Matematica 1 - Modulo Guida generale

1.8.2 DEFINIZIONE NELL’ASSE DELLE ASCISSE LA POSIZIONE DELLA DERIVATA PRIMA

 Basta sostituire ad X il valore delle radici per avere il valore anche di Y; trovare i punti di flesso

 Segnarlo nel grafico;

2 INTEGRALI

2.1 REGOLE

2.1.1 DEFINIZIONI

L’integrale di una funzione è pari all’Integrale della derivata prima della funzione data;

2.1.2 VERIFICA

Al termine della funzione possiamo Derivare l’integrale ottenuto per poter ottenere la funzione integranda come da

definizione iniziale

() = ′()

Esempio

)

= tan( +

1+

2.1.3 INTEGRAZIONE PER SOSTITUZIONE PAG . 11 INTEGRALI REGOLE

INTEGRALI

La formula di integrazione per sostituzione è una tecnica utilizzata per trasformare un integrale in una forma più

semplice tramite un cambio di variabile. La formula base per l'integrazione per sostituzione è

()

()

() = ()

∫ ∫

()

ℎ

Esempio 1

(1 + )

Step 1: Verifico che la funzione sia integrabile e continua nell’intervallo proposto o scelto

In questo caso, tra 1

≠ 0 < ( )

1 + ln > 0 → ln > −1 → = < 0

Step 2: Determino la variabile t o u

= √(1 + ln )

Step 3: traspongo gli estremi di derivazione secondo la variabile t

= √(1 + ln )

() = √(1 + ln ) = √1 + 3 = 2

() = √(1 + ln 1) = √1 + 0 = 1

Step 4: Isolo X rispetto a t

= 1 + ln → ln = − 1 → =

Step 4: Calcolo la derivata dx in t per ottenere dt

= → =

Step 5: traspongo la funzione nella variabile “t” e sostituisco le X con T e semplificare se possibile

1

∗ →

∗ PAG . 12 INTEGRALI REGOLE

INTEGRALI ( (

→ → ∗ ) − ∗ ) =

Step 6: verifica la coerenza , se argomento positivo risultato positivo per forza;

2.1.4 `INTEGRALE INDEFINITO

2.1.5 INTEGRAZIONI PER PARTI I.P.P.

= ∗ − ∗

FORMULA B = ∗ − ∗

∫

Sapendo che data una funzione P(x) * Q(x) si può decidere quale funzione integrare e quale derivare , QUINDI

decideremo se usare la formula A o B si avrà che

P(x) = può esservi assegnata f(x) o g(x)

Q(x) = può esservi assegnata f(x) o g(x)

2.1.5.1 STEP

a) DEFINIRE QUALE FUNZIONE INTEGRARE E QUALE DERIVARE

Dato l’integrale definito in un intervallo

() ()

Es. → () = () = sin

∫ PAG . 13 INTEGRALI REGOLE

INTEGRALI

Viste le regole sulle “MATEMATICA I – INTEGRALI “si è deciso di procedere come segue

Passo 1 Si sceglie la Formula definendo quale funzione vogliamo integrare e quale derivare e si calcolano

() =

() =

FORMULA = ∗− ∗ Discriminare la funzione su quale

funzione si applica la derivata

prima e quale integrale

FORMULA B = ∗ − ∗

∫

Passo 2 Si sceglie la Formula definendo quale funzione vogliamo integrare e quale derivare

Passo 3 Si riscrive l’integrare con i fattori calcolati

Passo 4 Si calcola la prima parte sull’intervallo scelto

dipende se Formula A o B

|

Passo 5 Si calcola la seconda parte sull’intervallo scelto

dipende se Formula A o B

− ∗

∫

Passo 6

Sommare i due fattori ricavati

Esempio

Data la Funzione = sin()

∫

Passo 1 Definizione Variabili e Calcolo Fattori

( )

() = = 2

() = () = − cos()

Passo 2 Definizione formula

Formula B ∗ − ∗

∫

Passo 3

− cos() ∗ 0 − − cos() 2 = − cos() ∗ 0 + cos() 2 =

2 2

Passo 4 calcolo prima parte

F(b) parte Sinistra = − cos ∗ − − cos(0) ∗ = −0 ∗ −0= PAG . 14 INTEGRALI REGOLE

CALOLO DEI LIMITI

Passo 5 calcolo l’integrale della seconda parte rifacendo i passaggi

F(a) parte Destra =

Applico Formula A

=

∗ − ∗ sin() ∗ 2 0 − sin() 2 = sin(x) ∗ 2x 0 − 2 sin() =

∫ ∫ ∫

sin(x)

=

()

= 2

sin(x) ∗ 2x 0−2 sin() = −

2

sin(x) ∗ 2x 0 = sin ∗2 − sin(0) ∗ 2(0) = 1 ∗ − 0 =

2 2 2

(0

2 sin() = 2 ∗ (−cos − cos(0)) = 2 ∗ − 1) = −

2

Passo 6

+ −

3 CALOLO DEI LIMITI

L'analisi dei limiti è una tecnica matematica essenziale per determinare il comportamento di una funzione quando una

variabile si avvicina a un certo valore, inclusi gli estremi come zero o infinito. Questo concetto è cruciale per definire la

continuità, la derivabilità e l'integrabilità delle funzioni matematiche.

