Meccanica 2

TEO

l'ADM di un corpo RIGIDO, PIANO

Se non è TRASLATORIO è ROTATORIO

Dimω = 0 → ADM è traslatorioV_Pi = V_Pj    ∀ P_i, P_j ∈ B_π

ω ≠ 0 → ∃ C ∈ CIR | V_C = 0

V_C = V_A + ω ∧ (C - A)

Svolvendo V_C = 0 → V_A + ω ∧ (C - A) = 0

V_A = - ω ∧ (C - A) = (C - A) ∧ ω(x_C - x_A)ẏ + (y_C - y_A)ẋω = Θ ̇k̂

x_A ẋ + y_A ẏ = (x_C - x_A) Θ ̇₁ + (y_C - y_A) Θ ̇

(y_C - y_A) Θ → x_A(x_C - x_A) Θ → y_A

→ x_C = ẋ_A - ^ẏ_A/_Θy_C = y_A + ^x_A/_Θ

coordinate del CIR→ ∃ C    cvd

TEO

L'ADM di un corpo RIGIDO, PIANO _B∞

Se non è TRASLATORIO è ROTATORIO

Dim

=0 → ADM è traslatorio:

_UPi = _UPj   ∀ P_i, P_j ∈ _B∞

≠0 → ∃ ∈ CIR | = 0

_Vc = _Va + ∧ ( - )   ADM rispetto a Ae B_∞

Risolvano _Vc = 0 → _Va + ∧ ( - ) = 0

_VA = - ∧ ( - ) = ( - ) ∧

(    ( - )^.  + (_C - _A)^.)  -> = ̇

_A ̇ + _A ̇ - (_C - _A) ̇  + (_C - _A) ̇ =

(_C - _A) ̇ = _A

(_C - _A) ̇ = _A

     &{     } →

  ^. = _A -    ̇_A

  ^. = _A  +   

coordinate

del

   => } C cvd

Teo di Chasles

Sia dato Bm e mano V_A, V_B velocità non // di A, B e B^f rispettivamente

⇒ il CIR C “è tono altl” intersezione delle rette passante delle rette ab passante per B e 1 = V_B

per A e a da V_A e delle rette ab passante per B e 1 = V_B

dim^o

V_A e V₈ non // ⇒ V_B ≠ V_A + V₈ ⇒ ADM non = traslatorio

⇒ ADM è rotazione : w ≠ 0 ⇒ ∃ Cir C.

Riferimento l'ADM a C

V_A = Wn (A-C) (A-C) Appartenne a K_A cui pesco a A , 1 V_A

V_B = Wn (B-C) (B-C) b , A₁ V_B

C era : C e R_B ⇒ C e R_B ⇒ C = Kα R_B c_vd

"Qualunque sia l'ato di moto, le normali alle traiettorie descritte dai punti del piano mobile passano per il centro di istantanea rotazione"

➔ le proiezioni delle velocita sulle congiungente sono uguali

Teo

un sistema S è roto ➡ ∀P, Q, Є S

vale : (P-Q): Sṙ = (P-Q)· ū_Q

le proiezioni di Sṙ e ū_A lungo la congiungente (P-Q) devono estere =

I Vincoli

• Di posizione - limitano le posizioni accessibili al sistema
• Di mobilità - limitazioni sulle velocità accessibili al sistema

Esistono vincoli di mobilità che non sono riconducibili a vincoli di posizione: vige in tal caso detti vincoli di "pura mobilità".

Vincoli di posizione: olonomi

"di pura mobilità": anolonomi

Vincoli in _BR

1. Cerniera fissa: A ruotare fisso
   • Vincolo di posizione: _XA = cost
   • _YA = cost

   Topici 2 gdl, rimanere solo _Θ(t)

2. Carrello
   • A - costretto a muoversi lungo la guida fissa

   Topici 1 gdl => _XA, _Θ(t)

