Microeconomia

Strategia dominata

A, B strategia dominata, cioè che qualsiasi sia la scelta dell'avversario porta ad un risultato peggiore. Così il giocatore Ab b sceglierà la strategia a, poiché il payoff è maggiore di a (a è la strategia dominata), il giocatore B sceglierà b per lo stesso motivo. Il risultato sarà (8,10) che però non è il payoff massimo che i giocatori potevano ottenere, infatti potevano ottenere (10,12). Ma l'equilibrio è (10,12), l'equilibrio in questo caso, in cui la dominanza è iterata.

Esempio: proviamo ora a trovare A, B. Per il giocatore A non vi è una strategia che vada meglio in entrambi i casi. Per il giocatore B invece c'è una strategia dominante, che sarebbe la strategia b che domina b. Il giocatore A intuendo quale potrebbe essere la strategia del giocatore B, sceglierà la strategia a. L'equilibrio di questo gioco sarà (3,14).

sceglierà a 1a 10 ,13 20 ,12 dunque (a ,b ) cioè (11,15).1 121, 2 L R In questo caso il giocatore 1 ha a disposizione 3 strategie mentre il giocatore2 solo 2. Per il giocatore 1 la strategia dominante è A poiché meglio delleA 4,3 6, 2 altre qualsiasi sia la scelta del giocatore 2. Per il giocatore 2 la strategia. dominante, intuendo la strategia che utilizzerà il giocatore 1 visto che non neB 3,0 5,6 è L. L’equilibrio sarà dunqueha una dominante in generale, (A,L) quindiC 1,0 3,8 (4,3).Il criterio della dominanza ha comunque delle critiche a suo sfavore dovute al fatto che può noncondurre ad un equilibrio unico come in questo caso: 113Sono possibili come equilibri sia a b che a b perché b non haA, B 2 2 1 1una strategia dominante, e a è indifferente come payoff di fronteb b b alla possibile scelta di b delle strategie b e b . Quindi, per far1 2 3 1 2−a 10 ,50 6,5 0, 3 fronte anche a questi problemi,serve una teoria più generale, rappresentata dall'equilibrio ideato da Nash. Equilibrio di Nash. Intuitivamente nell'equilibrio di Nash, ogni giocatore sta operando la scelta migliore (strategia di risposta ottima), date le migliori strategie degli altri giocatori. Il punto di partenza sia allora costituito dalla ricerca della risposta ottima di ogni giocatore alle possibili strategie giocate dagli avversari. Una strategia s è risposta ottimale del giocatore i-esimo alle strategie dei suoi rivali s se: ∀ s ∈ S , u i ( s i , s − i ) ≥ u i ( s i ′ , s − i ) ∀ s i ′ ∈ S i Una situazione costituisce un equilibrio di Nash se per ogni giocatore i: ∀ s ∈ S , u i ( s i , s − i ) ≥ u i ( s i ′ , s − i ) ∀ s i ′ ∈ S i In altre parole: definizione di equilibrio di Nash. Nel gioco in forma normale con n giocatori G={S1,..., Sn; u1,..., un}, le strategie (s1*,..., sn*) sono un equilibrio di Nash se, per ogni giocatore i:

giocatore i, s * è la miglior risposta del giocatore i alle strategie,...,s* *,...sspecificate per gli altri n-1 giocatori, (s , s *,s *).1 i-1 i i+1 n( )* *, * *u s ,....s , s , s ,....smaxs * risolve il problema - +i 1 i 1 i i 1 ni s S∈1 iTeorema di Nash.Ogni gioco non cooperativo, finito (numero di strategie finito), a n persone ammette una situazionedi equilibrio in strategie miste. Per i giochi infiniti esistono soluzioni di equilibrio sotto certecondizioni.Il concetto di equilibrio di Nash è auto vincolante: si compone di una prescrizione sul propriocomportamento e di una predizione sul comportamento altrui, attraverso la risoluzione congiuntadel proprio e dell'altrui problema di scelta. Nell'equilibrio di Nash le aspettative coincidono con lescelte, dunque il comportamento atteso e quello reale coincidono.Esempio:1, 2 l m n Il giocatore 1 non sceglierà mai la strategia c, quindi il giocatore 2sceglierà la strategia n,

Di conseguenza il giocatore 1 sceglierà laa 3,1 2, 2 0, 4 strategia b. Se 2 sceglie l, 1 sceglie a; se 2 sceglie m, 1 sceglie a;se 2 sceglie n, 1 sceglie b; Se facciamo al contrario: se 1 sceglie a,b 1,1 0, 2 4,3 2 sceglie n; se 1 sceglie b, 2 sceglie n; se 1 sceglie c, 2 sceglie m.avrebbe due pallini e dunque sarà l'equilibrio di Nash. Dunque (b,n)c 0,0 1, 4 3,0 Nessuno dei due vuole modificare la sua scelta pur conoscendo la114scelta dell'altro. In questo caso non abbiamo utilizzato la strategia di scelta dominante odominante, ma abbiamo utilizzato la strategia di risposta ottima. Intuitivamente nell'equilibrio di Nash ogni giocatore sta operando la strategia migliore (strategia di risposta ottima), date le migliori strategie degli altri giocatori. Il punto di partenza sia allora costituito dalla ricerca della risposta ottima di ogni giocatore alle possibili strategie giocate dagli avversari. Esempio: 1, 2 l m rU 5,3 0, 4 3,5 M 4, 0 5,5 4, 0 di Nash è (M,

