Materiale orale Fisica

VELOCITÀ

Si chiama traiettoria la linea che unisce le posizioni successive occupate da un punto

materiale in movimento. Nel caso del moto rettilineo, la traiettoria è un segmento di retta e

il sistema di riferimento è costituito da un solo asse cartesiano s, che coincide con la

traiettoria. Su tale asse si sceglie un punto di origine, un unità di misura e un verso. In

questo modo, ad ogni punto della traiettoria corrisponde un’ascissa.

Osservando il moto di un corpo lungo una traiettoria rettilinea, la posizione del corpo è data

dalla sua ascissa s, l’istante di tempo t è il valore indicato dall’orologio quando il corpo si

trova nel punto di ascissa s. Per descrivere il moto rettilineo occorre fissare una posizione

zero, cioè l’origine O dell’asse s, e un istante zero a partire dal quale si misura il tempo.

La scelta della posizione zero e dell’istante zero sono arbitrarie e indipendenti tra loro.

Tuttavia, se si descrive il movimento di un solo punto materiale, spesso conviene porre lo

zero del tempo nell’istante in cui il punto materiale si trova in O. Δt o durata la

Dati un istante t e un istante t successivo, si dice intervallo di tempo

1 2

differenza tra i due istanti. La lettera greca delta si usa per indicare la variazione della

grandezza tra due stati fissati, cioè la differenza tra il valore nello stato finale e il valore

nello stato iniziale. Δt = t - t

2 1

Se all’istante t e all’istante

il corpo è in una posizione di ascissa s t è in una posizione s il

1 1 2 2,

suo spostamento Δs nell’intervallo di tempo Δt è definito come la differenza tra le due

ascisse. Δs = s s

–

2 1

Si definisce la velocità media di un punto materiale come il rapporto tra lo spostamento

compiuto e l’intervallo di tempo impiegato:

= Δs/Δt

v m

Nel Sistema Internazionale la velocità si misura in metri al secondo m/s.

Nella vita quotidiana però si utilizza più comunemente il km/h.

Per esprimere in m/s una velocità data in km/h bisogna dividere il valore della velocità per

3,6.

Per esprimere in km/h una velocità data in m/s bisogna moltiplicare il valore della velocità

per 3,6.

Quando il punto iniziale del moto coincide con il punto finale, lo spostamento effettuato è

nullo e la velocità media sul percorso è uguale a 0 m/s. La velocità media inoltre fornisce

anche informazioni sul verso del moto:

se il corpo si muove nello stesso verso che è stato fissato sull’asse, il suo spostamento è

- –

positivo (s s >0) e poiché t t >0, si ha v >0

–

2 1 2 1 m

nel verso opposto a quello fissato sull’asse, il suo spostamento è

- se il corpo viaggia

negativo (s s <0), da cui v <0.

–

2 1 m

Dalla formula della velocità media, conoscendo almeno 2 grandezze è possibile ricavare la

terza attraverso le formule inverse:

Δs = v Δt

m

Δt = Δs / v m

Si può costruire un piano cartesiano in cui l’asse orizzontale indica i tempi e l’asse verticale

indica le posizioni. L’insieme dei punti ottenuti raccogliendo i dati su posizione e tempo e

riportandoli sul piano costituisce il grafico spazio-tempo del moto. Maggiore è il numero dei

punti riportati nel grafico, maggiore è la precisione con cui si può tracciare la curva che li

unisce. Un punto del grafico spazio-tempo indica la posizione di un corpo che si muove

lungo una retta e l’istante in cui il corpo occupa quella posizione. Il grafico spazio-tempo

però non rappresenta la traiettoria, la quale è una linea che descrive il moto nello spazio

reale. Osservando il grafico spazio-tempo si notano alcune caratteristiche qualitative del

moto:

- i tratti più ripidi della curva sono quelli in cui la velocità media è maggiore.

- nel tratto orizzontale il corpo è fermo.

- nei tratti inclinati verso il basso il corpo torna indietro.

La pendenza o coefficiente angolare di una retta del grafico spazio-tempo è il rapporto tra il

dislivello verticale Δy e lo spostamento orizzontale Δx.

m=Δy/Δx

coefficiente angolare m può essere: positivo se la retta è inclinata verso l’alto o negativo

Il

se la retta è inclinata verso il basso. In valore assoluto la pendenza della retta è tanto più

grande quanto più la retta è ripida.

