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O
+ Scritto
quanto Sopra
X x
26 a
000
+ uniassiale
Caso
E
O O 260
O O Ese
O O
O
O 26
O 26
O
O 00
O
S Le due costanti elastiche devono essere positive e non
G E
= divergenti. Per essere positive deve risultare:
v)
2(1 Costant e
+ E
1 o
>
1 VE G
2
= 0
>
v)
(1 2w)
G 1
3 + r
+ 1
V)
> =
- -
4 * V1
07 253 =
1
> -
1 2w
L’energia e quindi il potenziale elastico è una quantità che misura il lavoro che bisogna fare per
-
deformare un corpo solido, per cui essa deve essere definita positiva. Sé essa avesse segno
negativo significherebbe che per deformare una molla si acquisterebbe lavoro cosa non
possibile fe +
> 0
EECE ofe + 0
> 2
↳
i 0 0
=
=
Nota :
Quando la variazione volumetrica del corpo è nulla; il corpo è incomprimibile
W 5
0
= ,
Per esempio la deformazione plastica è una deformazione isocora cioè la deformazione
volumetrica è nulla
14/04/25
Considerando un corpo che non sia una trave, ossia un corpo non mono dimensionale, come lo
si tratta? La trattazione di questa tipologia di corpi si rifà a quelli che sono studi approssimati,
ossia ad una discretizzazione data da una suddivisione in piccoli pezzi algebrici per creare una
soluzione, poiché le equazioni finite non sono qui risolvibili a mano.
Inizialmente la maggior parte delle strutture complesse derivava dall’utilizzo esclusivo di travi,
poiché il modello concettuale era il modello teorico di trave. Successivamente si sono introdotti i
metodi di approssimazione.
Sappiamo quindi che i corpi godono del legame costitutivo, ossia è presente la parte dí
accoppiamento tra tensione e deformazione. Se l’accoppiamento è dovuto ad un potenziale
allora è caratterizzato da un contenuto energetico. Pertanto nel campo elastico il legame
tensione deformazione è caratterizzato da un’equazione che ci dà un certo potenziale
(potenziale della deformazione) che rappresenta l’energia elastica accumulata all’interno del
corpo quando viene deformato. Per cui avrò:
Sw(E)du w(E r)
= , E di
funzione di u
e
a
Energia Elastica
Il potenziale elastico si accoppia anche ad un altro potenziale definito potenziale dei carichi esterni
[b /bds ,
P
dv
. + = Potenziale dei carichi esterni
>
Se definiamo l’energia potenziale totale ,sulla struttura, la quantità :
( w()dv-)b
N dv-)
Ed in
= .
funzione della configurazione
fEeu7π
Se a partire da una configurazione equilibrata facciamo variare l’energia potenziale totale avremo:
π(u (2)
Su E +
+
it
di
variazione ,
A questo punto sostituendo in avrò:
l
(E)du E)
(b(u (f(u
(w(E fu) S)ds T(f
+ + =
+ -
- - ,
H diventa matrice
>
-
E
w(E) +
u : l'equilibrio
DbEidv-bibuidr-) per
>
) -
= Pisoid e
JB
wun
j Lavoro virtuale
Lavoro Virtuale Esterno
Interno
Per cui nel caso in cui si ha una condizione equilibrata la variazione di energia potenziale totale
coincide con il lavoro virtuale ed è quindi nulla. Ciò significa che l’energia potenziale totale in
configurazione equilibrata è stazionaria, cioè essa ha un punto di stazionarietà quale un minimo
o un massimo o un flesso con tangente orizzontale
L’energia potenziale totale è qualcosa la cui stazionarietà è condizione necessaria e sufficiente di
equilibrio
Potenziale complementare d) E)
A cosa è uguale il differenziale del prodotto E ?
:
d(Gij Eij) dijEij
Vedendoli come sigma ed epsilon avrò: Gijdij
= +
,
-
differenziale differenziale differenziale del
della funzione potenziale elastico
E(b) dw(E)
Ciò significa che su un diagramma ho:
da POTENZIALE
>
- COMPLEMENTARE
5
521 Se il materiale è linearmente elastico
. du
dut Ed i due potenziali coincidono
= - Pote
Gr E V
Ese finali della
Es trasformazione
-A
del
Area triangolo 15fE
y w
57 =
Wa 12 f5f
wa =
Area del
-
w
↓ Triangolo Vv
Ef valori
I
di
nel materiale
caso numerici
Legge cancidono
linearmente elastico
Per cui avendo introdotto il potenziale complementare posso scrivere:
#costament
Energia complementare totale
,
Considero il lavoro esterno dei carichi invece che come funzione degli spostamenti, in funzione
delle forze applicate.