m).→ L'equilibrio D 3,5 0, 4 5,3 Assenza di equilibrio in strategie pure: Giocare in strategie pure per il giocatore A vuol dire scegliere a1A , B oppure a2, per il giocatore B scegliere b1 o b2. Giocare in strategieb b miste vuol dire scegliere una certa probabilità, ad esempio scegliere1 2 a1 con probabilità 1/2 e a2 con probabilità 1/2. Non vi è equilibrio ina 4,3 2, 4 questo caso. 1a 2,8 8, 72 Equilibrio in strategie miste: = + + + MaxE( U ) 2p v 3p v 2p v 1p v A , B v v v * A 1 1 2 1 1 2 2 2 1 2 ( )= - + + MaxE(U) p 1 2 v 2 v 1 b b A 1 1 1 1 2 =2,3/2 p 3 / 4p a 2, 2 2,1 1 1 = + + + MaxE( U ) 2p v 2p v 1p v 5p v 2,7/2p a 3, 2 1,5 B 1 1 2 1 1 2 2 2 = - - -2 2 MaxE( U ) v ( 4p 3) 4p 5 9/4,2 7/4,2 2,2 B 1 1 1 p * =p 1 / 22 Ciascun giocatore sceglie quella strategia mista (distribuzione di probabilità) che rende la vincita dell'altro indipendente dalla sua (dell'altro) scelta di una strategia particolare. Più di un

equilibrio:A , B b b b b1 2 3 4 In questo caso vi è più di un equilibrio: a1,b1 e a2,b4,devo fare il gioco dei pallini.

-a 9, 6 3,5 4,3 0, 11 - -a 0, 2 5, 1 6,3 3,82 115

Un unico equilibrio che non ci piace (dilemma del prigioniero):

Le due imprese devono decidere se fare o nonA, B pubblicità nonpubblicità fare una campagna pubblicitaria. Se nessunapubblicità 100,100 120, 70 delle due fa pubblicità il profitto sarà di 110nonpubblicità 70,120 110,110 ciascuna. Se solo una delle due fa pubblicità,essa ruba i clienti all'altra impresa. SeQual è l'equilibrio di Nash?entrambe la fanno ottengono un profitto di 100 ciascuno. 100,100poiché "pubblicità" è una strategia dominante per entrambi, ma se non avessero fatto pubblicitàentrambi avrebbero ottenuto un profitto migliore. Questo si chiama "dilemma del prigioniero".

Vi sono anche delle

Applicazioni militari, due superpotenze con migliaia di armamenti nucleari. Se uno si arma mi armo anch'io, se l'altro non si arma, io mi armo per avere un vantaggio. Altro esempio, dopo la caduta delle torri gemelle molti politici ricevettero delle lettere all'antrace, veleno che non sarebbe dovuto più esistere, vietato dai trattati. Alla fine, tutti avevano tenuto una piccola scorta perché "non si sa mai". Fino ad ora abbiamo visto giochi statici rappresentabili attraverso una bi-matrice, in cui i giocatori operano la scelta simultaneamente o comunque non conoscendo le scelte altrui. Invece nei giochi dinamici esiste un ben definito ordine del gioco cosicché al momento della scelta il giocatore è a conoscenza delle scelte di chi l'ha preceduto, es. dama, scacchi.

Giochi in forma normale. I giochi in forma normale visti fino ad ora sono rappresentabili attraverso matrici e i giocatori compiono le loro strategie simultaneamente.

Nessun giocatore dispone di informazioni sullealtri. L'informazione è imperfetta.strategie scelte dagliGiochi in forma estesa.Nei contesti nei quali le scelte sono effettuate secondo un certo ordine temporale, il fatto chealmeno un giocatore abbia informazioni sulle mosse degli altri, rende dinamico il gioco. I giochidinamici sono normalmente rappresentati attraverso la struttura ad albero o rappresentazione informa estesa.La struttura ad albero è una successione di vertici e di ramificazioni unica. Ogni verticeRappresentazione di un gioco inrappresenta un punto di decisione per un giocatore, mentre le ramificazioni sono le mosseforma estesadisponibili. La forma ad albero specifica:

• dei giocatori (I, II);
• L'ordine delle mosse del gioco;
• Per ogni vertice qual è il giocatore a cui spetta la mossa;
• Le informazioni di cui un giocatore dispone;
• Le scelte che il giocatore ha a disposizione;
• I payoff

Attesi dei giocatori: (2,1) (1,1) (1,0) (0,1)

Informazione perfetta ed imperfetta

Informazione perfetta: se tutti gli insiemi di informazione (tutti i vertici) di tutti i giocatori consistono di un solo elemento. Il giocatore 2 conosce se si trova su un vertice oppure su un altro.

Informazione imperfetta: quando è il turno di gioco del giocatore 2, egli non sa in che vertice si trova. Ciò significa che la sua informazione è imperfetta. Il giocatore 2 non conosce la scelta fatta dal giocatore 1.