Operatori differenziali - Definizione iniziali

POSSIAMO DEFINIRE UNA DENSITÀ DI CARICA IMMAGINANDO CHE LA CARICA SIA

DISTRIBUITA CON CONTINUITÀ IN UN VOLUME .

Prendiamo un volumetto e consideriamo la carica contenuta in esso

→ →

formula inversa

LA DENSITÀ DI CORRENTE IN UN PUNTO È QUEL VETTORE CHE MOLTIPLICATO

SCALARMENTE PER UN VERSORE DA’: →

→ Formula inversa j= ρv .

La DENSITÀ DI CORRENTE la posso scrivere come

CAMPO ELETTRICO

Se si vuole il valore del campo elettrico in un certo punto dello spazio si prende una carica q

e la si mette in quel punto dello spazio e si misura la forza di natura elettrica che agisce su

quella carica . FORZA MAGNETICA

PRENDIAMO UNA CARICA DI PROVA Q E SUPPONIAMO CHE SIA DOTATA DI VELOCITÀ V, SU

QUESTA CARICA IN MOVIMENTO AGIRÀ UNA FORZA DI NATURA MAGNETICA

B è quel vettore che moltiplicato vettorialmente per la velocità v di una carica q e per la

carica q stessa, da’ la forza magnetica che agisce su quella carica.

Note esterne:Forza di Lorentz

Sia data una carica elettrica puntiforme q in moto con velocità istantanea v in una regione

caratterizzata dalla presenza di un campo elettrico E ed un campo di induzione magnetica

B.La forza di Lorentz è la forza F che si esercita tra il campo elettromagnetico e la carica, ed

è proporzionale a q e al prodotto vettoriale tra v e B secondo la relazione:

Introduciamo anche i campi: 2

= [/ ]

CAMPO DI INDUZIONE ELETTRICA 0 − ⁄

= = ⋅

CAMPO DI INDUZIONE MAGNETICA: con

0

ESISTE UNA RELAZIONE TRA LA DENSITÀ DI CORRENTE E LA DENSITÀ DI CARICA

Ora preso un elemento di spf ΔS centrato nel punto che stiamo considerando e chiamiamo

con Δi la corrente che attraversa questo elemento di superficie, possiamo dire che la

componente di j lungo una direzione che indichiamo col versore i sarà:

n

(per definizione)

Faccio tendere S a 0 per calcolare J nel punto.

Devo capire chi è Δi.

Per definizione considero un intervallo di tempo e valuto la carica q che attraversa

Δt Δ

l’elemento di spf S in quell’intervallo di tempo e calcolo il limite:

Δ

ma chi è Δq? Definiamo il versore normale i alla superficie .

ΔS

n

Ammettiamo che la velocità della carica che sta in questa

regione di spazio intorno al punto considerato sia v , e che

formi un angolo α con la direzione i .

N →

Quindi v è la velocità delle cariche in quella regione di spazio

la carica Δq che attraversa l’elemento di spf S in è tutta la

Δ Δt

carica che sta compresa in quel cilindro obliquo (il cui asse è la

direzione della velocità V e che avrà lunghezza vΔt).

Il cilindro ha come basi ΔS e ΔS traslato e come lunghezza vΔt

→l’altezza del cilindro varrà la lunghezza proiettata lungo la

→vΔtcos

proiezione di i α

n → ΔS(vΔtcos α)

Devo calcolare il volume del cilindro obliquo: basexaltezza

La carica contenuta nel cilindro sarà pari alla densità di carica ρ (carica per unità di volume)

per il volume del cilindro.

→ Δq= ρ ΔS(vΔtcos α) →

i

Adesso Per calcolare devo dividere per Δt

Considerando il prodotto scalare tra v è il versore (modulo dei vettori per il cos dell’angolo

compreso) si ha:

Di conseguenza…..

