Metodi analitici e numerici per l'ingegneria

+T

¯ ¯

X X X

(t) = + + (t)e = +

−iωnt +iωnt +iωkt

f f f dt e f c e

k

T −T /2

n=−∞

n=+1 k∈Z\{0}

proviamo per curiosità a calcolare anche se i sono definiti per :

∈

c c k Z\{0}

k

0

ˆ ˆ

1

1 /2 /2

+T +T ¯

(t)e = (t) =

= −iωkt

f dt f dt f

c 0 T T

−T −T

/2 /2

k=0

dunque la definizione di si può espandere anche per = 0 e, considerando che:

c k

k X

=1 =⇒ (t) =

+iωkt +iωkt

e f c e

k

k=0 k∈Z ¯

si può anche dire per 0 che = 0.5(a ) , e successivamente = , con = .

∗

−

k > c ib c c c f

−k

k k k 0

k

88 12.3. PROPRIETÀ DELLA SERIE DI FOURIER

12.3 Proprietà della serie di Fourier

12.3.1 Convergenza in media quadratica

Iniziamo col dire che in real life non si può calcolare “tutta” la serie di Fourier ma bisogna ricorrere

all’approssimazione N

¯ X

(x) = + [a cos(ωnx) + sin(ωnx)] (x)

≈

S f b f

N n n

n=1 2 , allora si ha che:

ma se ([−T ; +T , quindi se

2 ∞

∈ ∥f ∥ <

f L /2 /2]) 2

L

ˆ /2

+T 2

lim [S (x) (x)] = 0

− f dx

N

→∞

N −T /2

poi vale la cosiddetta identità di Parseval (per la serie reale e complessa):

ˆ ˆ

∞ +∞

2 1

/2 /2

+T +T

20

a X

X 2

(x) = (x) (x) =

+ + ∗

2 2 2 · |c |

f dx f f dx

a b k

2 n n

T T

−T −T

/2 /2

n=1 k=−∞

perché infatti sfruttando l’ortogonalità della base per la serie di Fourier:

2 2

¯ 2 X X

2 = + [a cos(ωnx)] + [b sin(ωnx)]

∥f ∥ f n n

2

L 2

L n∈N n∈N

2 2

L L

da cui si ricava che:

ˆ " # " #

/2

+T 2

T T T a

¯ ¯

X X X

(x) = + + = 2 + + = + +

0

2 2 2 2 2 2 2 2 2

f dx T f a b f a b a b

2 2 2 2

n n n n n n

−T /2 n∈N n∈N n∈N

vale infine il lemma di Riemann-Lebesgue, che afferma che 0 ed allo stesso modo 0 .

→ →

a b

n n

12.3.2 Convergenza puntuale

Diciamo che una funzione rispetta la “condizione di Dirichlet” in = [−T ; +T se (I) (o

0

∈

f I /2 /2] f C

al massimo ha un numero finito di discontinuità a salto) e se posso dividere in un numero finito di

I

sottointervalli al cui interno è monotona; dunque rispetta la condizione di Dirichlet in se è continua

f f I

a tratti in e se è monotona a tratti in .

I I

Sapendo che rispetta la condizione di Dirichlet in allora possiamo dire che la serie di Fourier troncata

f I

(x) per converge puntualmente ed essa prende il valore:

→ ∞ ∀ ∈

S N x I

N (x ) + (x )

−

+

 f f T T

se ; +

∈ −

x

 2 2 2





(x) =

S

∞ ((−T ) + ((+T )

−

+

f /2) f /2) se =

 ±T

x /2



 2 89

13

Classificazione PDE

Passando dalle ODE alle PDE sostanzialmente si passa da ad con Ω , dove

d

∈ ⊆

u(t) u(t , x) x R

2 3} ; in generale si lavora con problemi ai valori iniziali (initial values, condizioni iniziali nel

∈ {1

d , ,

tempo) ed ai valori al bordo (boundary values, condizioni al contorno nello spazio).

Una generica PDE si può scrivere quindi come (il numero + rappresenta l’ordine dell’equazione):

p p

t x

= 0 con termine noto

p

2 +p ⃗

F g , t , x , u , ∂u , ∂ u , . . . , ∂ u g

t x

se le quantità si “mischiano” (se e/o le sue derivate si mischiano) allora la PDE non è lineare (altrimenti

u

lo è); se nella PDE non appaiono derivate temporali allora essa sarà stazionaria, altrimenti evolutiva.

Per equazioni differenziali alle derivate parziali lineari di ordine 2 esiste una caratterizzazione più fisica: si

considerano soltanto le derivate del secondo ordine e si crea il rispettivo tensore metrico (con l’accortezza

di non inserire una variabile se essa non è esplicitamente presente nell’EDP) e:

1. se tutti gli autovalori sono non nulli ed hanno lo stesso segno è “ellittica”;

2. se almeno un autovalore è nullo è “parabolica”;

3. se esattamente un autovalore ha segno opposto agli altri è “iperbolica”.

In particolare ognuna di queste famiglie di EDP ha determinate caratteristiche fisiche:

Le ellittiche descrivono fenomeni isotropi caratterizzati da velocità di propagazione istantanea,

1. le soluzioni sono lisce e spesso le equazioni ellittiche rappresentano configurazioni d’equilibrio di

equazioni paraboliche; ogni punto nello spazio influenza e viene influenzato da tutti gli altri punti

nello spazio.

