Meccanica dei fluidi, parte 4 - concetti introduttivi cinematica dei fluidi

1-CONCETTI INTRODUTTIVI ALLA CINEMATICA DEI FLUIDI

1.1-OSSERVATORE LAGRANGIANO ED EULERIANO

OSSERVATORE LAGRANGIANO

Prima di entrare nei formalismi matema ci, è u le par re da un esempio concreto. Si

immagini di trovarsi sulla riva di un canale, osservando l'acqua che scorre. Si vuole

cara erizzare il moto del fluido all'interno di quel canale. La grandezza rilevante per fare ciò

è sicuramente la velocità del fluido. Ma come si può misurare concretamente la velocità del

fluido in un canale? Il metodo più semplice e intui vo è u lizzare un galleggiante (un piccolo

ogge o che galleggia sulla superficie dell'acqua e viene trasportato dalla corrente) e si

osserva il suo movimento. Si misura la posizione del galleggiante a un tempo iniziale t₁

rispe o a un riferimento fisso sulla riva (per esempio, un palo o un punto di riferimento

visibile). Si aspe a un certo intervallo di tempo e si misura nuovamente la posizione del

galleggiante a un tempo successivo t₂. Si valuta quindi che distanza ha percorso il

galleggiante in quell'intervallo di tempo e, dividendo la distanza per il tempo trascorso, si

s ma la velocità media del fluido in quel tra o.

Se si con nua a osservare il galleggiante per tempi più lunghi e si nota che percorre distanze

diverse in intervalli di tempo uguali (per esempio, accelera o decelera), si può anche s mare

un'accelerazione, ovvero una variazione della velocità nel tempo.

Si no la stru ura logica di questo approccio di misurazione: si sta seguendo nel tempo un

elemento specifico iden ficabile del fluido (in questo caso materializzato dal galleggiante),

osservando come cambia la sua posizione, la sua velocità e eventualmente la sua

accelerazione man mano che si muove a raverso il dominio fluido. Questo è esa amente

l'essenza dell'approccio lagrangiano.

La descrizione lagrangiana, o osservatore lagrangiano, formalizza matema camente

esa amente l'approccio intui vo appena descri o. Un osservatore lagrangiano considera

le grandezze cinema che di una singola par cella fluida lungo il suo moto, seguendola nel

tempo mentre si sposta a raverso il dominio fluido.

È necessario chiarire cosa si intende con "par cella fluida": non si sta parlando di una

par cella nel senso molecolare del termine, ovvero di una singola molecola di fluido. Con

"par cella fluida" si intende invece un elemen no piccolo ma finito di fluido, abbastanza

piccolo da poter essere considerato pun forme rispe o alle dimensioni cara eris che del

problema (e quindi da poter trascurare le sue dimensioni geometriche), ma abbastanza

grande da contenere un numero enorme di molecole e quindi da poter essere descri o

dalle proprietà medie del con nuo (densità, viscosità, pressione, ecc.).

Prima di poter dare una definizione formale e rigorosa alle grandezze cinema che secondo

l'approccio lagrangiano, è necessario fare una scelta fondamentale: definire e fissare un

sistema di riferimento inerziale (o fisso). Un sistema di riferimento inerziale è un sistema di

coordinate rispe o al quale valgono le leggi di Newton nella loro forma più semplice, senza

comparsa di forze apparen

Si sceglie quindi un sistema di riferimento cartesiano ortogonale fisso, con origine O e tre

assi coordina x, y, z orienta secondo tre direzioni mutuamente perpendicolari. Rispe o a

questo sistema di riferimento fisso si descriveranno tu e le posizioni, velocità e

accelerazioni delle par celle fluide.

Si consideri ora una specifica par cella fluida, che si iden fica con l'e che a P. A un istante

iniziale t₁, questa par cella si trova in una determinata posizione all'interno del sistema di

riferimento scelto. Questa posizione è iden ficata univocamente dal ve ore posizione

A un tempo successivo t₂, la par cella si sarà mossa so o l'azione delle forze che

̅ .

agiscono sul fluido e si troverà in una nuova posizione, iden ficata dal ve ore posizione .

̅

Analogamente, a un tempo t₃ ancora successivo, la par cella sarà in una posizione , e

̅

così via per tu gli istan temporali successivi.

