Meccanica 2

Teorema dell'adm di un corpo rigido, piano

Se non è traslatorio è rotatorio. Dim ω = 0 → ADM è traslatorio. V_Pi = V_Pj    ∀ P_i, P_j ∈ B_π. ω ≠ 0 → ∃ C ∈ CIR | V_C = 0. V_C = V_A + ω ∧ (C - A).

Svolgendo V_C = 0 → V_A + ω ∧ (C - A) = 0. V_A = - ω ∧ (C - A) = (C - A) ∧ ω.

(x_C - x_A)ẏ + (y_C - y_A)ẋω = Θ ̇k̂. x_A ẋ + y_A ẏ = (x_C - x_A) Θ ̇₁ + (y_C - y_A) Θ ̇. (y_C - y_A) Θ → x_A(x_C - x_A) Θ → y_A→ x_C = ẋ_A - ^ẏ_A/_Θ. y_C = y_A + ^x_A/_Θ. Coordinate del CIR → ∃ C    CVDS.

Teorema dell'adm di un corpo rigido, piano _B∞

Se non è traslatorio è rotatorio. Dim = 0 → ADM è traslatorio: _UPi = _UPj   ∀ P_i, P_j ∈ _B∞. ≠ 0 → ∃ ∈ CIR | = 0. _Vc = _Va + ∧ (- ). ADM rispetto a A e B_∞.

Risoluzione

Risolviamo _Vc = 0 → _Va + ∧ (- ) = 0. _VA = - ∧ (- ) = (- ) ∧ (    ( - )^.  + (_C - _A)^.)  -> = ̇_A ̇ + _A ̇ - (_C - _A) ̇  + (_C - _A) ̇ = (_C - _A) ̇ = _A(_C - _A) ̇ = _A     &{     } →                 ^. = _A -    ̇_A  ^. = _A  +       coordinate del    => } C CVD.

Teorema di Chasles

Sia dato Bm e mano V_A, V_B velocità non // di A, B e B^f rispettivamente ⇒ il CIR C "è tono altl" intersezione delle rette passante delle rette ab passante per B e 1 = V_B per A e a da V_A e delle rette ab passante per B e 1 = V_B dim^o V_A e V₈ non // ⇒ V_B ≠ V_A + V₈ ⇒ ADM non = traslatorio ⇒ ADM è rotazione: w ≠ 0 ⇒ ∃ Cir C.

Riferimento l'ADM a C V_A = Wn (A - C) (A - C) Appartenne a K_A cui pesco a A , 1 V_A V_B = Wn (B - C) (B - C) b , A₁ V_B C era: C e R_B ⇒ C e R_B ⇒ C = Kα R_B c_vd.

"Qualunque sia l'atto di moto, le normali alle traiettorie descritte dai punti del piano mobile passano per il centro di istantanea rotazione" ➔ le proiezioni delle velocità sulle congiungente sono uguali.

Teorema di un sistema S

Un sistema S è roto ➡ ∀ P, Q, Є S vale: (P - Q): Sṙ = (P - Q) · ū_Q. Le proiezioni di Sṙ e ū_A lungo la congiungente (P - Q) devono essere uguali.

I vincoli

• Di posizione - limitano le posizioni accessibili al sistema
• Di mobilità - limitazioni sulle velocità accessibili al sistema

Esistono vincoli di mobilità che non sono riconducibili a vincoli di posizione: vige in tal caso detti vincoli di "pura mobilità". Vincoli di posizione: olonomi. "Di pura mobilità": anolonomi.

