Meccanica applicata alle macchine

M O) F C



 O in in

mentre per un sistema di corpi rigidi (non c’è più la doppia implicazione):

 X

+ = 0

⃗ ⃗

R F in , i







 i

equilibrio =⇒ X X

+ (G + = 0

⃗ ⃗ ⃗ ⃗

− ×

M O) F C



 O i in , i in , j



 i j

per i sistemi di corpi rigidi la risultante (sia delle forze che dei momenti) può includere anche solo le

componenti esterne (attive e reattive), tanto le coppie di azioni interne si annullerebbero a vicenda.

26 5.3. EQUAZIONI D’EQUILIBRIO DINAMICO

5.3.1 Cinetostatica del manipolatore scara

1. Analisi cinematica per le accelerazioni: si devono ricavare le accelerazioni sia del baricentro della

prima asta sia del baricentro della seconda.

˙ ˙

Definendo = , = , = , = si ha per la prima asta che:

ω

⃗ α̇ k̂ ω

⃗ α̈ k̂ ω

⃗ β̇ k̂ ω

⃗ β̈ k̂

1 1 2 2 L

L =

= 2

a ω

a ω̇ G1 , n

G1 , t 1 2 2

1

˙

per la seconda usando Rivals = + (G (G e quindi

2

× − − −

⃗a ⃗a ω

⃗ A) ω A)

G2 A 2 2 2

2

L L

 = cos sin sin cos

2 2

−ω − − −

a L α ω̇ L α ω̇ β ω β

 G2 , x 1 2 2 2

1 2

 L L

= sin + cos + cos sin

2 2

−ω −

 a L α ω̇ L α ω̇ β ω β

 G2 , y 1 2 2 2

1 2

2. Schema di tutte le azioni agenti sul sistema, incluse le reazioni vincolari e le azioni d’inerzia già col

verso giusto (il verso delle forze d’inerzia è opposto al verso delle accelerazioni lineari, il verso delle

coppie d’inerzia è opposto al verso delle accelerazioni angolari). ˙ ˙

= = = =

⃗ ⃗ ⃗ ⃗

−m −m −J −J

F ⃗a F ⃗a C ω

⃗ C ω

⃗

G1 G1 G2 G2 G1 G1 G2 G2

1 2 1 2

3. Risoluzione delle equazioni d’equilibrio per trovare le incognite:

X = ricavo

· · · −→

M C

O 1

X = ricavo

· · · −→

M C

A 2

X = ricavo

· · · −→

F ϕ

x Ox

X = ricavo

· · · −→

F ϕ

y Oy 27

CAPITOLO 5. DINAMICA

5.4 PLV e principio di d’Alembert

Si può espandere il principio dei lavori virtuali per le configurazioni dinamiche, tramite considerazioni

cinetostatiche sul sistema. X X X X

δ⃗l ⃗ ⃗

0 = = + = + + +

⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗

· · · ·

δL δL δL F C δ θ F δ G C δ θ

att in i i j j in , µ µ in , ν ν

ν

µ

i j

quindi, tramite i consueti jacobiani rispetto alle coordinate libere, è possibile esprimere l’equilibrio

cinetostatico tramite un sistema di equazioni (in numero pari ai gradi di libertà del sistema) del tipo:

 + = 0

Q Q

 in ,

1 1





 ..



 .







 + = 0

 Q Q

 k in , k

5.5 Energia cinetica di corpo rigido

Per ogni punto materiale (volume infinitesimo) si definisce l’energia cinetica come = (v e

2

dK dm)/2

perciò, integrando sul volume: ˚ ˚

1 1

= =

2 ·

K v dm ⃗v ⃗v ρ dV

P P

2 2

P

V V

che può essere riscritto, tramite il teorema di Rivals rispetto al baricentro, come

˚ 1

= + (P + (P

× − · × −

K ⃗v ω

⃗ G) ⃗v ω

⃗ G) ρ dV

G G

2

V

e sviluppando i conti si ottiene:

˚ ˚

1 1

= +

+ (P

2 · × −

K v ⃗v ω

⃗

ρ dV G)ρ dV

G

2 2

G V V

˚ ˚

1 1

+ (P + 2 2

× − · ||P −

ω

⃗ G)ρ dV ⃗v ω G|| ρ dV

G

2 2

V V

ma i due integrali centrali sono nulli e l’integrale dell’ultimo addendo è il momento polare, perciò:

1 1

= +

2 2

K m v J ω

G

2 2

G

In generale, se il moto del corpo rigido è puramente rotatorio attorno ad un CIR, è possibile esprimere la

sua energia cinetica considerandone solamente il contributo della rotazione (però il momento polare va

calcolato rispetto alla posizione del CIR).

28 5.6. BILANCIO DI POTENZE

5.6 Bilancio di potenze

Dato che le relazioni cinematiche che legano gli spostamenti virtuali e le velocità sono i medesimi (ossia

gli jacobiani) è possibile riformulare il PLV (cinetostatico) come:

X X X X

0= + + +

⃗ ⃗ ⃗ ⃗

· · · ·

F ⃗v C ω

⃗ F ⃗v C ω

⃗

i i j j in , µ G , µ in , ν ν

µ ν

i j

dove le prime due sommatorie rappresentano la potenza delle forze e coppie attive e le due sommatorie

finali la potenza delle azioni d’inerzia, perciò + = 0 .

