Metodi di calcolo delle strutture

K D AB

dato che è simile a tramite la matrice , si nota che anche la matrice di rigidezza è simmetrica

definita positiva.

2.4.2 Metodo delle forze

La logica del metodo degli spostamenti si basa sul determinare quale configurazione strutturale è

cinematicamente ammissibile tra tutte quelle staticamente sensate.

Come già visto in precedenza partendo da una generica struttura è possibile calcolare il campo delle forze

S > S

(quindi è necessario che 0 , sennò non avrebbe senso farlo) tramite la sovrapposizione di + 1 campi

(i)

f

di forze rappresentanti strutture cinematicamente determinate (per renderle determinate è necessario

rimuovere dei vincoli, di solito si tolgono le molle) in cui:

(0)

S

• la struttura 0 è isostatica, quindi = 0 , e sono presenti i carichi esterni;

(i)

i S

• le strutture hanno anch’esse = 0 ma non presentano carichi esterni, però hanno una reazione

i

unitaria nel vincolo rimosso (la reazione è unitaria, ma l’effetto finale è proporzionale all’incognita

x

iperstatica corrispondente al vincolo rimosso di cui si impone la reazione).

i

S > S

In pratica partendo da una struttura con 0 si rimuovono dei vincoli in modo da renderla ad = 0

(questi vincoli rimossi comporteranno degli spostamenti che nel sistema iniziale non erano permessi); a

questo punto devo calcolare (tramite equazioni di congruenza e di compatibilità per le molle) il valore

s S

degli spostamenti sia per la struttura senza reazioni con i carichi esterni “accesi” , sia per le strutture

con i carichi esterni “spenti” ma con ognuna una reazione “accesa” di modulo unitario e di direzione

“work-conjugated” al rispettivo spostamento (in parole povere se ho rimosso un carrello verticale il

rispettivo spostamento è verticale, quindi devo imporre una reazione unitaria e verticale con lo stesso

verso della convenzione per lo spostamento). 15

CAPITOLO 2. ELASTICITÀ CONCENTRATA (i̸ =0)

s

L’ipotesi di linearità della struttura mi permette di dire che gli spostamenti sono proporzionali

x

tramite il valore delle reazioni (le reazioni infatti “lavorano” nelle direzioni dei gradi di libertà sbloccati,

i

quindi delle incognite iperstatiche) agli spostamenti prodotti da reazioni unitarie, posso dunque calcolare

il valore degli spostamaenti per l’intera struttura tramite sovrapposizione:

N

(0) (j)

X

s s x s

= + per ogni i-vincolo rimosso rispetto al problema reale

i j

i i

j=1

Nella struttura reale però i vincoli rimossi ci sono, e quindi gli spostamenti non sono permessi (sono

s

nulli), dunque l’ultimo step da compiere e porre tutti gli spostamenti = 0 ottenendo così un sistema

i

x

lineare in cui le incognite sono le (ossia le incognite iperstatiche); infine, come già visto all’interno della

j

caratterizzazione statica, avendo a disposizione i valori delle incognite iperstatiche è possibile ricavare

tutto il campo delle forze (e per compatibilità anche il campo degli spostamenti).

Il metodo funziona (nel senso che è risolvibile) perché nella struttura 0 la statica è determinata e quindi

i

risolvibile; nelle strutture invece c’è un grado di iperstaticità acceso ma la reazione imposta forza gli

N S

spostamenti delle molle, che quindi riducono il numero a coincidere nella pratica con (quindi anche

la cinematica è risolvibile).

2.4.2.1 Approccio al MdS con il PSTCPE

È possibile, in alternativa al calcolo degli spostamenti sbloccati, utilizzare il principio di stazionarietà

dell’energia potenziale complementare totale per ricavare il valore reale delle incognite iperstatiche.

S > S

Si inizia, come prima, a prendere una struttura 0 e renderla = 0 togliendo vincoli che producono le

incognite iperstatiche scelte; tramite il principio di sovrapposizione poi si calcolano le forze generalizzate

(per la struttura totale) delle molle (queste servono per calcolarne l’energia elastica complementare) in

funzione delle incognite iperstatiche, secondo: (j)

X

Q x Q

= per ogni i-molla

i j i

j

(j)

Q j-struttura j

dove le si riferiscono alla in cui è stata imposta una reazione unitaria nel vincolo .

⋆

⊓

A questo punto si calcola l’energia potenziale complementare totale della struttura :

1 T

⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆

⊓ − ·

V V V W V Q CQ W R s

(Q) = + = con = e =

reaz reaz

int ext el reaz el 2

⋆

⊓

Imponendo che sia stazionario si ottiene una relazione (matriciale) per le coordinate lagrangiane:

⋆ T − −

δ⊓ δx x S M x S

0 = = (M ) =⇒ = 0

0 0

16 2.4. MDS E MDF

⃗

M H S

Si può riconoscere da questa espressione in la matrice di flessibilità ed in (vettore in qualche

0

(0)

⃗

S

modo corrispondente a degli spostamenti) proprio il vettore .