Vincoli in _BR

1. Cerniera fissa: A ruotare fisso
2. Vincolo di posizione: _XA = cost
3. _YA = cost
4. Topici 2 gdl, rimanere solo _Θ(t)
5. Carrello: A - costretto a muoversi lungo la guida fissa
6. Topici 1 gdl => _XA, _Θ(t)
7. Patino: _YA = 0 Θ = cost
8. Topici 2 gdl => _XA
9. Incastro: Topici 3 gdl => ∅

Puro rotolamento

Vincolo di mobilità: v_H^DISCO = v_H^GUIDA. v_H^GUIDA = 0 ⇒ v_H^DISCO = 0. Guida fissa. H è il CIR del disco per il contatto guida-disco.

x_G = R + extassi solidali ORIGINE IN G servono x_A = φ vale v_A^(†) = v_H^(†) + ((φ̇ k̂) ∧ R) perché sterzaggio→ v_A^(†) = (G - H)R²/(G - H)R_A - v_GR_A[ω ∧ (G - H)].

v_A^(†) = ddt[x_G + φ̇ x̊_A ]→ ẋ_G = Rφ̇x_G = Rφ + c.

Interpretazione

Rimane 1 GdL x_G o φ→ tolto 2GdL→ nel caso di puro rotolamento è olonomo e sottomalend.

Guida non fissa

Se la guida non è fissa, il vincolo toglie 2GdL→ H non è più il CIR del disco. v_H^GUIDA = 0. Se il disco ha un moto nel piano II o se consideriamo una sfera che rotola sul piano, troviamo che il puro rotolamento è un vincolo di pura mobilità (anolonomo).

H^* = punto del disco a contatto con la guida. H'^* = della guida = disco. H^* = geometrico, istante x istante H'^* ≡ H".

Ḣ = J_qU_m^* = 0.

Cerniera mobile

Fa coincidere due punti di due corpi rigidi (piani). Esempio: A̅ = A'̅ = A̿.

x_A = x_A' = x_A̿. y_A̿ = y_A' = y_A. Toglie 2 Gdl. Toglie 4 Gdl.

Contatto con strisciamento

Punto E di B_T⁽¹⁾ è contatto con la superficie Σ di un corpo rigido B_T⁽²⁾. Il versore n_E ; n_E | Σ uscendo da Σ nel punto di contatto E n_E =U⁽¹⁾_E ⋅ n_E = U⁽²⁾_E ⋅ n_E.

B_T⁽¹⁾ B_T⁽²⁾ Σ toglie 2 Gdl. N.B. Puro rotolamento su guide fisse U_P = ω ʌ (P - H). Φ_P è proporzionale alle distanze da P a H (CIR).

U_K = 2U_q̅₁ ̅₂ ̅ = ̅₁ + ̅₂. ̅₁ ∼ (2 3)̅₂ ∼ (4 0) + 6 - 2 + 43 = 3 + 0 ̅ ∼ (6 3). αₓ = 4 αᵧ = 0 ̅ = ̅ + ̅. cₓ = 4 + 2 = 6 cᵧ = 0 + 3 = 3. bₓ = 2 bᵧ = 3.

|̅| = √(cₓ² + cᵧ²) ̅ ∼ ( αₓ αᵧ α ) ̅ ∼ ( bₓ bᵧ b ) ̅ = ̅ + ̅ => ̅ ∼ ( αₓ + bₓ αᵧ + bᵧ α + b ).

|̅|=2m α = 30° = π/6. aₓ = |̅| cos α. aᵧ = |̅| sin α. |̅| = √(aₓ² + aᵧ²). if α = aᵧ/aₓ α = arctg aᵧ/aₓ + kπ.

̅ = ̅ₙ + ̅ᵣ | ̅ | | ̅ | L ∝ | ̅ | L ∝ | ̅ | L = ̅ · ̅ ̅ ⊥ ̅ => L = 0 L = ₓ · ₓ + ᵧ · ᵧ.