∆̅

( )

( )

̅ = ̅

( )

̅

Come si può definire rigorosamente la velocità della par cella P nell'approccio lagrangiano?

Si considera un intervallo di tempo finito tra due istan , diciamo da t₁ a t₂, con durata Δt = t₂

- t₁. In questo intervallo, la par cella si sposta dalla posizione alla posizione . Lo

̅ ̅

spostamento della par cella è un ve ore dato dalla differenza:

= ̅ − ̅

Varrà che: ∆̅ ̅

̅ = lim =

∆

∆ →

Questa è una definizione che dovrebbe risultare familiare, perché è esa amente analoga a

quella u lizzata nello studio della meccanica del punto materiale. In effe , l'approccio

lagrangiano al moto dei fluidi è una dire a estensione conce uale della meccanica del

punto: si tra a ogni elemen no di fluido come se fosse un punto materiale che si muove

nello spazio, seguendone la traie oria.

La velocità è naturalmente un ve ore, con la direzione tangente alla traie oria della

par cella nell'istante considerato. Ha tre componen cartesiane:

̅ =

Questa è una convenzione notazionale standard in meccanica dei fluidi, che merita di essere

esplicitata chiaramente per evitare confusioni. Il ve ore velocità complessivo si indica con v

in con notazione ve ore. Le sue tre componen scalari nelle direzioni x, y, z si indicano

rispe vamente con u, v, w (tu e le ere minuscole, senza simbolo di ve ore).

Dato che la velocità è definita come derivata del ve ore posizione, le sue componen

possono essere espresse esplicitamente come derivate temporali delle coordinate:

⎛ ⎞

̅

⎜ ⎟

̅ = = =

⎜ ⎟

⎝ ⎠

Analogamente a quanto fa o per la velocità, si può definire l'accelerazione della par cella P

come la derivata temporale del suo ve ore velocità:

⎛ ⎞

̅

⎜ ⎟

= =

⎜ ⎟

⎝ ⎠

Quindi, in sintesi, secondo l'osservatore lagrangiano, le grandezze cinema che

fondamentali di cui si ha bisogno per descrivere completamente il moto di una par cella

fluida sono tre, legate tra loro da relazioni di derivazione temporale: posizione, velocità e

accelerazione

Si è u lizzata finora, per tu e le derivate rispe o al tempo, la notazione d minuscola su dt:

d/dt. Questa par colare notazione non è casuale, ma ha un significato preciso e importante.

Questa prende il nome di derivata totale. Nella descrizione euleriana, emergerà la necessità

di dis nguere tra diversi pi di derivate temporali: la derivata parziale rispe o al tempo

(tenendo fissa la posizione nello spazio) e la derivata totale (seguendo una par cella nel suo

moto).

Dal punto di vista della rappresentazione grafica e della visualizzazione del moto secondo

l'approccio lagrangiano, il conce o fondamentale è quello di traie oria. La traie oria della

par cella P è il luogo geometrico dei pun progressivamente occupa dalla par cella nel

suo moto a raverso il dominio fluido.

∆̅

̅

̅

Nonostante la sua intui vità e la sua chiarezza conce uale, l'approccio lagrangiano presenta

limi fondamentali quando si passa dallo studio di sistemi discre (punto materiale, o

sistemi cos tui da un numero finito di pun materiali) allo studio di mezzi con nui come i

fluidi:

 Quando si ha a che fare con un singolo punto materiale l’approccio lagrangiano è

ges bile ma quando si passa ad un mezzo con nuo come i fluidi sarebbe impossibile

studiare infinite traie orie di ciascuna par cella

 Come si è visto nell'esempio del galleggiante, per applicare concretamente

l'approccio lagrangiano al moto di un fluido reale si ha bisogno di qualcosa che

perme a di iden ficare e seguire le singole par celle fluide. Nel mezzo con nuo, alla

scala di osservazione macroscopica pica dell'ingegneria, le par celle fluide non

sono dis nguibili le une dalle altre. Non si ha un modo naturale di "e che are" una

specifica par cella e seguirla nel tempo.

OSSERVATORE EULERIANO

La differenza rispe o all'approccio lagrangiano è profonda e radicale. Invece di seguire i

singoli elemen ni di fluido nel loro moto a raverso lo spazio, registrando le loro posizioni,

veloc