La proiezione di j lungo la direzione i è pari alla proiezione lungo la direzione i del vettore

n n

ρ e v

→

E poiché vale ciò,Possiamo dire che

(densità di carica per la vel della carica)

Se la carica q è distribuita su un volume allora possiamo definire la densità di forza cioè

forza per unità di volume (devo dividere la F per il volume e ottengo)

L

EQUAZIONI DI MAXWELL IN FORMA INTEGRALE

LEGGE DI GAUSS PER IL CAMPO DI INDUZIONE ELETTRICA

IL FLUSSO DEL CAMPO DI INDUZIONE ELETTRICA ATTRAVERSO UNA

SUPERFICIE S CHE RACCHIUDE UN VOLUME V È PARI ALLA CARICA CONTENUTA

NEL VOLUME V. ̂

∯⋅ = = ∭

LEGGE DI GAUSS PER IL CAMPO DI INDUZIONE MAGNETICA

IL FLUSSO DEL CAMPO DI INDUZIONE MAGNETICA ATTRAVERSO UNA QUALSIASI

SUPERFICIE CHIUSA È NULLO.

̂

⋅

= 0

∯ mentre esiste una carica elettrica non esiste una carica magnetica

LEGGE DI AMPERE-MAXWELL

LA CIRCUITAZIONE DEL CAMPO MAGNETICO LUNGO UNA CURVA CHIUSA L È PARI ALLA

CORRENTE CONCATENATA DA L (CORRENTE CHE ATTRAVERSA UNA QUALUNQUE

SUPERFICIE IL CUI CONTORNO È L) + LA CORRENTE DI SPOSTAMENTO (DERIVATA RISPETTO

AL TEMPO DEL FLUSSO ATTRAVERSO LA SUPERFICIE S).

̂ ̂

∮ ⋅ = + ∬⋅

Riscritta

̂ ̂ ̂

∮ ⋅ = ∬ ⋅

+ ∬⋅

LEGGE DI FARADAY-NEUMANN

LA CIRCUITAZIONE DEL CAMPO ELETTRICO LUNGO UNA CURVA CHIUSA L È

PARI ALLA DERIVATA, CAMBIATA DI SEGNO, DEL FLUSSO DEL CAMPO DI

INDUZIONE MAGNETICA ATTRAVERSO UNA QUALSIASI SUPERFICIE S

DELIMITATA DALLA CURVA L.

̂ ̂

∮ ⋅ = − ∬ ⋅

In elettrostatica (caso statico) i campi sono costanti nel tempo e quindi anche se presente

un campo magnetico, il suo flusso attraverso la Spf è costante nel tempo e quindi la

derivata rispetto al tempo è nulla. →la

In elettrostatica il campo elettrico è un campo che ha circuitazione nulla legge di

faraday diventa semplicemente il principio di kirchhoff sulle maglie .

Se la circuitazione del campo elettrico lungo una curva chiusa è sempre pari a zero, il campo

elettrico è un campo conservativo.Questo vuol dire che l'integrale di linea da un punto A ad

un punto B del campo elettrico non dipende dalla particolare curva che è per definizione la

differenza di potenziale tra il punto A e il punto B .

Poiché il campo elettrico è una forza per unità di carica, la

differenza di potenziale è un lavoro per unità di carica:

La d.d.p. è il lavoro fatto dal campo elettrico per spostare una

carica positiva di un Coulomb dal punto B al punto A.

RIEPILOGO EQUAZIONI DI MAXWELL IN FORMA INTEGRALE

QUESTE EQUAZIONI IN REALTÀ NON SONO TUTTE INDIPENDENTI TRA DI LORO

SE CONSIDERIAMO LA PRIMA EQUAZIONE E PRENDIAMO COME CONTORNO UNA CURVA

CHIUSA CHE SI STRINGE FINO A DIVENTARE UN UNICO PUNTO ALLORA È CHIARO CHE

• AL PRIMO MEMBRO OTTENIAMO ZERO PERCHÉ ABBIAMO L'INTEGRALE SU UNA

LINEA DI MISURA NULLA

• AL SECONDO MEMBRO ABBIAMO CHE LA SUPERFICIE S DIVENTA UNA SUPERFICIE

CHIUSA .

