Metodi statistici per il controllo della qualità

DISEGNO FATTORIALE COMPLETO

Il disegno faIoriale completo è un disegno sperimentale in cui si:

- studiano contemporaneamente più faIori, assegnando a ciascuno pari importanza -> FATTORIALE

- si considerano tuIe le combinazioni possibili tra i livelli dei fa>ori -> COMPLETO

Inoltre, il disegno è de>o anche "mixed-level" quando i fa>ori non hanno tu' lo stesso numero di livelli.

Un vantaggio fondamentale di questo disegno è la possibilità di s/mare sia gli effeG principali (cioè

l’effe>o di ciascun fa>ore isolato) sia le interazioni tra i fa>ori.

INTERAZIONE: da/ due fa>ori A e B, l’interazione è la variazione tra i livelli di A al variare dei livelli di B.

Il modello sta/s/co generale è: yijr =μ+αi +βj +(αβ)ij +εijr

Dove:

• μ è la media generale,

• αi, βj sono gli effe' principali,

• (αβ)ij è la componente di interazione,

• εijk N(0,σ2) è l’errore casuale.

∼iid

Perché è importante avere repliche? Perché avere repliche in questo disegno significa poter s/mare la

variabilità rela/va a ciascuna combinazione sperimentale.

Graficamente, la presenza di interazioni è misurata a>raverso la diversa pendenza dei segmen/.

Se i segmen/ hanno pendenza parallela allora non c’è interazione.

Si u/lizza il p-value, uno strumento sta/s/co che varia tra 0 e 1 ed è un valore che ci perme>e di s/mare il

livello di significa/vità dell’effe>o principale:

• un p-value vicino a 0 indica presenza di effe>o (o interazione) significa/vo;

• un p-value vicino a 1, l’effe>o è nullo o trascurabile.

DISEGNO QUADRATICO LATINO

Si stru>ura su un quadrato di dimensione K×K -> K rappresenta il numero di livelli di ciascun fa>ore.

Per esempio, se K = 3, avremo una matrice 3x3 con 3 livelli per ciascuno dei 3 faIori presen=.

Nel disegno a quadrato la/no sono coinvol/:

• Un faIore sperimentale, che dovrà essere disposto secondo le le>ere la/ne.

• Due faIori di blocco: il faIore riga e il faIore colonna.

3 proprietà:

- Tu' i fa>ori hanno lo stesso numero di livelli k

- Le le>ere la/ne devono apparire una volta per riga e una volta per colonna per controllare

sistema/camente l’effe>o dei blocchi. Mi servono per randomizzare i livelli del fa>ore sperimentale

entro ciascun livello dei fa>ori blocco.

- Randomizzazione vincolata, a>raverso le le>ere. Riga e colonna non possono essere randomizzate

perché sono fa>ori fissi.

È un modello addi/vo in cui si presuppone a priori che non abbia interazione tra fa>ori di interesse e

fa>ori blocco.

FATTORI BLOCCO: fon/ note di variabilità che possono influenzare la risposta e che quindi vogliamo

neutralizzare per isolare l’effe>o del fa>ore sperimentale. Sono anche de' faIori sub sperimentali,

perché pur non essendo ogge>o dire>o dello studio, sono fondamentali nel disegno e non possono

essere elimina=.

Il modello sta=s=co di un disegno a quadrato la/no senza replicazioni è il seguente:

Yijt =μ+αi +βj +γt +εijt

Dove:

• μ = media generale,

• αi = effe>o del blocco di riga

• βj = effe>o del blocco di colonna

• γt = effe>o faIore sperimentale

• εijt = componente accidentale, cioè l’errore sperimentale.

Con replicazioni: Yijtr =μ+αi +βj +γt +εijtr

Dove:

• r indica la replicazione della combinazione sperimentale,

• tu>e le componen/ sono addi=ve, cioè non ci sono interazioni tra i fa>ori.

DISEGNO FATTORIALE FRAZIONALE

Il disegno faIoriale frazionario nasce dal disegno fa>oriale completo, per poi frazionarlo, selezionando un

numero rido>o di combinazioni sperimentali.

Tu>avia, quando si fraziona, non ho più corrispondenza biunivoca tra ve>ore e effe>o principale, e ciò

comporta un effeIo di confondimento: gli effe' principali possono confondersi con le interazioni di primo

ordine.

Per s/mare gli effe' principali, si assume quindi che le interazioni di primo ordine siano nulle o

trascurabili.

Un disegno frazionario è costruito su matrici ortogonali, in cui la somma degli elemen/ di ciascun ve>ore è

pari a zero.

L’alias paIern descrive la stru>ura dei confondimen/, ovvero quali effe' sono confusi tra loro. Due regole

algebriche fondamentali ci aiutano a definirlo:

• Se mol/plico due effe' principali uguali, o>engo il ve>ore unitario (AxA= I)

• Se mol/plico un effe>o principale per il ve>ore unitario, o>engo lo stesso effe>o principale (AxI=A)

Applicando queste regole o>eniamo la stringa definitoria, che rappresenta il ve>ore scelto per operare il

frazionamento.

DEFINING CONTRAST: è un singolo ve>ore di interazione che viene usato per generare il frazionamento nel

disegno fa>oriale frazionale.