2.4.2.2 Generalizzazione del MdF

Si parte rendendo la struttura isostatica, quindi ne posso descrivere la statica, voglio caratterizzarne la

cinematica e quindi trovare le equazioni di congruenza: per questo ricorro al principio delle forze virtuali

∗ ∗ ∗ ∗

≡ ∀{f }

W , s) W , ε) , σ

(f (σ .

ext int

Se riesco ad esprimere gli spostamenti in funzione delle forze (incognite iperstatiche) alla fine li trovo,

ε Cσ σ AL Bx

dunque partendo dai legami lineari = , = + (perché le forze dipendono sia dai carichi

esterni che dalle incognite iperstatiche) (per ora lascio gli spostamenti così come sono) posso dire:

∗T ∗T

≡

f s σ ε

da cui sostituendo (soltanto i carichi fanno lavoro, non le incognite iperstatiche):

∗T ∗T ∗

∗T ∗

T T

≡

L s L A x B CBx

+ (CAL + )

espandendo i prodotti e raccogliendo:

∗

∗T ∗ ∗ ∗

∗ ∗T ∗ ∗

T T T T

− − ≡ ∀{f } ⇔ ∀{L }

s A

L CAL A CBx x B CAL B CBx , x

+

dunque si ottiene un sistema di due equazioni (si annullano separatamente entrambe le parentesi); se

consideriamo soltanto quella destra (la sinistra serve, poi, per trovare gli spostamenti):

T T (0)

⇐⇒

B CBx B CAL Hx s

+ = + =

0 0

H

dove è la matrice di flessibilità della struttura.

C D

Inoltre, dato che è la matrice inversa di (quindi anch’essa è simmetrica definita positiva) e dato che

H C B

è simile a tramite la matrice , si nota che anche la matrice di flessibilità è simmetrica definita

positiva. 17

3

Strutture reticolari

Per noi le strutture “reticolari” sono strutture formate da travi connesse internamente da cerniere ed

esternamente da cerniere e carrelli; inoltre è possibile aggiungere delle molle traslazionali a terra se si

vuole modellizzare l’elasticità del terreno, ma non vi sono molle (rotazionali) interne alla struttura.

I carichi sono concentrati e applicati direttamente ai nodi (le cerniere interne) e nel caso non fossero già

così bisogna “creare” dei sistemi di forze equipollenti a sistemi concentrati nei nodi (si può comunque, in

seguito, studiare il comportamento dettagliato trave per trave):

sotto queste ipotesi alle travi non sono trasmessi momenti (a causa delle cerniere) e, per equilibrio alla

rotazione, neanche forze di taglio: l’unica azione presente sulle travi sarà l’assiale e perciò queste ultime

si comporteranno come “bielle statiche”.

Le uniche deformazioni (perché ora le travi sono deformabili) ammesse in queste configurazioni reticolari

ε

sono dunque le deformazioni assiali che possono essere di due tipi: elastiche e termiche, dove quelle

ε α∆T L /L α∆T

termiche si ricavavano come = ∆L/L = = .

T 0 0 0

18 3.1. CARATTERIZZAZIONE CINEMATICA

3.1 Caratterizzazione cinematica

C’è bisogno di un cambio di notazione e per questa ragione d’ora in avanti le coordinate lagrangiane della

⃗ T

d d . . . d

struttura saranno descritte dal vettore = (d ; ; ; ) .

N

1 2

La posizione di ogni biella si può descrivere tramite le posizioni dei suoi estremi sia rispetto ad una base

{ {

ĵ}

G î L t̂ n̂}

globale = ; sia rispetto ad una base locale = ; ; in particolare lo spostamento di un nodo si

⃗

s u

î v ĵ s t̂ s n̂

può quindi scrivere come = + = + e graficamente vale:

t n



s u v

= + cos(θ) + sin(θ)

 t

 ⇐⇒ s R s

=

L G

−

s u v

 = sin(θ) + cos(θ)

 n −1 T

R R R

dove è la matrice di rotazione (ortogonale) per cui vale = .

ε

Analizzando poi le deformazioni assiali (totali) = ∆L/L della biella, dato che essa è deformabile solo

0

assialmente, si nota che gli unici spostamenti che contribuiscono alla deformazione sono quelli in direzione

tangente alla trave mentre gli spostamenti normali non ne modificano la lunghezza; di conseguenza:

   

θ

∆u cos

ft it

− − − ·

s s u θ v θ u θ v θ

∆L = ∆s = = cos + sin cos sin =    

t f f f f    

θ

∆v sin

per cui (e questo è importante) la variazione di lunghezza è calcolabile proiettando sulla direzione originale

della biella lo spostamento dei nodi nel sistema di riferimento globale. 19

CAPITOLO 3. STRUTTURE RETICOLARI ε ε α∆T

Avendo quindi a disposizione tutte le deformazioni, ossia = ∆L/L e = , si possono

tot T

0

−

σ E ε E ε

ricavare gli sforzi tramite = = (ε ) in cui compare un segno meno perché un aumento di

el tot T

temperatura crea nella trave vincolata uno sforzo di compressione (perché quest’ultima vorrebbe allungarsi

ma non può farlo).

Ricordiamo che il legame costitutivo elastico del materiale lega gli sforzi alle deformazioni ELASTICHE,

ε

invece = ∆L/L rappresenta la deformazione TOTALE del materiale, dunque per ottenere le defor-

0

mazioni elastiche bisogna rimuovere da quelle totali il contributo di quelle anelastiche (ossia di quelle

− −

ε ε ε α∆T

termiche), da cui = = ∆L/L .

el tot T 0

Dagli sforzi (che sono costanti) si ricava l’azione assiale integrando sulla s