

E2) = P(E1) ∙ P(E2 P(E1 ∩ ∙ P(E1

∩ I

intersezione è data da P(E1 E1) (oppure E2) = P(E2)

I E2), a seconda dei dati forniti dal problema).

indica la probabilità che si verifichi l’evento E2 sapendo che già si è

I

Il dato P(E2 E1) significa “probabilità che si verifichi l’evento E1 sapendo

I

verificato E1, viceversa P(E1 E2) casi favorevoli

che già si è verificato E2” (ricorda che il calcolo di questa probabilità è dato dai ).

casi possibili

P(E2) ∙ P(E1 I E2) P(E1) ∙ P(E2 I E1)

P(E2 E1) P(E1 E2)

I = I =

Inoltre sappiamo che , viceversa .

P(E1) P(E2)

6