Istituzioni di economia

X

scala di rilevazione.

Media dei dati aggregati:

Media dei dati disaggregati:

Informazione statistica: ordine di grandezza medio

con cui parla il fenomeno & stessa unità di misura

di X su U

Se è quantitativo continuo (x : x –| x ) e le sue modalità sono intervalli (insieme di numeri), la media è in genere

X i l L

calcolata con l’ipotesi del valore centrale x *.

i

Cos’è il valore centrale? Somma degli estremi, inferiore e superiore, diviso 2.

x *:

i

25,49 = Km che in media vengono percorsi calcolati su

dati raggruppati.



x * • p x centrale per frequenze relative

i i

VALORE MEDIO

•unico valore sintetico (indicatore statistico)

•evidenzia un particolare aspetto (medio) del

comportamento di X su U 

• MODA, MEDIANA, MEDIA quale scegliere?

X : moda

0

X : mediana

0,5

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valori medi più robusti

X X :

0, 0,5 info complementari

X X :

0, 0,5

Proprietà di :

 non è tipica della media aritmetica. Deve essere compreso tra il valore più piccolo e il valore più

Internalità:

grande presi in considerazione .

 non è tipica delle media aritmetica ma che la moda e la mediana non hanno

Associatività: 16

 tipica della media aritmetica

Equidistribuzione/ mantenimento del TOT:

 tipica della media aritmetica

Annullamento degli scarti (ponderati): 

sostituendo ai dati veri la media si

Mantenimento:

mantiene il parametro descrittivo.

Proprietà di equi distribuzione/mantenimento :

Solo

Proprietà associativa:

Comune a molte altre medie ( ma nom

xo e x0,5)

La media delle medie parziali

ponderata con la numerosità dei

gruppi riproduce

Popolazione stratificata, sotto

popolazioni, ciascuna con la sua

numerosità.

Sommando le numerosità si riproduce

la della popolazione

numerosità

d’interesse.

CAPITOLO 6:

Approfondimenti sui valori

medi

Tre sono i criteri più noti che possono guidare nella scelta e nella costruzione del valore medio opportuno per

sintetizzare un v.s. quando X è quantitativo.

1. si sceglie il valore medio di sintesi in base alle proprietà statistico-matematiche di cui esso

Proprietà formali:

gode.

2. sappiamo che sintetizzando la v.s. in un unico valore medio si incorre in una perdita di

Ottimizzazione:

informazioni. Quando è possibile esprimere tale perdita con un’opportuna -per intenderci, una

funzione dei dati

formula contenente le – si può scegliere il valore medio che rende minima tale funzione, cioè il più piccolo

possibile. Seguendo questo criterio, si minimizza la perdita di informazioni, ovvero si ottimizza il valore medio.

3. Tra le informazioni che vanno perdute nel passaggio dalla v.s. al valore medio può sussistere un

Invariante:

particolare aspetto di X che è importante mantenere inalterato nella sintesi. Si esprime allora tale aspetto con una

funzione dei dati (una formula) e si sceglie il valore medio che sintetizza la v.s. lasciando invariata tale funzione.

Il valore medio costruito secondo questo criterio è detto media alla Chisini.

Le proprietà della media aritmetica:

Se ciò che interessa il valore medio di sintesi sono le suo proprietà algebrico-matematiche, si deve scegliere la media

in un insieme chiamato classe delle Tale serie di proprietà è di particolare interesse per la sintesi

medie di potenza.

statistica di un fenomeno quantitativo. La media aritmetica appartiene a questa classe, mentre moda, mediana e

percentili no.

La ragione per cui la media aritmetica è il valore medio di sintesi più utilizzato è che gode di molte proprietà utili: 17

1. Il valore della media aritmetica è sempre compreso fra la più piccola e la più grande

Proprietà di internalità:

delle modalità osservate di X. In formula

2. Se X e Y sono due fenomeni diversi ma collegati fra loro dalla formula , dove è un

Proprietà di omogeneità:

qualche numero (costante) diverso da 0, si dice che Y è una di X; la media aritmetica di Y

trasformazione di scala

si ottiene dalla media aritmetica di X con la stessa identica trasformazione, cioè

Quando U è molto numerosa (N è un numero grande) è pratica sensata utilizzare dati anziché dati

aggregati

individuali. Formalmente, si tratta di considerare U di numerosità N, suddivisa in un certo numero, diciamo h, di

sottopopolazioni ciascuna di numerosità con e . Quello che ci interessa è sempre la media aritmetica (generale) di X

sull’intera U. Non disponiamo però dei dati individuali ma solo dei dati aggregati, cioè le medie nelle

sottopopolazioni.