LA PRIMA EQUAZIONE DIVENTA

̂

− ⋅

∬

0=

LA PRIMA EQUAZIONE CI DICE CHE IL FLUSSO DI B ATTRAVERSO UNA SUPERFICIE CHIUSA

DEVE ESSERE COSTANTE .

LA QUARTA EQUAZIONE RISPETTO ALLA PRIMA CI AGGIUNGE IN PIÙ SOLTANTO QUESTA

INFORMAZIONE OSSIA CHE LA COSTANTE È 0.

ADESSO CONSIDERIAMO LA SECONDA EQUAZIONE

SUPPONIAMO DI STRINGERE LA CURVA FINO A FARLA DIVENTARE UN SINGOLO PUNTO

ALLORA

• AL PRIMO MEMBRO OTTENIAMO ZERO

• AL SECONDO MEMBRO LA SPF DIVENTA UNA SUPERFICIE CHIUSA

̂ ̂

0= ∬⋅

+ ∬ ⋅

otteniamo che ̂ ̂

− ∬⋅ = ∬ ⋅

Parlando sempre di spf chiuse ottengo

̂ ̂

− ∯⋅ = ∯ ⋅

→sostituendo la 3 eq di maxwell ̂

− ∭ = ∯ ⋅

➔ ̂

⋅

= −

∯ ∭

Ossia il flusso uscente di j attraverso la superficie chiusa è pari a meno la

derivata rispetto al tempo della carica contenuta nel volume

Questa equazione è detta LEGGE DI CONSERVAZIONE DELLA CARICA (equazione di

continuità della corrente) cioè questa equazione ci dice che se c'è un flusso di corrente che

esce dal volume V che attraversa la spf S in direzione uscente (quindi sta uscendo dal

volume) allora la carica all'interno del volume sta diminuendo nel tempo.

→ = 0

Nel caso statico in cui la carica è costante nel tempo allora il flusso di j attraverso

una qualunque superficie chiusa è 0 (principio di kirchhoff ai nodi).

EQUAZIONI DI MAXWELL IN FORMA LOCALE

̂ →

̂

⋅ = − ⋅

∮ ∬

Applico stokes ̂

→

× ⋅ ̂ = ⋅ ̂ ⋅ = × ⋅ ̂

∬ ∮ ∮ ∬

Suppongo che la superficie S sia costante nel tempo (così sposto la derivata della 2° eq

all’interno dell’integrale)

̂ ̂

− ⋅

× ⋅ ̂ − ⋅

=

∬ ∬ ∬

→

IN GENERALE IL FATTO CHE DUE INTEGRALI SIANO UGUALI NON IMPLICA CHE GLI

INTEGRANDI SIANO UGUALI.

PERÒ SE L’UGUAGLIANZA VALE QUALUNQUE SIA IL DOMINIO DI INTEGRAZIONE QUINDI

QUALUNQUE SIA LA SUPERFICIE S ALLORA DEVONO ESSERE UGUALI ANCHE GLI

INTEGRANDI .

(NOTA PORTANDO LA DERIVATA ALL’INTERNO DELL’INTEGRALE ESSA DIVENTA UNA

DERIVATA PARZIALE PERCHÉ DIPENDE NON SOLO DA t MA ANCHE DA X,Y,Z )

×=

Sfruttando le medesime operazioni sulla 2° eq di max

̂ ̂ ̂ →

⋅ = ⋅

+ ⋅

× = +

∮ ∬ ∬

Poi Passiamo alla 3° eq.

̂

⋅

=

∯ ∭

APPLICO LA DIVERGENZA →

⋅ = ⋅ ̂ ⋅ =

∭ ∯ ∭ ∭

IN GENERALE IL FATTO CHE DUE INTEGRALI SIANO UGUALI NON IMPLICA CHE