3.1 SOSTITUZIONE DIRETTA

Descrizione: La tecnica più semplice e diretta, consiste nel sostituire il valore al quale la variabile tende

direttamente nella funzione. Applicazione: Funziona bene quando la funzione è continua nel punto di

interesse e non ci sono forme indeterminate.

f(x) (3x−2x)

limx→2 nella funzione. 3^2−2^2=9−4=5

Applicazione: Sostituisci direttamente =2

3.2 FATTORIZZAZIONE

3.2.1 FATTORIZZAZIONE CON POTENZE CON RISULTATO INDEFINITO.

Esempio 01

Implica la fattorizzazione di polinomi per eliminare le discontinuità eliminabili.

PAG . 15 CALOLO DEI LIMITI Sostituzione Diretta

CALOLO DEI LIMITI

3.2.2 FATTORIZZAZIONE CON ESPONENTI CON RISULTATO INDEFINITO.

Esempio 01

Punti Critici:

a) volendo fattorizzare, dobbiamo ricavare la costante 8 al numeratore.

2^x = 8 * 2^x-3 perché’ 8 si può scrivere 2^3 e dunque per la proprietà delle potenze 2^3* 2^x-3 = Base

uguale , si sommano gli esponenti, quindi 2^3-3+x = 2^x

b) Dopo aver fattorizzato si applica Hospital, quindi deriviamo Numeratore e Denominatore, e non la costante.

(vedi regola del Prodotto Costante)

c) Si applica il limite e si determina il nuovo risultato che non dara’ piu un valore Indefinito

3.2.3 FATTORIZZAZIONE + HOPITAL IN PRESENZA DI LOGARITMI CON RISULTATO INDETERMINATO

PAG . 16 CALOLO DEI LIMITI Fattorizzazione

CALOLO DEI LIMITI

3.3 RAZIONALIZZAZIONE

Descrizione: Utilizza la moltiplicazione per il coniugato per eliminare radicali dai denominatori o

dai numeratori. Applicazione: Efficace per funzioni che contengono radici quadrate o altre

radici, specialmente quando si affrontano limiti che coinvolgono l'infinito o zero.

3.3.1 RAZIONALIZZAZIONE DI FUNZIONI CON RADICI PAG . 17 CALOLO DEI LIMITI Razionalizzazione

CALOLO DEI LIMITI

3.4 REGOLA DI L'HOPITAL 0/0

Descrizione: Utilizzata per risolvere limiti che risultano in forme indeterminate come o

∞ / ∞ derivando numeratore e denominatore separatamente. Applicazione: Applicabile

quando le funzioni nel numeratore e nel denominatore sono differenziabili.

+ 00 infinito

3.5 ESPANSIONI ASINTOTICHE – ESPANSIONI DI TAYLOR E SERIE DI MACLAURIN

Descrizione: Simile alle serie di Taylor ma include termini che possono essere validi all'infinito.

Applicazione: Utile per analizzare il comportamento asintotico delle funzioni quando tende

x

all'infinito

● Numeratore e Denominatore devono avere lo stesso grado, viceversa eseguire la regola

de l-Hopital PAG . 18 CALOLO DEI LIMITI Regola di L'Hopital

CALOLO DEI LIMITI

PAG . 19 CALOLO DEI LIMITI Espansioni Asintotiche – Espansioni di Taylor e Serie di Maclaurin

CALOLO DEI LIMITI

Espansioni all’Infinito

PAG . 20 CALOLO DEI LIMITI Espansioni Asintotiche – Espansioni di Taylor e Serie di Maclaurin

CALOLO DEI LIMITI

3.6 SERIE DI TAYLOR

Descrizione: Approssima la funzione vicino a un punto di interesse usando polinomi.

Applicazione: Utile per analizzare il comportamento locale di funzioni complesse e per

x

trattare limiti in cui si avvicina a un valore finito. (−)(x−a)

La serie di Taylor è un'approssimazione di una funzione attraverso una serie di potenze di , dove

a è il punto attorno al quale la serie è centrata. Questa serie è molto utilizzata per espandere

3.7 SERIE DI MCLAURIN =0a=0

Un caso speciale della serie di Taylor è la serie di Maclaurin, che è centrata in . Questa serie

x

utilizza le potenze di stesse per approssimare la funzione.

3.8 SOSTITUZIONE DIRETTA DI VARIABILI

Descrizione: Sostituire una parte della funzione con una nuova variabile per semplificare il

calcolo del limite. Applicazione: Particolarmente utile in limiti che coinvolgono funzioni

trigonometriche o esponenziali complesse.

3.9 GRAFICI E ANALISI NUMERICA

Descrizione: Uso di strumenti grafici o numerici per stimare il limite. Applicazione: Utile

quando i metodi analitici sono troppo complessi o la funzione è definita in modo implicito

o esperimentale.

3.10 ANALISI DI COMPORTAMENTO DOMINANTE E LIMITI NOTEVOLI

Descrizione: Identifica i termini dominanti nella funzione che influenzano maggiormente il

limite. Applicazione: Utile per funzioni complesse dove determinati termini predominano

mentre altri possono essere trascurati.