P P

att in

Procediamo ora con lo sviluppo del termine , scelto negativo per considerare = :

−P −P

P

in att in

X

= +

−P · ·

m ⃗a ⃗v J α

⃗ ω

⃗

in k G , k G , k G , k k k

k

ma, dato che le accelerazioni sono le derivate temporali delle velocità, si ha che 1

1

d⃗

ω

d⃗v d

k

G , k

X X

+ +

= = 2 2

·

−P · J ω

⃗ m v J ω

m ⃗v G , k k k G , k

in k G , k 2 2

G , k k

dt dt dt

k k

e quindi si riconosce che d d

d X

X = = =

=

−P K K K K̇

k k

in dt dt dt

k

k

per cui in conclusione il bilancio delle potenze si scrive come = .

P K̇

att

Può essere comodo notare infine che la potenza di una forza (attiva) conservativa si scrive come

∂U dx ∂U dy dU

= + = + = =

P F v F v U̇

x x y y ∂x dt ∂y dt dt

quindi se si vuole “scomporre” il bilancio di potenze in forze conservative e non: + = .

P U̇ K̇

att , nc att , c

5.7 Modellizzazione dell’attrito 29

CAPITOLO 5. DINAMICA

La superficie di contatto tra più corpi dipende sia dalla loro geometria sia dalla loro deformabilità, infatti

se così non fosse si potrebbero presentare superfici infinitesime.

A causa della rugosità superficiale, inoltre, si può pensare che il contatto avvenga solo tra i punti

all’altezza dei “picchi” e di conseguenza l’area di effettivo contatto è molto minore di quella nominale:

[1/1000 ; 1/100] (perciò si instaurano pressioni elevatissime).

≈

A A

ef f nom

5.7.1 Attrito radente

I principali fenomeni che possono presentarsi riguardo all’attrito radente sono la condizione di aderenza e

la condizione di strisciamento:

• nella condizione di aderenza (coefficiente d’attrito statico) vale (e quindi la forza

|T | |N |

< f a

tangente non riesce ad opporsi alla forza d’attrito), il corpo rimane fermo:

• nella condizione di strisciamento (coefficiente d’attrito dinamico) vale = (e quindi la forza

|T | |N |

f

d

d’attrito controbilancia la forza tangente), i due corpi hanno velocità relativa:

Il passaggio dalla condizione di aderenza a quella di strisciamento rappresenta un “punto di discontinuità”

per il modello matematico considerato (di Coulomb); in quell’istante la cosa più sensata da fare è

considerare la forzante uguale a = .

|N |

F F f

a

30 5.7. MODELLIZZAZIONE DELL’ATTRITO

5.7.2 Attrito volvente

Nell’ambito dell’attrito volvente (quello legato al rotolamento) le deformazioni dei corpi non sono più

trascurabili.

Idealmente nel contatto i materiali sono elastici lineari, perciò a maggiori deformazioni corrispondono

maggiori sforzi:

ma nella realtà sono presenti dei fenomeni d’isteresi che aumentano il lavoro meccanico necessario per

deformare il materiale 31

CAPITOLO 5. DINAMICA

di conseguenza la distribuzione di sforzi e deformazioni non sarà regolare e simmetrica (può comunque

essere modellizzata spostando il punto di applicazione della reazione normale):

In generale lo scostamento dipende dal coefficiente d’attrito volvente tramite = , e la potenza

u f u f R

v v

dissipata dall’attrito viscoso si calcola come:

= = = =

|P | Cω N u ω N f R ω N f v

diss v v centro

Per essere più precisi bisognerebbe, successivamente, verificare la validità della condizione di adesione

così da poter effettivamente parlare di puro rotolamento (se il rotolamento avviene con strisciamento si

ha un grado di libertà in più nel moto).

Se la condizione di aderenza è rispettata allora, dato che si ha puro rotolamento, alla forza non sarà

T

associata nessuna potenza (cosa non vera se è presente strisciamento).

32 6

Sistemi MTU

I bilanci di potenza trovano un “naturale” impiego nei sistemi MTU (motore-trasmissione-utilizzatore),

ossia sistemi in cui il lavoro generato da un “motore” viene speso da un “utilizzatore” dopo essere stato

reso compatibile da una “trasmissione”:

6.1 Motore

In generale il motore viene descritto dal suo momento d’inerzia , dalla sua coppia e dai suoi

J C

m m

parametri angolari ed (e la coppia motrice dipende dalla velocità angolare).

ω α

m m

6.1.1 Motore termico a combustione interna

Per i motori termici sono identificabili le coppie minime e massime , che possono essere

C C

min max

prodotte; il “grado di ammissione” determina poi la quantità d’aria (di miscela) entrante nella camera

γ

di combustione e per questi motori la coppia motrice segue un’andamento = + (1 :

−

C γ C γ) C

m max min

33

CAPITOLO 6. SISTEMI MTU

6.1.2 Motore elettrico a magneti permanenti

I motori elettrici in corrente continua possono essere schematizzati tramite:

dove la forza elettromotrice = e la coppia motrice = .

E k ω C k i

e m m m

Dato che la tensione d’alimentazione si calcola come = + si ottiene che:

V V R i E

− − −

V E V k ω V k ω

e m e m

= = =

−→

i C k

m m