Matematica - Prima parte

matematica

Triangolo rettangolo

a \ sezione aurea di \ a + b

a+b \over a = a \over b

moltiplico \ x \ ab

Ca = {a^2 + ab \over a + b} = a-b+{ab \over a+b} = Porto fuori.

a-b \cdot {1 + \sqrt{5} \over 2} \hspace{10pt} a-b \cdot {1 + \sqrt{5} \over 2} = b \left({1 + \sqrt{5} \over 2}\right)

* \sqrt{5} = {m \over n} \hspace{10pt} con \hspace{10pt} m,n \hspace{10pt} interi \hspace{10pt} positivi ? \hspace{10pt} NO

SUPPONIAMO \hspace{10pt} \sqrt{5} = {m \over n} \hspace{10pt} con \hspace{10pt} m, n \hspace{10pt} senza \hspace{10pt} divisori \hspace{10pt} comuni.

5 = {m^2 \over n^2} \hspace{10pt} m^2 - 5n^2 \hspace{10pt} è \hspace{10pt} divisibile \hspace{10pt} per \hspace{10pt} 5, \hspace{10pt} quindi \hspace{10pt} m \hspace{10pt} è \hspace{10pt} divisibile \hspace{10pt} per \hspace{10pt} 5. \hspace{10pt} con \hspace{10pt} m = 5q \hspace{10pt} con \hspace{10pt} q \hspace{10pt} intero

{5^2q^2 \over n^2} = 5 \hspace{10pt} m^2 \hspace{10pt} è \hspace{10pt} divisibile \hspace{10pt} per \hspace{10pt} 5, \hspace{10pt} quindi \hspace{10pt} n \hspace{10pt} è \hspace{10pt} divisibile \hspace{10pt} per \hspace{10pt} 5

n = 5q \Rightarrow \hspace{10pt} q \hspace{10pt} numero \hspace{10pt} intero. \hspace{10pt} 5q = {5q \over m}

Questo \hspace{10pt} vuol \hspace{10pt} dire \hspace{10pt} che \hspace{10pt} anche \hspace{10pt} m \hspace{10pt} è \hspace{10pt} divisibile \hspace{10pt} per \hspace{10pt} 5, \hspace{10pt} quindi \hspace{10pt} m \hspace{10pt} è \hspace{10pt} divisibile \hspace{10pt} per \hspace{10pt} 5

Questo \hspace{10pt} vuol \hspace{10pt} dire \hspace{10pt} ance \hspace{10pt} m \hspace{10pt} è \hspace{10pt} divisibile \hspace{10pt} per \hspace{10pt} 5, \hspace{10pt} quindi \hspace{10pt} m \hspace{10pt} è \hspace{10pt} divisibile \hspace{10pt} per \hspace{10pt} 5 !

Ragionamento \hspace{10pt} x \hspace{10pt} assurdo

Voglio \hspace{10pt} trovare \hspace{10pt} un \hspace{10pt} modo \hspace{10pt} x \hspace{10pt} avvicinarmi \hspace{10pt} a \hspace{10pt} \sqrt{5}

3 \leq \sqrt{5} \leq \hspace{10pt} 2

x_0 = 3 \hspace{10pt} \therefore \hspace{10pt} x_0 \approx \hspace{10pt} 2 \dftrac{5}{x_0}

{4 \over x_0} \approx x_0

x_0 \hspace{10pt} approssima \hspace{10pt} x \hspace{10pt} eccesso

{5 \over x_0} \hspace{10pt} approssima \hspace{10pt} x \hspace{10pt} difetto

x_4 = \overline{\frac{1}{2} \left( x_0 + \frac{5}{x_0} \right)} \hspace{10pt} cosa \hspace{10pt} è \hspace{10pt} vuoto.

x_4 - \frac{5}{2} - \sqrt{5} \gt 0 \hspace{10pt} (x_0-\sqrt{5})^2

x_4 = \frac{1}{2} \left(x_4 + x_4\right)

x_4 \hspace{10pt} approssima \hspace{10pt} \sqrt{5} \hspace{10pt} per \hspace{10pt} eccesso \hspace{10pt} come \hspace{10pt} x_0, \hspace{10pt} ma \hspace{10pt} è \hspace{10pt} vicino!

x_{n} = \frac{1}{2} \left( x_{n+1} + {5 \over x_n} \right) \to n = 1, 2, \ldots

x_0, \, x_1, \, x_2, \to x_n \, \to successione \hspace{10pt} andare \hspace{10pt} viano \hspace{10pt} ad \hspace{10pt} un \hspace{10pt} numero \hspace{10pt} reale

\sqrt{5}

matematica

C_a = ^{a2 + a2} / _{a + b}C_b = ^{b2 + b2} / _{a + b}a + b = 0a * ^{a + b₁ + 2a2} / _{(a + b)}

a - b + 5^1/2 = ^{b(1 - 5)} / ₂

C_a * b(in)

SUPPONIAMO √5 = ^m / _n con m, n, senza divisori comuni.

5 * m² = 5m²m² - 5m² m² è divisibile per 5, quindi m è divisibile per 5 (con m = 5q con q intero)

5q² * m² = 5m² m² è divisibile per 5, quindi m è divisibile per 5m = 5q

Ragionamento

x₀ = ¹ / ₂ (x₀ + ⁵ / _x0)

x₁ = 1/2 ( x₄ + x₀)x₂ - 3

x₀, x₁, x₂ - successione

andare vicino ad un numero reale

LIMITI DI SUCCESSIONI

successione -> Funzione di variabile naturale n

x₁ -> x₁ / 3 -> x₃ n->x_n -> numero reale

2 -> x₂ 4 -> x₄

l ∈ ℝ diremo che x_n ha limite l per n che tende A +∞ e scriveremo

quando per ogni ε > 0 esiste n naturale n_ε tale che l-ε < x_n < l+ε

per ogni n>n_ε

∀ε>0 ∃n_ε∈ℕ ∀n∈Ε·x_n∈(l-ε,l+ε)

una successione si dice crescente se x_n < x_n+1 ∀n

una successione si dice decrescente se x_n ≥ x_n+1 ∀n

TEOREMA

Se x