2. Le paraboliche descrivono fenomeni di diffusione irreversibili con soluzioni che tendono a regolarizzarsi

col passare del tempo (si smussano gradualmente), se si rimuove il termine temporale diventano

equazioni ellittiche; ogni punto nel tempo è influenzato solo dai punti precedenti nel tempo ed

influenza solo i punti successivi nel tempo (tutto senza distinzioni nello spazio).

90

3. Le iperboliche descrivono fenomeni in cui la velocità di propagazione è finita, essi sono reversibili

nel tempo e quindi (per Noether) l’energia del sistema è conservata; le soluzioni possono non essere

regolari e si instaura una struttura causale paragonabile a quella della relatività ristretta (ogni

punto è influenzato da quelli nei coni inferiori e influenza quelli nei coni superiori).

Seguono le rappresentazioni in un piano delle regioni di influenza/dipendenza per equazioni differenziali

x-t

alle derivate parziali che siano rispettivamente ellittiche, paraboliche ed iperboliche.

Come esempi per ognuna di queste categorie:

1. Equazione del potenziale: 



1 0 0

2 2 2 



∂ u ∂ u ∂ u

= 0 + + =0 =⇒ =

2 



0 1 0

∇ ←→

u g 



2 2 2

∂x ∂y ∂z 

 



0 0 1

tutti gli autovalori sono non nulli e dello stesso segno ellittica.

−→

2. Equazione del calore: 



0 0 0 0 



0 0 0 

 α

2 2 2

∂ u ∂ u ∂ u ∂u  

= + + =0 =⇒ =

2 ←→ −

∂ u α∇ u α α α g 



t 2 2 2

∂x ∂y ∂z ∂t 



0 0 0

α

 



 



0 0 0 α

c’è (almeno) un autovalore nullo parabolica.

−→

3. Equazione delle onde:  

1 0 0 0

 

0 0 0

 

2

−v

2 2 2 2

∂ u u u u

∂ ∂ ∂  

= = 0 =⇒ =

2 2 2 2 2 2

∇ ←→ − − −

∂ u v u v v v g  

t 2 2 2 2

∂t ∂x ∂y ∂z  

0 0 0

2

−v

 

 

 

0 0 0 2

−v

c’è esattamente un autovalore di segno opposto agli altri (e tutti sono non nulli) iperbolica.

−→ 91

14

Equazioni ellittiche

In riferimento alle equazioni esemplari viste nel capitolo precedente, più in generale ci accorgiamo che

partendo da un’equazione parabolica (con tutti gli autovalori dello stesso segno, a parte quello nullo

ovviamente) se eliminiamo i contributi nel tempo otteniamo un’equazione ellittica: in questo senso allora

succede che spesso equazioni di tipo ellittico rappresentino le configurazioni d’equilibrio di fenomeni

descritti da equazioni di tipo parabolico.

Accenniamo al fatto che nel contesto della modellizzazione matematica, termini come vengono usati

2

a∇ u

per fenomeni di diffusione, termini come per fenomeni di trasporto e termini come per fenomeni

· ∇u

b cu

di reazione; un’equazione del genere (diffusione-trasporto-reazione) in assenza di dipendenza temporale

è allora un altro esempio di equazione ellittica (altri esempi sono gli spostamenti di corde elastiche, le

distribuzioni di temperatura e le diffusioni di Fick).

14.1 Equazione di Poisson

L’equazione di riferimento del capitolo è l’equazione di Poisson = che vale in Ω ; a cui

d

2

−µ∇ ⊂

u f R

vanno affiancate delle condizioni al contorno rispetto a (la frontiera del dominio, come ad

d−1

⊂

∂Ω R

esempio:

• condizioni di Dirichlet nella forma = per (omogenee se è nulla);

∈

u(x) g(x) x ∂Ω g

• condizioni di Neumann nella forma = = per (.

∇u(x) · ∈

∂ u(x) n̂ g(x) x ∂Ω . .);

n

• condizioni di Robin nella forma + = per (.

∈

αu(x) β∂ u(x) g(x) x ∂Ω . .);

n

• condizioni miste, ossia diverse in diversi sottospazi Γ tali che Γ = .

S

⊂ ∂Ω ∂Ω

i i

i

92 14.2. EQUAZIONE DI LAPLACE

14.1.1 Esistenza e unicità della soluzione

Per il problema di Poisson, se Ω (aperto) è limitato con regolare ( ), se i dati del problema

1

∂Ω C

( , , ) sono regolari ( ) e se le condizioni al contorno sono o full-Dirichlet o full-Robin o

0

µ f CC C

Dirichlet-Neumann, allora esiste AL MASSIMO UNA soluzione con (Ω) (Ω) .

2 1

∈ ∩

u u C C

Al massimo una perché non è detto che ci sia soluzione, ma se c’è in quel caso è unica; (Ω) serve a dare

2

C

un senso alla PDE all’interno del dominio, (Ω) serve nel caso avessi condizioni miste con Neumann.

1

C

Ma come mai non sono accettate condizioni full-Neumann? Beh in generale le soluzioni sono determinate

a meno di una costante infatti: (u + = + = =

2 2 2 2

−∇ − ∇ ∇ −∇

C) u C u f

ma se poi immaginiamo di richiedere = in come unica condizione al contorno,

−µ∇u(x) · n̂ h(x) ∂Ω

allora: (u + = + = =

−µ∂ −µ(∂ −µ∂

C) u ∂ C) u h

n n n n

e quindi non si avrebbe al più una soluzione, ma bensì o nessuna o infinite.

La questione è ancora più “grave” qu