La velocità media in un determinato intervallo di tempo è uguale al coefficiente angolare

della retta che passa per 2 punti P e P del grafico spazio-tempo corrispondente agli estremi

1 2

dell’intervallo.

Per calcolare la velocità media dal grafico spazio-tempo:

grafico che corrispondono agli estremi dell’intervallo di tempo

- si segnano i 2 punti del

considerato,

- si traccia la retta che passa per entrambi i punti,

- si calcola la pendenza della retta.

Tra tutti i grafici spazio-tempo, il più semplice è quello a forma di retta. Poiché una retta ha

sempre la stessa pendenza, un grafico spazio-tempo rettilineo rappresenta un moto che ha

sempre la stessa velocità media, qualunque sia l’intervallo in cui essa viene calcolata. Il

movimento di un punto materiale che si sposta lungo una retta con velocità costante è detto

moto rettilineo uniforme. Il moto si dice rettilineo perché la traiettoria è contenuta in una

retta e uniforme perché il valore della velocità non cambia. Nel moto rettilineo uniforme le

distanze sono direttamente proporzionali agli intervalli di tempo impiegati a percorrerle.

Per un punto materiale che compie un moto rettilineo uniforme con velocità v e che

nell’istante iniziale t = 0m), la posizione all’istante t

(0 sec) si trova nella posizione zero (s

0 0

è: s=vt.

Si chiama legge oraria del moto la formula che, per un dato tipo di moto, fornisce la

posizione del punto materiale se si conosce il corrispondente istante di tempo.

La legge oraria del moto rettilineo uniforme diventa quindi: s = s + vt

0

Conoscendo posizione e velocità, è possibile calcolare con la formula inversa il tempo: t=s/v

Se la posizione iniziale s diversa da zero, la formula per determinare t diventa: t= s-s /v

0 0

L’ACCELERAZIONE

Un’auto che viaggia su una strada dritta a velocità costante ha un moto rettilineo uniforme.

Il suo grafico spazio-tempo è una retta.

Una palla che rimbalza lungo la verticale dopo essere entrata nel canestro ha un moto

rettilineo vario. Il suo grafico spazio-tempo non è una retta.

dipende dall’intervallo di tempo Δt usato

Nel moto rettilineo uniforme la velocità media non

per calcolarla, nel moto vario invece il suo valore cambia con l’intervallo considerato.

Per misurare la velocità di un automobile in un determinato istante si usa il tachimetro che

fa 3 operazioni:

distanza Δs percorsa in un breve intervallo di tempo Δt che comprende

- determina la

quell’istante,

misura Δt con un cronometro,

- divide Δs per Δt.

-

Il tachimetro misura una velocità media, che è tanto più vicina alla velocità istantanea

quanto più Δt è piccolo.

La velocità istantanea v è il valore limite a cui tende la velocità media quando questa è

calcolata su intervalli di tempo Δt sempre più piccoli, comprendenti l’istante t considerato.

La velocità media di un oggetto in un intervallo di tempo Δt è uguale al coefficiente

angolare della retta che passa per i due punti del grafico spazio-tempo corrispondenti agli

estremi di Δt: questa retta taglia il grafico, cioè è una sua secante.

Man mano che l’intervallo di tempo si restringe attorno ad un dato istante t , gli estremi

0

dell’intervallo si avvicinano l’uno all’altro e tendono a coincidere con t. Allora:

- la retta secante diventa uguale alla retta tangente, che tocca il graficonel punto

corrispondente all’istante t,

- la velocità media diventa uguale alla velocità istantanea in t.

La velocità istantanea in t è perciò uguale al coefficiente angolare della retta tangente al

0

grafico spazio-tempo nel punto che corrisponde a t .

0

ci si può fare un’idea di come varia la velocità

Osservando un grafico spazio-tempo,

istantanea:

- più il grafico è ripido, più il valore della velocità istantanea è grande

- dove il grafico è orizzontale, la velocità istantanea è uguale a zero.

L’accelerazione misura la rapidità con cui varia la velocità.

L’accelerazione media a velocità Δv

di un punto materiale è il rapporto tra la variazione di

m

e l’intervallo di tempo Δt in cui avviene tale variazione: a = Δv / Δt

m

L’unità di misura dell’accelerazione è il metro al secondo quadrato m/s 2 .

