Metodi quantitativi per la finanza

X= (1,2,-1) e Y=(-2, 1,-3) con coefficienti c=3 e d=-1 è data da: 3X+(-1)Y=3(1,2,-1)+(-1)(-2,1,-3)=(3,6,-

3)+(2,-1,3)=(5,5,0).

Come si può notare nel primo passaggio si effettuano le operazioni di moltiplicazione per uno scalare e

successivamente l’operazione di somma.

In generale, dati m vettori della stessa dimensione n

11 1 n1 1m m m

X =(x ,x , …,x ) … X =(x ,x , …,x )

1 2 m 2 n

e m scalari c … c , la combinazione lineare degli m vettori X …X con coefficienti c … c è il vettore di

1 m 1 m 1 m

dimensione n dato da: 11 m 1 m

c X + …+c X =(c x + …+c x ,…, c x + …+c x )

1 1 m m 1 m 1 1 n m n

Esempio: La combinazione lineare dei 3 vettori di dimensione 2: X =(1,-1), X =(2, 1) e X =(0,-3) con

1 2 3

coefficienti c =2, c =-1 e c =4 è data da 2X +(-1)X +4X = 2(1,-1)+(-1)(2, 1)+4(0,-3) = (2,-2)+(-2,-1)+

1 2 3 1 2 3

+(0,-12)=(2-2+0,-2-1-12)=( 0,-15).

Le attività finanziarie

Un’attività finanziaria rappresenta un diritto legale a scambiare importi monetari nel tempo. Le attività

finanziarie si distinguono in: • Titoli di credito (o debito) • Titoli azionari.

I titoli di credito obbligano l’emittente a corrispondere gli importi stabiliti contrattualmente agli istanti di

tempo previsti e perciò vengono chiamati titoli obbligazionari.

Molte società private e Stati Sovrani si autofinanziano indebitandosi nei confronti di numerosi investitori.

•

Infatti, l’ammontare complessivo del debito viene suddiviso in un numero molto elevato di titoli che

vengono collocati sul mercato (mercato primario) per essere acquistati dagli investitori (detti

obbligazionisti).

• Fondamentale è la proprietà di trasferibilità, secondo la quale, l’investitore, che ha acquistato il titolo sul

mercato primario, può a sua volta rivendere il titolo in qualsiasi momento e al prezzo da lui stabilito,

indipendentemente dalla volontà dell’ente emittente. Si genera quindi il cosiddetto mercato secondario.

I titoli azionari incorporano diritti di proprietà. I detentori delle azioni (detti azionisti) sono a tutti gli

effetti proprietari della Società in proporzione al numero delle azioni possedute, partecipano alla politica

decisionale e ricevono parte dei guadagni dopo che saranno stati rimborsati tutti i detentori dei titoli di

credito.

Le operazioni finanziarie elementari (a pronti)

Un’operazione finanziaria elementare a pronti è un’attività finanziaria che prevede lo scambio di due importi

monetari di cui uno, P, esigibile immediatamente all’istante t, e l’altro, C, in una data futura s (s>t).

Adotteremo la convenzione, secondo cui gli importi in uscita sono considerati di segno negativo e quelli in

entrata di segno positivo. Per cui distinguiamo:

• le operazioni elementari di investimento che sono caratterizzate matematicamente dalla coppia di

vettori, di dimensione 2, X=(-P,C) e T=(t,s), che si indica in maniera compatta X=(-P,C)/T=(t,s), dove il

vettore X viene detto flusso degli importi, mentre T viene chiamato scadenzario.

(all’incasso si usa segno positivo, al pagamento invece il segno negativo).

• Le operazioni elementari di finanziamento

che sono caratterizzate matematicamente dalla coppia di vettori, di dimensione 2, X=(P,-C)/T=(t,s). 2

Secondo l’impostazione classica, si assume C>P (postulato di impazienza), supponendo quindi che nessuno

è disposto a rinunciare immediatamente all’importo P per ricevere in una data futura un importo inferiore C.

