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Estratto del documento

MECHANICAL VIBRATIONS

HARMONIC OSCILLATOR

Equation of motion

mẍ + Kx = 0

defines NATURAL FREQUENCY

ωn = √(K/m) → ẍ + (ωn2)x = 0

Let solution X(t) = Aest

mS2Aest + Kaest = 0 → S2 + ωn2 = 0

So we have S = ±jωn

X(t) = Aejωnt + Be-jωnt = A(cos ωnt + j sin ωnt) + B(cos ωnt - j sin ωnt)

=> X(t) = (A + B) cos ωn t + (A - B) j sin ωn t

For convenience, let's solve this:

A + B = B cos φ

⇒ X(t) = B cos (ωnt - φ)

GENERAL SOLUTION

The new found quantities "B" and "φ" derive from the initial conditions

X(0) = x0

X(0) = B cosφ = x0

=> B cosφ = x0 → B = x0 / cos φ

X'(0) = - Bωn sin φ = ẋ0

B ωn sin φ = ẋ0

=> B = √(x02 + (ẋ0 / ωn)2)

Ricaviamo φ:

B \[ \cos \varphi = \frac{B_0}{X_0} \quad \rightarrow \quad \cos \varphi = \frac{N_0}{N_0 (1/u_m)} \]

Ricaviamo B:

B² \[ \cos^2 \varphi + B¹ \sin^2 \varphi = X_0² + \left( \frac{N_0}{(u_m)²} \right) \quad \rightarrow \quad B = \sqrt{\frac{X_0² + \left(\frac{N_0}{(u_m)}\right)²}{}} \]

Utilizziamo le correnti che servono a noi sono (A+B)² e (A-B)² per scrivere la pulsazione.

A + B = B\cos\varphi :\ X_0

(A - B) = B\sin\varphi + \left( \frac{N_0}{u_m} \right)²

X(t)

\[ X_0 \cos(\omega_n t + \frac{\phi}{u_m}) \]

Y(t)

\[ X_0 \sin(\omega_n t) + \left( \frac{N_0 \cos(\omega_n t)}{u_m} \right) \]

a(t)

\[ - X_0 \omega_n² \cos(\omega_n t) - \frac{N_0 \omega_n \sin(\omega_n t)}{u_m} \]

β > 1

l'ompulsione è nulla

X(t) = A0 e-ωntt 0 = [0 2 t < 0 è chi funzione di heaviside, che sono integrata h

somda fai assipct di sistema fate alement le t ≥ 0, orai dol afflicsione dell'implse di velotia

Quudeao, oaxremo coreo con input 1 / t0, se200le facata afbetare pm.

de là vaòiabike - t=te, ther quelic werrimo giunti ola detera conditiume Q n)

ų(--) = H(t5 t0) = m wów e 1-wt sen (Wt)

1/ t 8(t-t0) = 8H(t:te; to) Et wś-tเ (fw.d),) ebt(t) ] 8eshd (to)

TIME INVARIANCE OF IMPULSE RESPONSE

Dettagli
Publisher
Regan1979
A.A. 2016-2017
107 pagine
SSD Ingegneria industriale e dell'informazione ING-IND/13 Meccanica applicata alle macchine
I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher Regan1979 di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Mechanical vibrations e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Università degli Studi di Roma La Sapienza o del prof Roveri Nicola.