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Estratto del documento

Se u è pari allora bk=0, se u è dispari allora au=0

1/2 ∫ (1+t) cos(kπt) dt = [ (1-t) sen (kπt)π ]0 - ∫ (-1)x sin (kπt)

= - (cos(kπt)/kπ)0 1 - (-cos(kπt)+1/(kπ)2 = ((-1)k + 1)/k2π2

u(t) = et per t ∈ [0,2π]

prolung. 2π-periodico

ûk =1/2π ∫02π et e-ikt dt =1/2π ∫02π e(1-ik)t dt =

=1/2π [e(1-ik)t] 2π/1-ik =1/2π [e(1-ik)2π-1/1-ik] =

=1/2π e2π - 1/1-ik - (e2π -1)/2π 1/1-ik =1/k 1/1+ik =

e2π - 1/2π 1+ik/1+k2 e2π - 1/2π (1/1+k2 ck 1+ik)

Ak = 2 Re ûk = e2π - 1/π 1/1+k2

bk = -2 Imm ûk = 1 . eπ/π k/1+k2

a0 . û0 = e2π 1/2π

⇒ Su(t) = e2π - 1/2π ∑k = -∞ +∞ 1+ik/k2 - 1 eikt

Es. Calcolare Su(0) = Su(2π) = Su(kπ)

13/12/19

Serie

:ℝ → ℂ -periodico

₀ = 2/T

Ûk = 1/T ∫-T/2T/2 (t) e-i₀t dt

(t) = ∑k=-∞+∞ Ûk ei₀ t =

= limN →+∞ ∑k=-NN Ûk ei2/T t

Trasformate

: ℝ→ℂ segnate limitato

non periodico

Definiamo una sorta di:

Û() = ∫-∞+∞ (t) e-it dt

∈ℝ qualunque

L'idea è quella di ricostruire come (t) = 1/2 ∫-∞+∞ Û()eit d =

= 1/2 limK→+∞ ∫-KK Û()eit d

(Sulle dispense è fatta in maniera diversa)

Cerchiamo di giustificare la Û().

Giustificazione: supponiamo : ℝ→ℂ limitato di durata limitata,

cioè esiste un numero reale positivo ∃>0 tale che (t)=0 se ||>

T>2 (ora è fisso T).

(t) = () se ||−T/2 ≤ 0, 0 se t < 0} segnale limitato ⟹ L-trasformabile

U(s) = ∫0∞ u(t) e−st dt = ∫0∞ 1 ⋅ e−st dt = limT ⟶ +∞ ∫0T e-st dt

= limT ⟶ +∞ [ e−st / -s ]T0 = limT ⟶ +∞ [ e−sT - 1 / -s ] = 1 / s se (Re s > 0)

[ limT ⟶ +∞ |e-sT|, limT ⟶ +∞ e−Re s0T = 0 se Re s0 > 0 ]

mentre se Re(s0) < 0 il limT ⟶ +∞ e-sT non esiste

sempiano positivo ma esclude la retta. (per esendo definita ovunque)

Dettagli
Publisher
Mariao
A.A. 2019-2020
57 pagine
SSD Scienze economiche e statistiche SECS-S/06 Metodi matematici dell'economia e delle scienze attuariali e finanziarie
I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher Mariao di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Metodi matematici e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Università degli Studi di Pavia o del prof Lisini Stefano.