3. Patino
   • _YA = 0 Θ = cost

   Topici 2 gdl => _XA

4. Incastro

   Topici 3 gdl => ∅

5) PURO ROTOLAMENTO

VINCOLO DI MOBILITÀ

v_H^DISCO = v_H^GUIDA

v_H^GUIDA = 0 ⇒ v_H^DISCO = 0

GUIDA FISSA

H è il CIR del disco

per il contatto guida-discox_G = R + ext

assi solidali ORIGINE IN G

servono x_A = φ

vale

v_A^(†) = v_H^(†) + (

(φ̇ k̂) ∧ R

)

perché

sterzaggio

→

v_A^(†) =

(G-H)

R²/(G-H)R_A - v_G

R_A

[ω ∧ (G-H)]

v_A^(†) =

d

dt

[x_G + φ̇ x̊_A ]

→ ẋ_G = Rφ̇

x_G = Rφ + c

interpretiamo

rimane

1 GdL x_G o φ

→ tolto 2GdL

→ NEL CASO DI PURO ROT. È

OLONOMO e sottomal

end

GUIDA NON FISSA

Se la guida non è fissa , il vincolo toglie 2GdL

→ H non è più il CIR del disco

v_H^GUIDA = 0

Se il disco ha un moto nel piano II oSe consideriamo una sfera che rotolaSul piano , troviamo che

il PURO ROTOLAMENTO è UN VINCOLO DI PURA MOBILITÀ

(ANOLONOMO)

H^* = punto del disco a contatto con la guida

H'^* = della guida = disco

H^* = geometrico, istante x istante H'^* ≡ H"

Ḣ = J_q

U_m^* = 0

5) Cerniera mobile

Fa coincidere due punti di due corpi rigidi (piani)

Es

A̅ = A'̅ = A̿

x_A = x_A' = x_A̿

y_A̿ = y_A' = y_A

toglie 2 Gdl

toglie 4 Gdl

6) Contatto con strisciamento

punto E di B_T⁽¹⁾ è contatto con la superficie Σ di un corpo rigido B_T⁽²⁾

Il versore n_E ; n_E | Σ uscendo da Σ

nel punto di contatto E

n_E =

U⁽¹⁾_E ⋅ n_E = U⁽²⁾_E ⋅ n_E

B_T⁽¹⁾ B_T⁽²⁾

Σ toglie 2Gdl

N.B Puro rotolamento su guide fisse

U_P = ω ʌ (P-H)

Φ_P è proporzionale alle distanze da P a H (CIR)

U_K = 2U_q

̅₁ ̅₂ ̅ = ̅₁ + ̅₂

̅₁ ∼ (2 3)

̅₂ ∼ (4 0)

+

6 - 2+4

3 = 3+0

̅ ∼ (6 3)

αₓ = 4

αᵧ = 0

̅ = ̅ + ̅

cₓ = 4+2=6

cᵧ = 0+3=3

bₓ = 2

bᵧ = 3

• |̅| = √(cₓ²+cᵧ²)

̅ ∼ ( αₓ αᵧ α )

̅ ∼ ( bₓ bᵧ b )

̅ = ̅ + ̅

=> ̅ ∼ ( αₓ + bₓ αᵧ + bᵧ α + b )

|̅|=2m

α = 30° = π/6

aₓ = |̅| cos α

aᵧ = |̅| sin α

|̅| = √(aₓ²+aᵧ²)

if α = aᵧ/aₓ

α = arctg aᵧ/aₓ + kπ

̅ = ̅ₙ + ̅ᵣ

|̅|

|̅|

• L ∝ |̅|
• L ∝ |̅|

L = ̅·̅

̅ ⊥ ̅ => L = 0

L = ₓ·ₓ + ᵧ·ᵧ

\(\vec{a} \cdot \vec{b} = a_x b_x + a_y b_y\)

\(|\vec{a}||\vec{b}| \, \text{cos} \, \varphi + |\vec{a}||\vec{b}| \, \text{sin} \, \alpha \, \text{sin} \, \beta =\)

\(|\vec{a}||\vec{b}| \, \text{cos} \, (\alpha - \beta) = |\vec{a}||\vec{b}| \, \text{cos} \, \varphi\)

\(\varphi = (\alpha - \beta)\)

=> \(|\vec{L}| = |\vec{F}||\vec{s}| \, \text{cos} \, \varphi\)

