Meccanica delle vibrazioni

=H

H H + +

21 12 22 2 2 2 2

2 2 2 2

( ) ( ) ( ) ( )

−ω + −ω + −ω + −ω +

7.85 79,41 7.85 79,41

| | =H

H H H

H

Rappresentando nelle sue componenti, ovvero , e , in

11 22 12 21

funzione della frequenza in un diagramma doppio logaritmico (sia l’asse delle

frequenze che l’asse delle risposte è logaritmico), sono presenti due asintoti verticali,

=1.25 =12.64

f Hz f Hz

uno in e uno in . Si osserva che tutte le componenti della

1 2

matrice di risposta in frequenza presentano un asintoto per entrambe le frequenze

H H f

naturali. In particolare, la e la presentano un picco su , mentre

11 12 1

H f

ha un picco su .

22 2

È chiaro che matematicamente, essendo degli asintoti verticali, tutte le funzioni per

f f f

e valgono infinito, ma si vede che per frequenze vicine a sono

1 2 1

H H f

dominanti le componenti e , mentre vicine a è dominante la

11 12 2

[ ][

[ ] ]

H H

x F

= 11 12

H s s

componente . Essendo che ed essendo che, nel problema

22 H H

x F

21 22

u u

F

analizzato, la forza veniva solo da in quanto la componente di forza proveniente

u

dal suolo agiva solo su un elemento del vettore forza, le componenti importanti solo

F H

quelle che moltiplicando , ovvero (risposta elevata sulle masse sospese a

u 12

H

1.25 Hz 12.64 Hz

) e (risposta elevata sulle masse non sospese a ).

22

Rappresentando la fase della matrice di risposta in frequenza, si osserva che a basse

=1.25

f Hz

frequenze, e nello specifico fino a ,

1

la fase è nulla. Si osserva, poi, che il salto di fase

è estremamente netto in quanto si passa da fase

+ π

nulla a fase istantaneamente. Precisiamo

+ π

che fase , vuol dire che il numero rimane un

numero reale ma è negativo: dove c’è fase nulla

si hanno numeri reali positivi, mentre dove c’è

π

fase sono numeri reali negativi. Infatti, nella

H

matrice non compare l’unità immaginaria

essendo una matrice di numeri reali: in generale,

la matrice di risposta in frequenza, come quella di trasferimento, sono matrici

complesse. Questo è un caso particolare senza smorzamento in cui sono tutti numeri

reali. H f f

Nello specifico, diventa negativo per e torna positivo per , invece

11 1 2

H f

resta positivo fino a e poi cambia di segno.

22 2

=180

π °

In questo caso la fase è ma di solito i sistemi di questo tipo sono sfasati di

−π =−180 ° in corrispondenza di una risonanza. Matematicamente, è la stessa cosa

in quanto è lo stesso angolo. Questo non ci preoccupa in quanto stiamo lavorando con

numeri e matrici reali.

Trasformata di Laplace e di Fourier del seno e del coseno

Consideriamo la trasformata di Laplace del seno. Applicando la definizione:

∞

∫ −st

( )

sin ώ t e dt . Usando le proprietà dell’esponenziale:

0

∞ ∞ ∞ −i

i ώt ώ t

e e

∫ ∫ ∫

−st −st −st

( )

sin ώ t e dt → e dt− e dt .

2 i 2 i

0 0 0 [ ]

∞

∞ ∞ ( )

− −a

s t

e

∫ ∫ ( )

−st −

at s−α t

La trasformata dell’esponenziale, in generale, è: .

e e dt= e dt=− s−a 0

0 0 ( )

s s−a

Essendo un numero complesso, la parte reale della quantità deve essere

( )

ℜ <0

a−s

positiva, cioè che , in quanto altrimenti l’esponenziale al numeratore

t → ∞

diverge per . Dunque, se è verificata questa condizione, la soluzione è:

[ ]

∞

−( )

s−a t

e 1 ( )

ℜ <0

a−s

. Ovviamente porre significa che l’ascissa di

− =

s−a s−a

0 ℜ(a)

convergenza di questa trasformata è la parte reale, . Dunque, l’integrale

>a

s a

converge solo per , ovvero della parte reale .

A questo punto, la trasformata del seno, essendo la somma di due esponenziali,

1 1 1 1 ώ

{ }

( ) = − =

L sin ώ t

sfruttando Laplace, è tale che: .

+i

2 i s−i ώ 2i s ώ 2 2

+

s ώ

Procedendo allo stesso modo, la trasformata del coseno:

1 1 1 1 s

{ }

( ) = + =

L cos ώ t .

2 s−i ώ 2 s+i ώ 2 2

+

s ώ

Ora, quando si passa dalla trasformata di Laplace a quella di Fourier si potrebbe

iω

pensare che sarebbe sufficiente valutare la trasformata di Laplace in . Per tale

ragione, erroneamente, saremmo portati a pensare che:

ώ ώ

{ }

( ) = =

F sin ώ t . In realtà, non è questa la trasformata di Fourier del

2 2 2 2

( ) + −ω +

iω ώ ώ

seno: infatti, la trasformata di Laplace, e quindi l’integrale che lo definisce, per il seno

non converge su tutto l’asse reale in quanto la trasformata di Fourier è definita:

∞

∫

{ } −iωt

( ) ( )

=

F sin ώ t sin ώ t e dt .