L’accelerazione media ha segno negativo quando la velocità diminuisce.

L’accelerazione media in un intervallo di tempo Δt è uguale al coefficiente angolare della

retta secante del grafico velocità-tempo che passa per i punti P e P corrispondenti agli

1 2

estremi di Δt. Per calcolare l’accelerazione media in un grafico velocità tempo:

del grafico che corrispondono agli estremi dell’intervallo di tempo

- si segnano i 2 punti

considerato,

- si traccia la retta secante passante per i 2 punti,

- si calcola il coefficiente angolare della retta secante.

Si dice moto rettilineo uniformemente accelerato il movimento di un punto materiale che si

sposta lungo una retta con accelerazione costante. In un moto di questo genere, la velocità

varia di quantità uguali in intervalli di tempo uguali. Ciò significa che, nel moto rettilineo

uniformemente accelerato le variazioni di velocità sono direttamente proporzionali agli

intervalli di tempo in cui avvengono.

Osservando la caduta di corpi diversi, nel IV secolo a.C. Aristotele aveva teorizzato che la

velocità di caduta è direttamente proporzionale al peso del corpo: una pietra 10 volte più

pesante cade 20 volte più veloce.

Galileo Galilei è il primo a mettere in discussione la teoria di Aristotele e afferma che la

differenza nel moto di caduta del sasso e della foglia è dovuta soltanto all’attrito con l’aria,

sui 2 corpi. Se non ci fosse l’attrito con l’aria, tutti i corpi lasciati

che agisce diversamente

liberi di cadere sulla superficie della Terra precipiterebbero descrivendo un moto

2

uniformemente accelerato, con una stessa accelerazione che vale 9,8 m/s .

L’accelerazione di gravità sulla Terra è indicata di solito con il simbolo g.

Galileo non si limita a confutare con un esperimento ideale la teoria di Aristotele, ma

formula un nuovo modello che descrive in modo accurato la caduta dei gravi. Egli fa

scendere, da diverse altezze, una sfera di bronzo lungo un piano inclinato di legno, ben

levigato per ridurre l’attrito. Misura il tempo con un orologio ad acqua: il tempo di discesa

della sfera corrisponde al peso, misurato con una bilancia, di una certa quantità di liquido

che esce da un secchio attraverso un tubicino. Galileo ripete l’esperimento per diverse

lunghezze del percorso. Poi, confrontando tempi di discese e lunghezze, verifica che esiste

Δs e i quadrati dei corrispondenti

una proporzionalità diretta tra le distanze percorse

intervalli di tempo (Δt) 2 . Questo risulta vero per diverse inclinazioni del piano e per sfere di

peso e composizioni differenti: Δs= costante x (Δt) 2

La legge della velocità è l’equazione che esprime la velocità istantanea v di un punto

materiale ad ogni istante t. Per un punti materiale che parte da fermo e si muove con

accelerazione costante a, la legge della velocità è: v= at

Il grafico velocità-tempo relativo al moto rettilineo uniformemente accelerato con partenza

che passa per l’origine degli assi coordinati.

da fermo è una retta

Per un punto materiale che parte da fermo all’istante t=0s e che si muove con accelerazione

costante a, la legge della posizione o legge oraria del moto (che fornisce la posizione ad

2

ogni istante t) è: s= ½ a t .

Il grafico spazio-tempo di un moto rettilineo uniformemente accelerato è una parabola.

Per un punto materiale che parte da fermo e si muove con un’accelerazione costante a

qualsiasi, la formula che esprime il tempo impiegato per passare dalla posizione iniziale

(l’origine dell’asse di riferimento) a una posizione s è: t= √2s/a

Per un moto rettilineo uniformemente accelerato di cui si conoscono la velocità iniziale v e

0

l’accelerazione a, la legge della velocità è: v= v + at

0

Il grafico velocità-tempo relativo al moto uniformemente accelerato con velocità iniziale v 0

è una retta che interseca l’asse verticale della velocità nel punto di ordinata v .

0

Per un punto materiale che all’istante t nell’origine dell’asse di

=0s si trova con velocità v

0 0

riferimento (posizione s =0m) e che si muove con accelerazione costante a, la legge della

0 2

posizione è: s= v t + ½ at .

