Matrici e sistemi lineari

1 Matrici di forma a scala

∈

Definizione 1.1. Una matrice A = (a ) M (K) si dice di forma a scala se

ij mn

• le eventuali righe nulle di A sono le ultime;

• il primo elemento non nullo di ciascuna riga non nulla è 1 ed appartiene ad

una colonna che ha nulli gli elementi al di sotto di esso;

• tali elementi, che si dicono pivot di A, sono in scala decrescente da sinistra

≥

a destra ed il posto da essi occupato ha l’indice di colonna dell’indice di

riga.

Esempi 1.2. Secondo la nostra definizione le seguenti matrici sono di forma a

    

 

 0 1 2 3 1 1 2 1 1 2

0 1 2 0 1     

 

 0 1 1

0 1 1

0 0 0 1 3 0 0 1 2 , ; men-

,

scala: , 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1

0 0 0 0 0    

1 2 0 0 1 2

 

0 0 0

   

1 0 0 .

tre non sono di forma a scala le seguenti: ,

 

0 1 0 0 1 3

0 0 1

∈

Osservazione 1.3. Una matrice quadrata A M (K) di forma a scala è trian-

n

golare superiore, mentre non è in generale vero il viceversa.

∈

Definizione 1.4. Una matrice A = (a ) M (K) si dice ridotta per righe (o

ij mn

totalmente ridotta per righe) se

• le eventuali righe nulle di A sono le ultime;

• il primo elemento non nullo di ciascuna riga non nulla è 1 ed appartiene ad

una colonna che ha nulli tutti gli altri elementi;

• tali elementi, che si dicono pivot di A, sono in scala decrescente da sinistra

≥

a destra ed il posto da essi occupato ha l’indice di colonna dell’indice di

riga.    

1 0 0 0 0 1 0 0 0

   

0 0 1 0 0 0 1 0 0

   

Esempio 1.5. Secondo la nostra definizione , ,

   

0 0 0 1 0 0 0 1 0

0 0 0 0 1 0 0 0 1

 

0 1 0 0

 

0 0 1 0

  sono matrici ridotte per righe.

 

0 0 0 1

0 0 0 0 1

Osservazione 1.6. Una matrice ridotta per righe è di di forma a scala, non è

in generale vero il viceversa. ∈

2 Operazioni elementari su A M (K)

mn

 

R

1 

 ( )

R 

 2 · · · ∈



 C C C

= M (K) una

Definizione 2.1. Sia A = .. 1 2 n mn



 .

R

m

matrice di tipo (m, n) ad elementi in un campo K.

Chiameremo operazioni elementari per righe eseguite su A le seguenti:

• ∈ − {0} −→

moltiplicare la riga i-esima di A per λ K (R λR ),

i i

• ←→

scambiare tra loro le righe di posti i, j di A (R R ),

i j

• ∈

sommare alla j-esima riga di A la riga i-esima moltiplicata per λ K

−→

(R R + λR ).

j j i

Analogamente sono operazioni elementari per colonne su A le seguenti:

• ∈ − {0} −→

moltiplicare la colonna i-esima di A per λ K (C λC ),

i i

• ←→

scambiare tra loro le colonne di posti i, j di A (C C ),

i j

• sommare alla j-esima colonna di A la colonna i-esima moltiplicata per lo

∈ −→

scalare λ K (C C + λC ).

j j i

Osservazione 2.2. Dai risultati dell’esercizio 6.5 segue immediatamente che:

• ∈ − {0}

moltiplicare la riga i-esima di A per λ K equivale a moltiplicare a

sinistra A per la matrice E (λ) che si ottiene dalla matrice I , identità di

i m

ordine m, moltiplicando la i-esima riga per λ;

• scambiare tra loro le righe di posti i, j di A equivale a moltiplicare a sinistra

A per la matrice E che si ottiene da I scambiando le righe di posti i, j;

ij m

• ∈

sommare alla j-esima riga di A la riga i-esima moltiplicata per λ K

equivale a moltiplicare a sinistra A per la matrice E (λ) che si ottiene da

ji

I aggiungendo alla riga j-esima di I la i-esima moltiplicata per λ.

m m

• Le matrici E (λ), E , E (λ) sono invertibili e le matrici inverse sono:

i ij ji

1 −1 −1

−1 = E , E (λ) = E (−λ).

E (λ) = E ( ), E ij ji ji

i i ij

λ 2

Osservazione 2.3. Analogamente, dall’esercizio 6.5 segue che:

• ∈ − {0}

moltiplicare la colonna i-esima di A per λ K equivale a moltiplicare

a destra A per la matrice E (λ) che si ottiene dalla matrice I , identità di

i n

ordine n;

• scambiare tra loro le colonne di posti i, j di A equivale a moltiplicare a

destra A per la matrice E ottenuta da I ;

ij n

• ∈

sommare alla j-esima colonna di A la i-esima moltiplicata per λ K equi-

vale a moltiplicare a destra A per la matrice E (λ) che si ottiene da I .

ji n

Definizione 2.4. Le matrici E (λ), E , E (λ) si dicono matrici elementari.

i ij ji

∈

Definizione 2.5. Due matrici A, B M (K) ottenute l’una dall’altra tramite

mn

un numero finito di operazioni elementari per righe si dicono equivalenti per righe.

∈

Equivalentemente A, B M (K) sono equivalenti per righe se esistono k matrici

mn · · ·

elementari E , E , . . . , E tali che E E E A = B.

1 2 k k 2 1 ′

∈ − {0}

Teorema 2.6. Sia A M (K) esistono U e U rispettivamente di forma

mn

a scala e ridotta per righe equivalenti per righe ad A.

Dimostrazione. L’esistenza di U si prova applicando alla matrice A l’algoritmo

di riduzione gaussiana. ( )

· · ·

C C C

Sia C la prima colonna non nulla della matrice A = .

1 2 n

j

• ̸ 1

Passo 1. Si individui un elemento a = 0 su C e si scambi R con R :

ij j 1 i

a ij

1 ←→

R R .

i 1

a ij

In tal modo si ottiene una matrice A del tipo

1 

 ··· ∗ ··· ∗

0 0 1

 

··· ··· ···

0 0 b b 

 2j 2n 

 ··· ··· ···

0 0 b b

 

A = 3j 3n

1  

.. .. .. .. .