Meccanica quantistica 1

Capitolo 1: Intro

1.1 Crisi della meccanica classica

Ci sono due tipi di approccio didattico alla meccanica quantistica:

• approccio storico fenomenologico; si parte dagli esperimenti che tra fine '800 e inizio '900 hanno messo in crisi la meccanica classica, evidenziando l'inadeguatezza della meccanica di Newton e dell'elettromagnetismo di Maxwell; questi esperimenti riguardano principalmente fenomeni di quantizzazione dei campi.
• approccio assiomatico

La teoria classica insegna che, per lo studio di un dato fenomeno si devono trovare:

1. variabili dinamiche appropriate a un istante di tempo
2. equazioni di evoluzione (Newton/Maxwell)

Inoltre, per la meccanica classica, ogni fenomeno può essere assegnato a una delle due categorie:

• materia:posizione,quantità di mototra...zione corpuscolare
• irraggiamento:campo elettrico,campo magneticotra...zione ondulatoria

Tra '800-'900 viene messo in crisi questo schema e inizia a non essere più evidente che sia possibile seguire tutte le variabili dinamiche per descrivere un sistema a ogni istante di tempo.

Sviluppo della meccanica quantistica

• 1900: Planck, introduce h
• 1905: Einstein, quanti
• 1913: Bohr, antica teoria dei quanti
• 1926: Schrödinger, Heisenberg, Dirac → formalismomec. ondulatoria ↘ mec. un...↘

1.2 Esperimento di Stern-Gerlach (1922)

Questo esperimento si colloca tra quelli che hanno messo in crisi la meccanica classica.

1. Fornellino nel quale dell’argento è portato a une temperature alle quali vaporizza
2. Vapori di Ag escono dal forno, vengono fatti passare attraverso un collimatore (una rete assorbente tranne che per un foro)
3. Oltre il collimatore gli atomi si propagano in modo più o meno rettilineo lungo l’asse y
4. Il fascio viene fatto passare attraverso le espansioni di un magnete

Il campo magnetico è orientato prevalentemente nella direzione z, ma non è uniforme.

Sfruttiamo le conoscenze attuali sull’atomo di Ag per capire cosa ci aspettiamo che succeda quando il fascio di atomi passa attraverso le espansioni.

Ag ha 47 elettroni, Z = 47, di cui 46 si distribuiscono con perfetta simmetria sferica, riempiendo completamente dei gusci elettronici.

Il 47º e̅ è in un guscio isolato e con il suo spin (momento angolare intrinseco) determina le proprietà di moto angolare e magnetiche dell’intero atomo.

Particelle cariche dotate di spin hanno anche un momento magnetico intrinseco: μ̅ = (e/m̅)e̅_s (e_{s (e0}) (accuratezza del 0.2).

se mando uce polarizzata lungo x, questa passerà attenuata.

se θ = 45°, E_x = E₀ , E_y = E₀, E₀ = ¹/_√2 (E₀ ẍ - E₀ ẏ)

Poiché I ∝ E², l'intensità sarà dimezzata.

Per uce polarizzata lungo ẏ: E₀ ẏ' = ¹/_√2 (-E₀ ẍ + E₀ ẏ)

Ritroviamo le seguenti analogie:

• pol. ẋ = + SG^z ẑ +
• pol. ẏ' = + SG^z ẑ +
• pol. ẋ' = - SG^z ẑ -

Ora possiamo richiedere che lo stato degli e^- con lo spin lungo la direzione z positiva si comporti come ẋ̂ e ẏ̂, cioè via:

• |S_z; +⟩ ↔ ẋ̂
• |S_z; -⟩ ↔ ẏ̂
• |S_x; +⟩ = ẋ̂' = ¹/_√2 ẋ̂ + ¹/_√2 ẏ̂
• |S_x; -⟩ = ẏ̂' = ¹/_√2 ẋ̂ - ¹/_√2 ẏ̂

Quindi: |S_x; +⟩ = ¹/_√2 |S_z; +⟩ + ¹/_√2 |S_z; -⟩

|S_x; -⟩ = -¹/_√2 |S_z; +⟩ + ¹/_√2 |S_z; -⟩

Abbiamo trovato che uno stato fisico si scrive come combinazione lineare di altri stati, e questa sovrapposizione di stati non è concepibile in meccanica classica.

Ora poniamo gli Sθ in modo che B̄ non sia uniforme lungo y. Allora:

|S_y; +⟩ = |S_z; +⟩ + |S_z; -⟩

|S_y; -⟩ = |S_z; +⟩ + |S_z; -⟩

1.4 Basi di ket e rappresentazioni matriciali

Autoket di un'osservabile

Teorema: Â operatore hermitiano, Â = Â^*

1. Autovalori di  sono reali
2. Autoket di  con autovalori distinti sono ortogonali

Dim: Â|a'⁽¹⁾⟩ = α'|a'⁽¹⁾⟩ — molt. a sx per ⟨a⁽¹⁾|