STRINGA DEFINITORIA: iden/fica univocamente il disegno fa>oriale frazionale

ALIAS PATTERN: è la stru>ura dei confondimen/ del nostro specifico disegno

COMPLETE DEFINING RELATION: è l'insieme completo di tu' i Defining Contrast che cara>erizzano il

disegno fa>oriale frazionale. Questo insieme definisce completamente il pa>ern di confondimento del

disegno, ossia tu>e le relazioni di alias tra fa>ori e interazioni.

DISEGNO A BLOCCHI RANDOMIZZATI COMPLETI

Quando è presente una fonte di variabilità nota che non è di interesse dire>o ma potrebbe influenzare la

risposta, si ado>a il disegno a blocchi randomizza= comple=.

Questo /po di disegno prevede la presenza di due fa>ori:

• un faIore sperimentale principale (fa>ore A), di cui vogliamo testare l’effe>o;

• un faIore di blocco, il blocco, anche se non è ogge>o dire>o dell’esperimento, è molto u/le

perché permeIe di spiegare una parte della variabilità altrimen= aIribuita all’errore, migliorando

così la potenza del test sul fa>ore principale

Il fa>ore sperimentale influenza dire>amente il fa>ore blocco che a sua volta influenza indire>amente la

variabile di risposta.

In questo caso, si u/lizza il modello dell’ANOVA a due vie (Two-Way ANOVA), che può essere espresso,

nella sua forma più generale, come: Yij = μ+αi+βj+εij

Dove:

• Yij è l’osservazione sperimentale;

• μ è la media generale;

• αi è l’effe>o del livello i del faIore A;

• βj è l’effe>o del livello j del faIore B (cioè il blocco);

• εij è l’errore casuale, che si assume essere indipendente e iden/camente distribuito con media zero

e varianza costante (omoschedas/cità).

Abbiamo una randomizzazione vincolata ossia tu' i livelli del fa>ore sperimentale compaiono in ogni

livello di B

Si deve hp a priori che non ci sia interazione tra fa>ore di interesse e fa>ore blocco.

Ø CRITERIO DI RISOLUZIONE

Il criterio di risoluzione è uno strumento fondamentale nella costruzione dei disegni faIoriali frazionali,

perché definisce il /po di confondimento tra gli effe' s/ma/. In pra/ca, il criterio di risoluzione, insieme

all’ alias paIern, perme>e di costruire un disegno frazionale semplificato mantenendo il controllo sul /po

di confondimento tra effe'.

Un disegno fa>oriale frazionale si dice di risoluzione R se un effe>o che coinvolge p faIori è confuso

soltanto con effe' che contengono almeno R - p fa>ori.

Questo significa che più alta è la risoluzione, meno rischioso è il confondimento tra effe' di interesse.

Le risoluzioni più u/lizzate nei disegni fa>oriali frazionali sono la 3, la 4 e la 5:

RISOLUZIONE III: In un disegno di risoluzione 3, gli effe' principali (cioè quelli che coinvolgono un

solo fa>ore) si confondono con interazioni di primo ordine (cioè interazioni a due fa>ori) o

superiori. Questo è un /po di disegno piu>osto rischioso, perché si assume che le interazioni di

primo ordine siano nulle o al più trascurabili.

RISOLUZIONE IV: In un disegno di risoluzione 4, gli effe' principali si confondono solo con

interazioni di secondo ordine o superiori, mentre le interazioni di primo ordine (interazioni a due

fa>ori) possono confondersi tra di loro. Ad esempio, l’interazione AB può essere confusa con BC.

Questo significa che la s/ma degli effe' principali è più affidabile rispe>o a un disegno di

risoluzione 3, ma rimane un certo rischio di confondimento tra le interazioni di primo ordine.

RISOLUZIONE V: In un disegno di risoluzione 5, gli effe' principali si confondono soltanto con

interazioni che contengono 4 o più fa>ori. Questo garan/sce una maggiore a>endibilità e

accuratezza nelle s/me degli effe' principali.

TAGUCHI

Taguchi definisce la qualità come la perdita che il prodoIo causa alla società dal momento in cui esce

dalla fabbrica, escludendo le perdite dovute al normale u=lizzo per le sue specifiche funzioni.

La funzione di perdita quadra=ca è data da: E = (y − τ)²,

dove:

– y è il valore osservato della qualità,

– τ (tau) è il target, cioè il valore o'male a>eso della risposta,

–> quindi la perdita cresce con lo scarto quadra=co rispeIo al target.

L’obie'vo del metodo di Taguchi è minimizzare questa perdita, cioè migliorare la qualità del prodo>o

rendendolo il più vicino possibile al target, e il meno sensibile possibile alle variazioni esterne.

PARAMETER DESIGN

Il parameter design di Taguchi ha come obie'vo l’iden=ficazione del livello oGmale dei faIori di

processo per minimizzare la variabilità e avvicinarsi al target.

Fase 1 – Iden=ficazione dei faIori e dei range

I fa>ori vengono dis/n/ secondo il ruolo e il range (cioè il campo di variazione, qualita/vo o quan/ta/vo).

I faIori si dividono in:

• FaIori di controllo, che devono essere regola/ per rendere il processo robusto, cioè poco sensibile

ai disturbi;

• FaIori di aggiustamento, che servono per centrare il target, ovvero per portare la risposta al

valore desiderato.

Fase 2 – Disegno sperimentale a due matrici (Product Array)

Il disegno sperimentale consiste in due matrici ortogonali (per s/mare separatamente gli effe')

incrociate:

• Una matrice interna: con/ene tu' i faIori di processo e le loro interazioni di primo or