Molti titoli obbligazionari sono progettati secondo lo schema delle operazioni elementari a pronti e vengono

chiamati titoli a cedola nulla (TCN).

Se si considera l’operazione di acquisto di un (TCN), definiremo:

• P prezzo di emissione, se l’acquisto avviene al momento dell’emissione (il prezzo che viene pagato all’ente

mittente, quindi sul mercato primario), quotazione o semplicemente prezzo se l’acquisto viene fatto sul

mercato secondario (questo prezzo viene stabilito dall’investitore in un istante temporale qualunque);

• C valore nominale o di rimborso;

• s scadenza o maturity;

• s-t vita a scadenza (esprime la durata dell’operazione finanziaria).

Esempio: Lo Stato italiano emette i Buoni Ordinari del Tesoro (BOT), che sono (TCN) con vita a scadenza

un mese, tre mesi, sei mesi, o un anno.

9.04.24

Grandezze finanziarie

In riferimento ad un’operazione finanziaria elementare a pronti X= (-P, C)/ T= (t,s), definiamo le principali

grandezze finanziarie periodali:

L’interesse periodale fornisce il compenso richiesto per rinunciare all’importo P per l’intervallo di tempo s-t.

Esso ha per dimensione l’unità monetaria prescelta.

• Il tasso di interesse periodale misura il compenso percentuale in rapporto all’importo iniziale. Esso è

adimensionale perché rapporto fra due grandezze che si misurano con la stessa unità di misura, di solito si

esprime in percentuale.

• L’intensità di interesse periodale si ottiene «spalmando» uniformemente il tasso di interesse periodale su

-1

tutto il periodo. Ha per dimensione (tempo) perciò il suo valore numerico varia a seconda dell’unità di

misura temporale adottata.

Esempio: Alla data t=0 supponiamo di acquistare un TCN (titolo a cedola nulla) al prezzo P=98 euro che

scade dopo due anni (s=2 anni). Il valore di rimborso è C=100 euro.

Calcoliamo le grandezze periodali.

• I(0,2)=100-98=2 euro

• j(0,2)=2/98=0.0204=2.04% -1

• γ(0,2)=0.0204/2=0.0102 (anni) . 3

Se adottassimo come unità di tempo il semestre, avremmo t=0 e s=4 semestri quindi

-1

γ(0,4)=0.0204/4=0.0051 (semestri) , il valore numerico sarebbe ben diverso!

Titoli a cedola fissa

L’acquisto a pronti di un titolo a cedola fissa (TCF) è un’operazione finanziaria di investimento che prevede

lo scambio dell’importo positivo P esigibile al tempo t con il flusso di importi positivi così strutturato:

X=(I,I,…,I,I+C) (X è senza prezzo)

T=(t ,t = t + T,…, t = t + T, t = t +T) dove t‹t e T>0.

definito sullo scadenzario periodico 1 2 1 m-1 m-2 m m-1 1

La stessa operazione può essere vista dal lato dell’emittente e rappresentata con gli importi di segno

opposto.

L’operazione è complessivamente rappresentata da:

X*=(-P,I,I,…,I,I+C)/T*=(t,t ,t = t + T,…, t = t + T).

1 2 1 m m-1

Definiamo:

• I cedola

• C valore nominale

• t scadenza

m

• t - t vita a scadenza (è la durata di tutta l’operazione finanziaria)

m

• T viene detta periodicità dei pagamenti: T=1 significa che, se scegliamo come unità di tempo l’anno, le

cedole vengono corrisposte con periodicità annuale, T=0.5 con periodicità semestrale, T=0.25 con

periodicità trimestrale e così via.

Si dice che il titolo è emesso sotto la pari se P<C, è emesso sopra la pari se P>C, è emesso alla pari se P=C.

