Mechanical Sytem Dynamics - Appunti del corso

Revisionato il 11/07/2026

di ingZ

Publisher

Vota

Contenuto verificato e approvato dal Team di Esperti di Skuola.net

Appunti del corso di Dinamica dei sistemi meccanici in lingua inglese, anno accademico 2020/2021. Da accompagnare con le slide del corso (non presenti), la parte di esercitazione viene fornita …

Esame Dinamica dei sistemi meccanici

Facoltà Ingegneria industriale

Dal corso del Prof. Melzi Stefano

Università Politecnico di Milano

A.A. 2020-2021

39 pagine

Appunti esame

Scarica

Estratto del documento

Mechanical system dynamics

Force equations and system dynamics

F = kΔl

F = cΔl

mẍ + cẋ + kx = F(t)

Linear systems

Linear: all exponents are 1

mẍ + cẋ + kx = 0

x(t) = X₀ e^λt

ẋ(t) = λ X₀ e^λt

ẍ(t) = λ² X₀ e^λt

X₀, λ ∈ C

General solution

mλ² X₀ e^λt + cλ X₀ e^λt + k X₀ e^λt = 0

(mλ² + cλ + k) X₀ e^λt = 0

e^λt > 0 always

X₀ = 0 trivial solution → the system stands still forever

mλ² + cλ + k = 0

λ_1,2 = ^{-c ± √(c² - 4mk)} / _2m

λ_1,2 = ^-c / _2m ± ^{√(c² - k²)} / _2m

No damping

C = 0 → NO DAMPING

λ_1,2 = ± √(-k/m) = ± √(k/m) = ± i ω

mẍ + kx = 0

Minimum vibrating system

X(t) = X₀₁ e^iωt + X₀₂ e^-iωt

Real number ω₀ = √(k/m) [rad/s]

Angular frequency

F₀ = ω₀ / 2π [Hz]

Eigenfrequency

Only possible solution

Complex conjugate

Mechanical system dynamics revisited

mẍ + cẋ + kx = F(t)

mẍ + cẋ + kx = 0

x(t) = X₀ e^λt

ẋ(t) = λ X₀ e^λt

ẍ(t) = λ² X₀ e^λt

mλ² X₀ e^λt + cλ X₀ e^λt + k X₀ e^λt = 0

(λ²m + λc + k) X₀ e^λt = 0

λ²m + λc + k = 0

λ_1,2 = ^{-c ± √(c² - 4mk)} / _2m

c = 0

λ_1,2 = ± j √(k/m)

mẍ + kx = 0

X(t) = X₀₁e^jω₀t + X₀₂e^-jω₀t

ω₀ = √(k/m)

f₀ = ω₀ / 2π

Solution with initial/border conditions

x(t) = (a+i b)e^{i ω₀t} + (a-i b)e^{-i ω₀t} = (a+i b)(cos ω₀t + i sin ω₀t) + (a-i b)(cos ω₀t - i sin ω₀t)

= 2a cos ω₀t - 2b sin ω₀t = A cos ω₀t + B sin ω₀t

Apply initial/border conditions

x(0) = x₀ x = A cos ω₀t + B sin ω₀t -> x(0) = A

ẋ(0) = v₀ ẋ = -A ω₀sin ω₀t + B ω₀cos ω₀t -> ẋ(0) = B ω₀

A = x₀

B = ^V₀/_ω₀

x(t) = x₀ cos ω₀t + ^V₀/_ω₀ sin ω₀t

If x(0) = x₀, ẋ(0) = 0 -> x(t) = x₀ cos ω₀t

Energy transfer and damping

Continuous transfer of energy between kinetic and potential

T₀ = ^2π/_ω₀

λ_1,2 = ^c/_2m ± √(^(c/2m)² - ^k/_m)

Assume c>0, - ^k/_m < 0

^c/_2m < ω₀

^c/_2mω₀ < 1

2mω₀ CRITICAL DAMPING [^{N s}/_m]

^c/_{c_crit} DAMPING RATIO

If damping ratio is lower than 1

λ_1,2 = - ^c/_2m ± √(^k/_m - (^c/_2m)²)

-^c/_2m + ω₀ < - (^c/_2m)²

Underdamped and overdamped systems

λ_1,2 = - ^C/_2m ± i ω_o √(1 - ( ^C/_{2mω_o} )²)

z = - ^C/_2m ± i ω_o √1 - ξ²

X(t) = X_o1 e^{(- ^C/_2m + iω_d√(1 - ξ²)) t} + X_o2 e^{(- ^C/_2m - iω_d√(1 - ξ²)) t}

= e^{-^C/_2mt} [ X_o1 e^{iω_d√1 - ξ² t} + X_o2 e^{-iω_d√1 - ξ² t} ]

[ A cos ω_dt + B sin ω_dt ]

ω_d = ω_o √1 - ξ²

ξ < 1 UNDERDAMPED

ξ ≈ 1e^-3 - 1e^-2 for metallic structures

T_d = ^2π/_{ω_d}

ξ > 1 OVERDAMPED SYSTEM

λ_1,2 = ^C/_2m ± √( ( ^C/_2m )² - ^k/_m ) ∈ ℝ > 0

Anteprima

Vedrai una selezione di 9 pagine su 39