Se considero poi una variazione di energia complementare avrò:
dic ) Gubij-(Sbudv-Spud PRINCIPIO FORZE VIRTATO
= O
=
V
è uguale corrispondenza
o in
a
Se trovo che è calcolato su tutte le configurazioni
Ic compatibile
della configurazione
congruenti quindi su tutti i sistemi di forze interne (Congruenti
cinematicamente
congruenti, l’energia completare è stazionaria
La stazionarietà dell’energia complementare è condizione di congruenza della configurazione
infinitesima, contrariamente la stazionarietà dell’energia potenziale totale è condizione di
equilibrio
La configurazione può anche non essere infinitesima poiché ciò che conta è che delta sia
infinitesimo
I potenziali possono non essere lineari, cioè possono non essere di secondo grado, per cui il
materiale può anche non essere lineare, i principi di stazionarietà valgono ugualmente. Ciò
significa che i potenziali non sono influenzati dalla linearità elastica
Esempio (in grandi spostamenti) Consideriamo una trave rigida vincolata
con una cerniera che è cedevole con una
ruota verso
in ricevendo
antiorario è
Sulla trave opposto molla, ciò vuol dire che la flangia di
momento
un rotazione
di
al segno
antiorario della L
momento attacco è soffice. L’asta è così rigida che
↑ Fe
concorde
molla come
a
>
- molla
la
ruota flette poco però quando la molla ruota
-
M a
(
19 spostamento nasce una coppia di reazione che è
orizzontale
- proporzionale all’angolo di rotazione
↓ *
↳ ke I
CA
m m cos4a)
(1
=
= w
- - = -
↑
energia ↳ proiezione
molla elastica l'asta inclinata
di
momento
sulla Unica parte
che
reazione
Si
positiva appone concentriamo
ma
a l'elasticità elasticità discreta
di
punto modello
un
in -
è positiva
sempre
> . Allo modo dividere
stesso trave
potrei vera
una
~ tanti deformabili elasticamente
Posso calcolare l’energia potenziale totale? Devo immaginare una in pezzi deformata
la la
considerare comme
e
configurazione di equilibrio ossia quella rettilinea. Tuttavia quella di
Somma spezzata
una punto
cui in
in ogni
C'è la di
concentrazione deformazione
trave può avere qualsiasi configurazione di equilibrio caratterizzata
da un angolo . Per cui in una generica posizione l’energia di
C & *
celle discrete
deformazione sarà: rigidezza AM -C
1 =
cose) passo
FL(1
I ↓
= -
- un Al limite AL -o questa
per
1F I
w tende
= . alla
un trave
delle vera
lavoro
2 esterne
Forze
parte Simulo sistema continuo
un
Interna
Se la trave è indeformabile, quindi l’asta è rigida, questa forma un arco di circonferenza di centro A. è il parametro
Ca
che governa la deformata. Sé questa cosa deve essere stazionaria, poiché sto trattando un problema algebrico
basta fare la derivata e porla uguale a zero e quindi si avrà:
= Per di stazionarietà
il punto
a basta nulla
derivata
che sia
ci
KA-FLSinCa
Esplicitando avremo: Legge
0 = =
F
= A Carc e
Spostamenti
La legge carichi spostamenti graficamente è:
di
punti max Se è uguale a zero in , l’equazione
↑ Pa 1
hanno
F equilibrio
>
# -
A diverso dal ammette come soluzione qualunque F. La
↳ braccio
# >L
⑧ O A
centrale trave resta quindi rettilinea ossia in equilibrio
per ogni F
F(kL
Punt
⑧ X PA fF
Ca
di 0 =
min =
, >
dell'energia Contrariamente se la trave è inclinata è in equilibrio
potenziale solo per qualche F particolare
Totale
• Per F<KL è possibile solo l’equilibrio rettilineo
• Per F>KL sono possibili tre configurazioni equilibrate soluzione
> non unica
-
Lo vediamo facendo la derivata seconda:
* 324 FLcoSCA
k
= -
60FC 324cèmin
F(k)
- = 6
=
= -
0 = c'è max
=
=(k)
2
Considerando invece la derivata seconda in kCa/esinCa
F = a)
k(1
= lkCA -
-FL k
A 1
co =
-
= . tgYa
&
RCA
F = esimCa
la braccia
sulle
calcolo
del *
grafico
Dov’è che la derivata seconda positiva implica il minimo dell’energia? Dov’è che l’energia è
minima? /1-)
quando Egla-la
> o no
- E tgYAL Ca Ca 0
>
talal la Caco
V
Tutti i punti dell’equilibrio inclinato ?
Come la risolvo
hanno un minimo dell’energia. delle ?
due
quale ~
L’energia è minima su tutti gli equilibri 40 4 nell'origine la Ca
tan di
=
variati, mentre sull’equilibrio rettilineo ha
-f coefficiente 1
e
per =
cul 4
l’energia è minima solo per F<Kl. Per tan alla funz
2 tan
en .
F>KL l’energia in configurazione la
nell'origine quindi
disuguaglianza -
rettilinea è massima e
Soddisfatta fe
Quando l’energia di un sistema è massima il punto di equilibrio non può essere stabile ma è
instabile.
In questa struttura quando la trave è rettilinea è stabile solo la configurazione con F<KL. Mentre
per quelle maggiori è instabile.
La configurazione rettilinea è quella che si trova nelle ipotesi di piccoli spostamenti. La
configurazione deviata si vede solo se superiamo i picc
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