C valore di parità. Se I indica la cedola, si definisce tasso cedolare la quantità:

I

TC= c

Se si moltiplica il tasso cedolare per il numero di cedole staccate in un anno, si ottiene il tasso nominale:

I

=

TN TC

Per esempio, se T= 0.5 (cedole semestrali), il titolo stacca due cedole ogni anno ed il tasso nominale è pari a

due volte il tasso cedolare.

Esercizio: Si consideri l’acquisto, al tempo t=0 e al prezzo P=102.5 euro, di un TCF a un anno con cedola

semestrale, tasso nominale annuo TN=7% e valore nominale C=100. Rappresentare l’operazione finanziaria.

I =

Poiché TN= 2TC= 2 7 % si ha I= 7/2= 3.5. Ne segue che l’operazione finanziaria è rappresentata da:

c

X*= (-102.5, 3.5, 103.5) su T*= (0,1,2) in semestri. (è tutto in euro)

Esempio: I Buoni del Tesoro Poliennali (BTP) sono titoli a cedola fissa emessi dallo Stato Italiano. Hanno

cedole semestrali e vita a scadenza 3, 5, 7, 10 e 30 anni.

Nel caso dei titoli a cedola fissa, il prezzo P si definisce “corso tel quel”. Da un punto di vista operativo,

soprattutto se si acquista sul mercato secondario in un istante t compreso fra l’istante t di pagamento

0 4

dell’ultima cedola precedente l’acquisto e l’istante t di pagamento della prima cedola in scadenza, la

1

valutazione si effettua al cosiddetto “corso secco”: Q= P-A. A viene detto rateo di interessi ed è dato da:

t−t 0

A=I −t

t 1 0

Da un punto di vista finanziario, la quotazione al corso secco consente di «depurare» il prezzo del titolo

dall’effetto cedola in corso, dovuto al fatto che, al tempo t, c’è una cedola che si è maturata solo

parzialmente. Il rateo vale 0 al momento dell’emissione e se t= t cioè subito dopo lo stacco di ogni cedola.

0

Definizione generale di operazione finanziaria

Prendendo spunto dalle considerazioni precedenti è possibile estendere la definizione di operazione

finanziaria. Precisamente un’operazione finanziaria a pronti (all’istante t si fissa il prezzo e una delle due

parti contraenti paga) consiste nello scambio di un importo unico P esigibile immediatamente all’istante t

con l’attività finanziaria definita dal flusso di importi (di segno qualsiasi con la convenzione dei segni):

X=(x , x ,…, x ) sullo scadenzario (non necessariamente periodico): T=(t , t ,…,t ) dove t < t < t < … < t .

1 2 n 1 2 n 1 2 n

Ponendo x =-P e t =t, un’operazione finanziaria (di investimento) è caratterizzata dai due vettori di

0 0

X*=(x =-P, x ,…, x )

dimensione n + 1: 0 1 n

T*=(t =t, t ,…,t )

0 1 n

e possiamo denotare in maniera compatta tutta l’operazione finanziaria (data da una coppia di vettori) come

X*/T*.

10.04.24

Portafogli di attività finanziarie

La realtà finanziaria richiede di «combinare» più operazioni finanziarie contemporaneamente. A questo

scopo, il primo problema, che si incontra, è quello che le attività finanziarie possono riferirsi a scadenzari

diversi. Per ovviare a questo problema, si considera come scadenzario comune quello ottenuto facendo

prima l’unione insiemistica (si prendono elementi che appartengono almeno a uno dei due insiemi) dei

diversi scadenzari e ponendo quindi i tempi in ordine crescente. I flussi degli importi delle attività

finanziarie coinvolte andranno ridefiniti sullo scadenzario comune, mantenendo, per ciascuna attività, uguali

gli importi ai tempi già contemplati nello scadenzario iniziale e inserendo importi nulli nei tempi introdotti

dal nuovo scadenzario. Questo modo