−∞ ( )

δ t

Si sfrutta un proprietà della trasformata di Fourier dell’impulso, , per ricavare, in

via indiretta, la trasformata del seno. Ora, sappiamo che la cui trasformata di Fourier

(t) 1

δ

dell’impulso è la funzione unitaria. Quindi, è trasformato tramite Fourier in

. ( )

δ t−τ

Sfruttiamo a questo punto la traslazione nel tempo. Infatti, considerando , la

−i 2 πfτ

trasformata di Fourier diventa .

1∙ e (t)

x

Poi, si sfrutta la reciprocità. Tale principio afferma che una funzione trasformata

(f ) (t )

X X

in tramite Fourier, allora si può porre che è trasformata tramite Fourier

(−f )

x

in . (t−τ )

δ

Consideriamo dunque , che viene

−i2 πfτ

trasformata in: . Per la reciprocità

e

viene trasformata in .

(−f ) ( )

−i2 πtτ −τ =δ +τ

δ f

e ( )

+τ

δ f

Quindi possiamo scrivere che , che si

(f + )

δ f τ

può anche porre come in quanto

0

−i2 π f t

è una costante, viene anti-trasformata in: .

e 0

La trasformata di Fourier del seno: . Dunque, la trasformata di

Fourier del seno è la somma di due impulsi. { }

12 1 1 1

−i

i ώ t ώt

{ } ( ) ( )

=F + = + + −f

F cos ώ t e e δ f f δ f

La trasformata di Fourier del coseno: 0 0

2 2 2

.

Quello che è importante sapere è che avere queste trasformate ci permette di

rappresentarle graficamente.

Il modulo della trasformata del coseno e del seno possono essere rappresentate in

funzione delle frequenze. Per il coseno abbiamo un impulso di ampiezza in

1 =f =−f

f f

modulo pari a in e .

0 0

2 1

Anche per il seno abbiamo un impulso di ampiezza in modulo pari a in

2

=f =−f

f f

e . Dunque, il modulo della trasformata del seno e del coseno

0 0

è uguale.

Per quanto riguarda l’argomento della trasformata del coseno e del seno in =f

f

funzione delle frequenze, abbiamo che per il coseno l’argomento è nullo per e

0

1

=−f

f in quanto abbiamo che è un numero reale positivo.

0 2 −π =−f

f

Per il seno, invece, è più complicato. Infatti, l’argomento è per (è

0

2

−i

1 π =f

= ¿ f

l’argomento di e l’argomento è per (è l’argomento di

0

2 i 2 2

−1 i

= ).

2 i 2

Dunque, quello che differenzia la trasformata del seno dalla trasformata del

coseno è semplicemente l’argomento delle trasformata. Quindi, anche la

trasformata di Fourier è una trasformata integrale complessa dove quella del

coseno è reale mentre quella del seno è complessa. Se l’ampiezza del seno/coseno

è unitaria, quella della trasforamata è pari a ½.

Spesso tale trasformata viene rappresentata su un diagramma monolatero (e non

bilatero con asse delle frequenze sia positive che negative), con l’asse delle

f

frequenze solo positivo. In questo caso, per entrambe le trasformate, in c’è un

0

impulso di ampiezza

unitaria essendo la

somma dei due impulsi. L’argomento, in entrambe le trasformate, ovviamente, è

f

invariato in .

0

Rispetto alla trasformata bilatera, quella monolatera ha ampiezza doppia per

tutti i termini eccetto il termine a frequenza zero: un termine a frequenza

zero, non si raddoppia. f

Come si vede per il seno, l’argomento di è uguale e opposto

0

−f −f

all’argomento di . Questo vuol dire che la trasformata calcolata in è la

0 f

complessa coniugata della trasformata in . In generale, quindi, per tutti i segnali

¿

(−f )=

( ) (f )

(f ) X X

x t X

reali, , la trasformata di Fourier, , è tale per cui: .

Quindi, non è indispensabile vedere lo spetto bilatero, in quanto per un

segnale reale tutto quello che c’è a frequenze negative è visibile su quelle

positive.

Risposta in frequenza quarter car

Consideriamo un'applicazione al modello quarter car e, in particolare, al calcolo della

risposta in frequenza del modello quarter car. La risposta in frequenza è la funzione

H ω

, che è una funzione di , ed è ovviamente una matrice due per due composta

da tre componenti diverse tra loro, essendo una matrice è simmetrica in cui

=H

H .

21 12

Dunque, secondo quanto avevamo già ottenuto:

[ ]

−0.22

6.32∙ 6.32 0.22∙ 0.22 6.32 ∙ 0.71 ∙19.98

+ +

[ ] 2 2 2 2

2 2 2 2

H H ( ) ( ) ( ) ( )

−ω + −ω + −ω + −ω +

7.85 79,41 7.85 79,41 −4

=

H= 10

11 12 La

−0.22∙

6.32∙ 0.71 19.98 0.71 ∙ 0.71 19.98 ∙ 19.98

=H

H H + +

21 12 22 2 2 2 2

2 2 2 2

( ) ( ) ( ) ( )

−ω + −ω + −ω + −ω +

7.85 79,41 7.85 79,41

H

prima componente, , è data dalla somma di due contributi, il primo relativo al

11

primo modo e il seco