Lezioni, Meccanica applicata alle macchine

La regola del Grashof

Le regole del Grashof servono a stabilire la classe di appartenenza di un assegnato quadrilatero articolato a tre possibili tipologie:

• Manovella-bilanciere
• Doppia manovella
• Doppio bilanciere

R_l asta 1 è la più corta, a₁ ne indica la lunghezza. L'asta 4 è la più lunga, a_l ne indica la lunghezza. Le aste 2 e 3 sono di lunghezza intermedia, a₂ e a₃ ne indicano le lunghezze.

La regola del Grashof

La regola del Grashof serve a stabilire la classe di appartenenza di un assegnato quadrilatero articolato a tre possibili tipologie:

• Manovella - bilanciere
• Doppia manovella
• Doppio bilanciere

R₁ arte 1 è la più corta, a₂ ne indica la lunghezza. L'arte 4 è la più lunga, a_n ne indica la lunghezza. Le arte 2 e 3 sono di lunghezza intermedia, a₂ e a₃ ne indicano la lunghezza.

Romboide articolato

Quando un quadrilatero articolato presenta le aste contigue a due a due della stessa lunghezza si parla di romboide articolato. Questo è un quadrilatero particolare in quanto, nella configurazione C, si trova in uno stato critico in cui il sistema è detto degenerate, in quanto si presenta il problema dell’indecidibilità del moto nella configurazione appena successiva (è possibile rovesciare sia in una configurazione di tipo a che di tipo a’).

In figura è mostrata una possibile soluzione al problema dell’indecidibilità del moto; infatti nel momento in cui il sistema si trova nella configurazione critica, l’asta EAB è costretta a ruotare intorno a D. Il meccanismo porta in un istante successivo ad una configurazione di tipo a, e non di tipo a’ (la quale viene evitata con un rotatore dell’asta EAB intorno ad A_o e questo è impedito da D).

Calcolare il numero di gradi di libertà dell'inversore di Peaucellier con le formule di Gruebler e Kutzbach

Formula di Gruebler (nel piano):
F = λ(e-1) - Σ_i=1^j(n-f_i)

Formula di Kutzbach:
F = λ(e-j-1) + Σ_i=1^jf_i

• e = 8
• j₂ = 10
• j₂ = 0
• λ = 3 (piano)

Gruebler: F = 3 (8-1) - 2·10 = 1

Kutzbach: F = 3 (8-10-1) + 10·(1) = 1

Analisi cinematica col metodo delle equazioni di vincolo

Considerando un inversore di Peaucellier, determinare il vettore {Q} e il vettore {Ψ(q)}:

F=1
m=3
p=2

{q} = {_{θ2 θ3 θ4}} = {_{u3 u3}} = {_{θ3 θ4 θ2}}

{Ψ(q)} = {a cosθ₃ - b cosθ₄ + c cosθ₂ + c cosθ₁ = 0
a senθ₃ - b senθ₄ + c senθ₂ - c senθ₁ = 0}

[[γ_u]][[γ_q]] = [[Ψ_q]] =
[ [-a cosθ₃, b senθ₄, -c senθ₂]
[ a cosθ₃, -b cosθ₄, c cosθ₂]]

Inversore di Hart

Gruebler: F = 3 (6-1) - 7 · 2 = 1

Kutzbach: F = 3 (6-2-1) + 7 = 1

Applicazione del teorema dei d'Alembert al calcolo dei gradi di libertà

Forze critiche permanenti ed istantanee. Per un meccanismo generico è possibile, in generale, stabilire m coordinate in grado di identificare univocamente la configurazione di tali meccanismi. Se p possono essere assegnate arbitrariamente, quindi p = m - F sono dipendenti dalle scelte effettuate.

Si imposta quindi un sistema di p equazioni di vincolo nelle m coordinate:

ψ₁(q₁, q₂, ..., q_n) = 0
...
ψ_p(q₁, q₂, ..., q_n) = 0
⇔ {ψ(q)} = 0

Una verifica fondamentale, ai fini della configurazione, consiste nell'accertarsi dell'indipendenza delle equazioni di vincolo. A tal proposito, la matrice jacobiana del vettore delle funzioni di vincolo deve essere piena.

[ψ_q] = ∂ψ₁/∂q₁...∂ψ₁/∂q_n ∂ψ_p/∂q₁...∂ψ_p/∂q_n p x m

Se scegliamo F coordinate indipendenti, possiamo partizionare il vettore delle coordinate {q_i} in coordinate indipendenti {v_j} e dipendenti {u_j}:

{q}^T = {v}^T {u}^T ⇒ {ψ(q)} = {ψ(v | u)} = 0 ⇒ [ψ_q] = [ψ_v]