Mechanical vibrations

Lezioni di Nicola Roveri anno 2016-2017 del corso di Mechanical vibrations. Analisi dei segnali, analisi sperimentale di strutture vibranti, trasduttori, funzione di trasferimento, identificazione dei parametri modali, processi aleatori, vibrazioni random. Onde: approccio ondoso per lo studio delle vibrazioni strutturali.

Esame Mechanical vibrations

Facoltà Ingegneria

Dal corso del Prof. Roveri Nicola

Università Università degli Studi di Roma La Sapienza

Publisher Regan1979

A.A. 2016-2017

107 pagine

Appunti esame

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MECHANICAL VIBRATIONS

HARMONIC OSCILLATOR

Equation of motion

mẍ + Kx = 0

defines NATURAL FREQUENCY

ω_n = √(K/m) → ẍ + (ω_n²)x = 0

Let solution X(t) = Ae^st

mS²Ae^st + Kae^st = 0 → S² + ω_n² = 0

So we have S = ±jω_n

X(t) = Ae^jω_nt + Be^-jω_nt = A(cos ω_nt + j sin ω_nt) + B(cos ω_nt - j sin ω_nt)

=> X(t) = (A + B) cos ω_n t + (A - B) j sin ω_n t

For convenience, let's solve this:

A + B = B cos φ

⇒ X(t) = B cos (ω_nt - φ)

GENERAL SOLUTION

The new found quantities "B" and "φ" derive from the initial conditions

X(0) = x₀

X(0) = B cosφ = x₀

=> B cosφ = x₀ → B = x₀ / cos φ

X'(0) = - Bω_n sin φ = ẋ₀

B ω_n sin φ = ẋ₀

=> B = √(x₀² + (ẋ₀ / ω_n)²)

Ricaviamo φ:

B \[ \cos \varphi = \frac{B_0}{X_0} \quad \rightarrow \quad \cos \varphi = \frac{N_0}{N_0 (1/u_m)} \]

Ricaviamo B:

B² \[ \cos^2 \varphi + B¹ \sin^2 \varphi = X_0² + \left( \frac{N_0}{(u_m)²} \right) \quad \rightarrow \quad B = \sqrt{\frac{X_0² + \left(\frac{N_0}{(u_m)}\right)²}{}} \]

Utilizziamo le correnti che servono a noi sono (A+B)² e (A-B)² per scrivere la pulsazione.

A + B = B\cos\varphi :\ X_0

(A - B) = B\sin\varphi + \left( \frac{N_0}{u_m} \right)²

X(t)

\[ X_0 \cos(\omega_n t + \frac{\phi}{u_m}) \]

Y(t)

\[ X_0 \sin(\omega_n t) + \left( \frac{N_0 \cos(\omega_n t)}{u_m} \right) \]

a(t)

\[ - X_0 \omega_n² \cos(\omega_n t) - \frac{N_0 \omega_n \sin(\omega_n t)}{u_m} \]

β > 1

l'ompulsione è nulla

X(t) = A₀ e^-ω_ntt 0 = [0 2 t < 0 è chi funzione di heaviside, che sono integrata h

somda fai assipct di sistema fate alement le t ≥ 0, orai dol afflicsione dell'implse di velotia

Quudeao, oaxremo coreo con input ¹ / _{t₀_{, se200le facata afbetare pm.}}

de là vaòiabike - t=te, ther quelic werrimo giunti ola detera conditiume Q ⁿ)

ų(--) = H(t⁵ t₀) = ^m _wów e _{1-wt sen (Wt)}

¹/ _t 8(t-t₀) = 8H(t:te; t_o) E^{t _wś^-tเ (fw_.d),)e_bt(t) ]
8eshd (t_o)}

TIME INVARIANCE OF IMPULSE RESPONSE

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