\(\vec{a} \cdot \vec{b} = a_x b_x + a_y b_y\)

\(|\vec{a}||\vec{b}| \, \text{cos} \, \varphi + |\vec{a}||\vec{b}| \, \text{sin} \, \alpha \, \text{sin} \, \beta =\)

\(|\vec{a}||\vec{b}| \, \text{cos} \, (\alpha - \beta) = |\vec{a}||\vec{b}| \, \text{cos} \, \varphi\)

\(\varphi = (\alpha - \beta)\)=> \(|\vec{L}| = |\vec{F}||\vec{s}| \, \text{cos} \, \varphi\)

Prodotto scalare di 2 vettori

\(\vec{a} \sim \langle 4, 3, 1 \rangle\)

\(\vec{b} \sim \langle 2, -4, 5 \rangle\)

\(\vec{a} \cdot \vec{b} = 4 \cdot 2 + 3 \cdot (-4) + 1 \cdot 5 = 12\)

\(\vec{a}\vec{b} = ab \, \text{cos} \, \theta\)

\(1 = \sqrt{a_x^2 + a_y^2 + a_z^2}, \sqrt{2^2 + (4)^2 + 5^2} \, \text{cos} \, \theta\)

\(\text{cos} \, \theta = \frac{1}{\sqrt{26} \cdot \sqrt{45}}\)

\(|\lambda \vec{a}| = |\lambda| \cdot |\vec{a}|\)

\(\vec{a} = a_x \hat{\imath} + a_y \hat{\jmath} + a_z \hat{k}\)

\(|\vec{v}| \alpha \, \omega\)

\(r \alpha \, v\)

\(\vec{w} = \omega \hat{k}\)

\(\vec{v} = \vec{\omega} \times \vec{r}\)

\(\hat{\imath} \, \hat{\jmath} \, \hat{k}\)

\(\vec{v} = \omega \times \hat{r}\)

\(\vec{v} = \vec{\omega} \times \hat{p} \Leftrightarrow \hat{\jmath} \times \hat{\imath} \times \hat{\jmath} \times \hat{k}\)

⃗a ∧ ⃗b = (a_xî + a_yȷ̂) ∧ (b_xî + b_yȷ̂) == a_xb_x( )î ∧ î + a_xb_y( )î ∧ ȷ̂ + a_yb_x( )ȷ̂ ∧ î + a_yb_y( )ȷ̂ ∧ ȷ̂

⃗a ∧ ⃗b = (a_xb_y - a_yb_x)k̂

(⃗a₁ ∧ ⃗b₂) ∧ ⃗b₂ (⃗a₂ ∧ ⃗b₁) + (⃗a₂ ∧ ⃗b₂)= (⃗a ∧ ⃗b₁) + (⃗a ∧ ⃗b₂) (⃗a ∧ ⃗b₂) â ∧ b̂ (a_x b_x)(ê ȷ̂ k̂ | a_x a_y a_z | b_x b_y b_z)ê ȷ̂ k̂ | a_x a_y a_z(e_yb_z - b_ya_z) − (a_xb_z - b_xa_z)+ a_xb_y + b_xa_y

⃗a ∧ ⃗b - (a cos α b sin β - a sin α b cos β)k̂ = a b (sin(β - α))k̂ ⇒ â ∧ b̂ = a b sin θ · k̂

⎡⎣ L ⎤⎦ E_F ds M(O) PG_all = 3 - 2(A) = 1 V_P = ?

Ṽ_p (σ) Ṽ_p = ω ⨯ (⃗P - A⃗ ) ω = ^dθ/_dt ȯ θΘ̂k̂ ⨯ [s cos θ ê + s cos θ ȷ̂] = sθ ê + sθ cos θ ȷ̂] √(s² cos² θ + s² sin² θ) = s |θ̇|

Ṽ_p · -sin θ · ȯ θ ê + s cos θ ȯ θ ȷ̂

Fili inestensibili

AB // x BC // y |V_a| = |V_c|. Sostegno geometrico del filo (tratti liberi) non cambia il moto: versori t_a, t_c con t_a = t_c = 1.

Inestensibilità: V_a • t_a = V_c • t_c. I tratti liberi: non avvolti ⇒ togliere 1 GDL.

Conteggio ingenuo

• 3 • 1 (A) - 1 (B) = 1 coord. libere X_a
• Facciamo faticare conteggio ingenuo: 3 • 1 (A) - 1 (B) - 1 (C) - 1 (D) = -1!

L’asta è comunque in grado di muoversi lungo x̂ ⇒ FALSO!