0

Nel caso in cui la posizione iniziale del punto materiale in moto uniformemente accelerato

sia diversa dall’origine dell’asse di riferimento, la formula che fornisce s in funzione di t è:

2

s= s + v t + ½ at .

0 0

Nel moto rettilineo uniforme a velocità v, la distanza Δs percorsa in un intervallo di tempo

Δt è Δs= vΔt

La distanza Δs percorsa da un corpo all’istante t è uguale all’area sotto il grafico velocità-

tempo compresa tra l’origine e l’istante t. Si dimostra che questo è vero per un moto

qualsiasi e non solo nel caso del moto uniforme.

Per il moto rettilineo uniformemente accelerato con partenza in velocità la superficie sottesa

tra l’istante iniziale t

al grafico velocità-tempo = 0s, e un istante generico t è quella di un

0

trapezio rettangolo di base minore v , base maggiore v + at e altezza t.

0 0

Ricordando la formula dell’area del trapezio, che è uguale al prodotto della semi somma

per l’altezza, si ottiene:

delle basi 2

area= ½ [(v +at) + v ] t= ½ (2v + at) t= v t + ½ at .

0 0 0 0

Una palla lanciata verso l’alto prima sale e rallenta, poi si ferma istantaneamente nel punto

più alto della sua traiettoria e infine ricade verso il basso. Si fissa come asse di riferimento

una retta verticale orientata verso l’alto, con origine O nel punto del lancio. Con questa

scelta:

- la velocità iniziale v è positiva, perché inizialmente la palla si muove nello stesso verso

0

che è stato assegnato all’asse,

l’accelerazione di gravità è negativa, perché durante la salita fa rallentare la palla e poi,

-

durante la discesa, fa in modo che il modulo della sua velocità aumenti continuamente.

l’accelerazione, le leggi del moto uniformemente

Di conseguenza, indicando con -g – 2

accelerato diventano: v= v -gt e s= s + v t ½ gt

0 0 0

I MOTI NEL PIANO

Su un foglio è possibile rappresentare uno spostamento con una freccia: le 3 proprietà che lo

caratterizzano sono la distanza fra il punto di partenza e il punto di arrivo, la direzione e il

verso.

La direzione è definita dalla retta su cui avviene lo spostamento.

Il verso è dato dai 2 sensi in cui tale retta può essere percorsa.

La freccia deve avere la stessa direzione e lo stesso verso dello spostamento. La sua

lunghezza è direttamente proporzionale alla lunghezza dello spostamento, che avviene nello

spazio reale.

È possibile indicare la freccia che va dal punto A al punto B (e lo spostamento che essa

rappresenta) con il simbolo s. Invece la lettera s (senza freccia sopra) indica la lunghezza

dello spostamento.

Un primo metodo che consente di sommare gli spostamenti si chiama metodo punta-coda.

Volendo sommare a un primo spostamento a un successivo spostamento b, si trasporta la

freccia b parallelamente a se stessa, fino a che la sua coda coincida con la punta di a. Lo

spostamento totale si ottiene unendo la coda della prima freccia con la punta della seconda.

(si costruisce una sorta di triangolo). In generale, la lunghezza della freccia c (spostamento

totale) non è uguale alla somma delle singole lunghezze delle frecce a e b.

Se il punto di partenza e il punto di arrivo coincidono, lo spostamento complessivo può

essere nullo anche se c’è movimento.

Le grandezze che hanno una direzione, un verso, un valore numerico e si sommano con il

metodo punta-coda si chiamano vettori. Il punto di partenza della freccia (chiamato coda o

punto di applicazione) che rappresenta il vettore non è importante. Due frecce che hanno la

stessa direzione, lo stesso verso e lo stesso valore numerico, ma 2 punti di applicazione

diversi, rappresentano lo stesso vettore.

Il simbolo del vettore può essere rappresentato senza freccia sopra o tra lineette verticali per

rappresentare l’intensità o modulo, cioè il valore numerico del vettore. Lo spostamento e la

velocità sono esempi di grandezze vettoriali (cioè grandezze fisiche descritte da vettori)

come pure l’accelerazione, la forza, il campo elettrico e il campo magnetico.

Oltre alle grandezze vettoriali, esistono quelle scalari che sono grandezze che possono

essere descritte soltanto con un numero, senza bisogno di specificare la direzione e il verso.

Sono esempi di grandezze scalari la temperatura e la pressione.