ES

\(\vec{a} \sim \langle 4, 3, 1 \rangle\)

\(\vec{b} \sim \langle 2, -4, 5 \rangle\)

\(\vec{a} \cdot \vec{b} = 4 \cdot 2 + 3 \cdot (-4) + 1 \cdot 5 = 12\)

PRODOTTO SCALARE DI 2 VETTORI

\(\vec{a}\vec{b} = ab \, \text{cos} \, \theta\)

\(1 = \sqrt{a_x^2 + a_y^2 + a_z^2}, \sqrt{2^2 + (4)^2 + 5^2} \, \text{cos} \, \theta\)

\(\text{cos} \, \theta = \frac{1}{\sqrt{26} \cdot \sqrt{45}}\)

\(|\lambda \vec{a}| = |\lambda| \cdot |\vec{a}|\)

\(\vec{a} = a_x \hat{\imath} + a_y \hat{\jmath} + a_z \hat{k}\)

\(|\vec{v}| \alpha \, \omega\)

\(r \alpha \, v\)

\(\vec{w} = \omega \hat{k}\)

\(\vec{v} = \vec{\omega} \times \vec{r}\)

\(\hat{\imath} \, \hat{\jmath} \, \hat{k}\)

\(\vec{v} = \omega \times \hat{r}\)

\(\vec{v} = \vec{\omega} \times \hat{p} \Leftrightarrow \hat{\jmath} \times \hat{\imath} \times \hat{\jmath} \times \hat{k}\)

⃗a ∧ ⃗b = (a_xî + a_yȷ̂) ∧ (b_xî + b_yȷ̂) =

= a_xb_x( )î ∧ î + a_xb_y( )î ∧ ȷ̂ + a_yb_x( )ȷ̂ ∧ î + a_yb_y( )ȷ̂ ∧ ȷ̂

⃗a ∧ ⃗b = (a_xb_y - a_yb_x)k̂

(⃗a₁ ∧ ⃗b₂) ∧ ⃗b₂ (⃗a₂ ∧ ⃗b₁) + (⃗a₂ ∧ ⃗b₂)

= (⃗a ∧ ⃗b₁) + (⃗a ∧ ⃗b₂) (⃗a ∧ ⃗b₂)

â ∧ b̂ (a_x b_x)

(ê ȷ̂ k̂ | a_x a_y a_z | b_x b_y b_z)

ê ȷ̂ k̂ | a_x a_y a_z

(e_yb_z - b_ya_z) − (a_xb_z - b_xa_z)

+ a_xb_y + b_xa_y

⃗a ∧ ⃗b - (a cosαb sinβ - a sinαb cosβ)k̂

= a b (sin(β - α))k̂ ⇒ â ∧ b̂ = a b sinθ · k̂

⎡⎣ L ⎤⎦

E_F

d

s

M

(O)

P

• G_all = 3 - 2(A) = 1
• V_P = ?

Ṽ_p (σ) Ṽ_p = ω ⨯ (⃗P - A⃗ )

ω = ^dθ/_dt ȯ θ

Θ̂k̂ ⨯ [s cosθ ê + s cosθȷ̂]

= sθ ê + sθ cosθȷ̂]

√(s²cos²θ + s²sin²θ) = s |θ̇|

Ṽ_p · -sinθ · ȯ θ ê + s cosθ ȯ θ ȷ̂

8) FILI INESTENDIBILI

AB // x

BC // y

|V_a| = |V_c|

Sostegno geometrico del filo (tratti liberi) non cambia il moto:

versori t_a, t_c con t_a = t_c = 1

INESTENDIBILITÀ

V_a•t_a = V_c•t_c

i tratti liberi: non avvolti

⇒ togliere 1 GDL

CONTEGGIO INGENUO:

3•1 (A) - 1 (B) = 1

coord. libere X_a

facciamo faticare

CONTEGGIO INGENUO:

3•1 (A) - 1 (B) - 1 (C) - 1 (D) = -1!

l’asta è comunque in grado di muoversi lungo x̂ ⇒ FALSO!