Metodi numerici per problemi non lineari

Metodi Numerici per Problemi Non Lineari Corso di Meccanica Non Lineare per Strutture Avanzate Prof. Giuseppe Vairo, Prof. Michele Marino, Prof. Andrea Micheletti, Ing. Pierfrancesco Gaziano Appunti a cura di Matteo Possidente Lezione a cura del Prof. Michele Marino Matteo Possidente MNSA Indice 1 Aspetti generali 2 2 Fenomeno dello snap-trough 2 3 Il Metodo di Newton-Raphson 3.1 Newton-Raphson modificato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Convergenza non sempre garantita . . . . . . . . . . . . . . . 6 8 9 4 Line-Search Method 5 Arc-Length Method 5.1 Versione Completa . . 5.2 Versione Semplificata . 5.3 Algoritmo per scrittura 5.4 Risultati . . . . . . . . Metodi Numerici 10 . . . . del . . . . . . . . . . codice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 12 14 20 22 1 Matteo Possidente MNSA Metodi Numerici in Non Linearità 1 Aspetti generali I problemi non lineari, possono essere espressi attraverso tante equazioni che colleziono in un vettore definito nel seguente modo: R(d) = F Dove R(d), rappresenta le forze interne e F, rappresenta le forze esterne. Questi problemi presentano diverse caratteristiche peculiari che ne rendono l’analisi e la risoluzione significativamente più complesse rispetto ai problemi lineari. Innanzitutto, la natura non lineare dell’equazione implica una dipendenza non lineare tra le variabili coinvolte, introducendo una complessità intrinseca nel problema. Questa non linearità può condurre a soluzioni multiple o addirittura all’assenza di soluzioni, rendendo essenziale uno studio accurato per determinare la validità e l’esistenza delle soluzioni. La dipendenza sensibile dalle condizioni iniziali aggiunge un ulteriore livello di complessità. Poiché piccole variazioni nelle condizioni iniziali possono influenzare in modo significativo le soluzioni, è imperativo considerare attentamente queste condizioni al fine di ottenere risultati accurati e significativi. Per a↵rontare tali problemi, spesso si ricorrere a metodi numerici iterativi. In questa sede vedremo il metodo di Newton-Raphson, il Line-Search Method e l’Arc-Length Method nell’ambito della non linearità strutturale. 2 Fenomeno dello snap-trough Lo snap-through è un comportamento di instabilità non Euleriana. Questo fenomeno si manifesta per esempio nelle strutture tipo arco ad elasticità di↵usa (sostanzialmente si considera un sistema di aste deformabili quindi elastiche), dove l’arco, sotto carico crescente, subisce un cambiamento improvviso e non lineare nella sua configurazione di equilibrio. Sebbene si conservano la linearità costitutiva e le condizioni al contorno, si ha non linearità geometrica come conseguenza di grandi spostamenti e Metodi Numerici 2 Matteo Possidente MNSA grandi deformazioni. Quando l’arco subisce grandi deformazioni, le equazioni dell’equilibrio