I vettori sono oggetti matematici sui quali è possibile definire diverse operazioni, come

avviene per gli scalari.

La somma di due vettori si può ottenere con il metodo punta-coda o con il metodo del

parallelogramma. Si trasla b in modo che la sua coda coincida con quella di a. I 2 vettori

definiscono un parallelogramma. Il vettore somma congiunge le code di a e b con il vertice

opposto del parallelogramma. L’addizione di vettori gode della proprietà commutativa e

associativa.

Dato un vettore a e un numero k, il vettore d=ka ha:

- la stessa direzione di a,

- verso uguale a quello di a se k è positivo, verso opposto se k è negativo,

- modulo pari al modulo di a moltiplicato per il valore assoluto di k.

Con k=-1 si ottiene il vettore opposto di a, che si indica con -a.

La differenza tra 2 vettori si ottiene sommando il primo di essi con l’opposto del secondo:

–

e= a b= a + (-b)

La moltiplicazione di un vettore per un numero gode della proprietà distributiva sia rispetto

all’addizione –

sia rispetto alla sottrazione: k(a+b)= ka + kb ; k(a-b)= ka kb

Sono dati un vettore a e due rette r e s non parallele. Per comodità, trasportiamo a in modo

che la sua coda coincida con l’intersezione delle 2 rette. Si cercano 2 vettori, uno parallelo

ad r e uno parallelo ad s, la cui somma sia a. Questo equivale a scomporre a in 2 vettori

lungo le direzioni delle rette r e s.

Si conduce dalla punta di a la retta parallela ad s, che interseca r nel punto A e la parallela ad

r che interseca s nel punto B. I vettori componenti a e a , si ottengono congiungendo la

r s

coda di a rispettivamente con i punti A e B.

In generale, è sempre possibile trovare due vettori a e a (detti vettori componenti di a lungo

r s

r e s) che:

sono disposti uno lungo la retta r e l’altro lungo la retta s,

-

- danno come somma il vettore a: a +a =a

r s

Molto spesso è conveniente scegliere le 2 rette lungo cui si scompone un vettore in modo

che siano perpendicolari tra loro. In questo caso le 2 rette possono essere considerati come

gli assi di un sistema cartesiano, quindi invece di r e s, vengono chiamate x e y.

Per comodità, si disegna il vettore a con la coda nell’origine del sistema di riferimento

cartesiano. Allora le proiezioni della punta di a sulle rette x e y forniscono le coordinate

della punta di a, che sono dette componenti cartesiane di a. Considerando il triangolo

per calcolare l’ipotenusa

rettangolo che si forma, è possibile applicare il teorema di Pitagora

a: a= √a x2 y2

+ a

In un dato istante, la posizione P di un oggetto puntiforme rispetto all’origine O degli assi

cartesiani di riferimento è specificata da coordinate, ma può essere data anche dal vettore

O in quell’istante. Il vettore posizione individua la posizione P in

posizione di P rispetto a

cui si trova un punto materiale in un dato istante.

All’istante t la posizione del punto materiale sulla traiettoria tracciata in un grafico

1

cartesiano è data dal vettore posizione s . A un istante successivo t , il punto materiale

1 2

occupa una nuova posizione indicata dal vettore posizione s . Lo spostamento del punto

2

materiale tra i 2 istanti è rappresentato dal vettore spostamento Δs. Applicando il metodo del

parallelogramma, si ottiene che il vettore spostamento è la variazione del vettore posizione.

Δs= s -s

2 1

Il vettore spostamento non dà informazioni sulla traiettoria seguita, né sulla lunghezza del

cammino effettivamente percorso dall’oggetto in movimento. Lo spostamento Δs di un

materiale in un intervallo di tempo Δt dipende solo dalla posizione di partenza e da

punto

quella di arrivo, e non dipende dalle posizioni intermedie attraversate.

Il vettore Δs congiunge le posizioni P occupate dal punto materiale all’inizio e alla

e P fine

1 2

dell’intervallo Δt scelto. Δs descrive lo spostamento effettivo del punto materiale da P a P .

1 2

Se Δt è più piccolo, la coda e la punta del vettore Δs sono su posizioni più vicine tra loro: Δs

ha modulo minore. In un intervallo di tempo Δt molto più piccolo, anche lo spostamento Δs

del punto materiale è in modulo molto più piccolo. Se Δt si restringe sempre di più, la

posizione