Limiti di successione

OSS:

Una successione può essere definita per n ≥ n₀, per qualche n₀ ∈ N

Per esempio a_n = ¹/_{n² - 4} n ≥ 3

n ≠ 2

oppure

a_n = ln (n² - 10)

n² > 10 ⇒ n ≥ 4

Definizione:

Diciamo che una successione (a_n) soddisfa una proprietà P definitivamente se i termini a_n soddisfano P da un certo indice in poi, ossia esiste m ∈ N t.c. a_n soddisfa P per ogni n ≥ m

ES:

a_n = n² - 100 n n ∈ N

(a_n) è una successione positiva definitivamente

Infatti

a_n > 0 (⇒) n² - 100 n > 0

n (n - 100) > 0

n > 100 (⇒) n > 101

Possiamo riformulare le definizioni di limite (finito o infinito) usando l'avverbio definitivamente:

1. lim m → ∞ a = l , l ∈ ℝ ⇄ ∀ ε > 0 ⇔ ∀ Ō > 0

   • a m ≤ l − < ε ⇔

   • a m < 0 > 0 ⇔

2. lim m → + ∞ a = ⇄ ∀ Ō > 0 ⇔ ∀ a m ∞ →

3. lim m → − ∞ a = ⇄ ∀ Ō > 0 ⇔ ∀ a m < 0

La disuguaglianza _am < L + ε è vera ∀_m∈ℕ

in quanto, per (i):

∀_m∈ℕ _am < L < L + ε

Per (ii), ∃ _m̅ ∈ ℕ t.c. L - ε < _am̅

Dato che (_am) è crescente, per ogni m ≥ _m̅

_am > _am̅

In conclusione, unendo ● e ●● abbiamo che ∀ n ≥ _m̅

_am > L - ε

(pr. transitiva)

Supponiamo ora (_am) crescente e (_am) illimitata superiormente. Quindi dobbiamo provare che

lim _am = +∞

ossia ∀ M > 0 _am > M definitivamente.

Se M > 0 allora M non è maggiorante di {_am | m ∈ ℕ}, ossia esiste _m̅ ∈ ℕ t.c.

_am̅ > M

il prodotto tra due successioni infinite è ancora una succ. infinita e il segno si ottiene con la regola del prodotto dei segni.

Sono classificate forme di indecisione i seguenti casi:

• +∞ - ∞
• 0 . ∞
• 0/0 ; ∞/∞

Esempio:

lim_n→∞ (n² - n + 1) = +∞ - ∞

(n² + 1) - n

∞ - ∞

questa strada non va bene; quindi dobbiamo cambiare metodo

n² - n + 1 = (n²) (1 - 1/n + 1/n²) → +∞

+∞ ⟶ 1 ⟶ 0

1 ⟵ 0

1