Come si può calcolare la media senza i dati (individuali). Non si deve rinunciare perché la media aritmetica è

associativa.

3. la media (generale) di X su U è sempre raggiungibile dai dati aggregati (sulle

Proprietà associativa:

sottopopolazioni ), basta calcolare la media delle medie delle sottopopolazioni. Si tratta di usare le medie parziali

al posto delle modalità e le numerosità parziali al posto delle frequenze . In formule:

4. Se X e Y sono due fenomeni diversi ma legati dalla formula con a e b numeri reali

Proprietà di linearità:

qualunque e b diverso da 0, si dice che Y è una di X. La media aritmetica di Y si ottiene

trasformazione lineare

dalla media aritmetica di X con la stessa identica trasformazione, cioè . Questa proprietà è detta la

linearità:

media aritmetica è lineare.

Definizione scarti o deviazioni: Le differenze sono dette dalla media aritmetica. Se poi si tiene

scarti o deviazioni

conto del fatto che il valore è presente su U con frequenza , si ha lo scarto ponderato.

Quando lo scarto è positivo si dice che è un valore Quando invece lo scarto è negativo si dice che è

sopra-media.

sotto-media.

5. I valori sopra e sotto-media si compensano, cioè si sommano tutti i k

Proprietà di annullamento degli scarti:

scarti ponderati si ottiene (sempre!) 0. Questa proprietà è detta annullamento degli scarti e vale solo per la media

aritmetica. In formule: .

Il fatto che solo la media aritmetica annulli la somma degli scarti ponderati, compensi i valori sopra- e sotto-media,

conferisce alla media aritmetica il ruolo di della v.s. e in questo senso ne rappresenta una sintesi della

baricentro

tendenza centrale.

6. La somma di tutti i valori di X su tutte le N unità

Proprietà di mantenimento e di equidistribuzione del totale:

osservate prende il nome di di X. In formule: .

totale

Dividendo il totale di X per N si ottiene la media aritmetica di X. Il totale di X è anche dato dalla media moltiplicata

per N che, a sua volta, è la somma delle frequenze . In formule:

Questa formula definisca un’altra proprietà esclusiva della media, che ammette una doppia chiave di lettura.

1. L’analisi si concentra sul primo e ultimo termine della formula. Se ai valori osservati sostituiamo la media

aritmetica che li sintetizza tutti, il totale di X non cambia. Allora la media aritmetica mantiene inalterato il

totale. 18

2. Analisi dei primi due termini della formula. Se il totale di X fosse diviso in parti uguali fra le N unità di U, a

ciascuna unità toccherebbe una quota di totale parti a . Allora la media aritmetica di X

equidistribuisce il totale

sulle N unità di U

CAPITOLO 7: Variabilità

In questo capitolo verranno considerati solo i fenomeni quantitativi (discreti e continui), cioè quelli che generano

variabili statistiche completamente numeriche e che sono sintetizzabili con la media aritmetica.

Nell’immaginario popolare la Statistica è spesso

associata alla famosa poesia di Trilussa:

…te tocca un pollo all' anno:

e, se nun entra ne le spese tue,

t'entra ne la statistica lo stesso

perche' c'e' un antro che ne magna due.

U N X : quantitativo

 il comportamento di X su U

Descrivere

 Associare a

 Sinonimi: dispersione, spread

 Def: Tendenza a di X a manifestarsi su U con valori molteplici e differenti. Al crescere della

variare

variabilità serve sempre più statistica.

 Variabilità = scopo della Statistica. Complessità che va affrontata statisticamente

Infatti, la media aritmetica fra 0 (polli mangiati dal protagonista della poesia) e 2 (polli mangiati dall’ antro) è proprio

1 (1 pollo a testa).

Nella situazione descritta la media aritmetica svolge molto male il suo lavoro di valore medio di sintesi, poiché da

Trilussa, non essendo uno statistico, si è fermato alla media aritmetica. Con

un’indicazione contraria alla realtà.

strumenti statistici più opportuni, anche una situazione difficile come quella della poesia può essere descritta più

correttamente. 

Vedi es. a pag. 83. in concreto, i valori di sintesi con maggiore capacità descrittiva sono:

 La mediana

 La frequenza cumulata relativa della modalità 0

 La moda con frequenza relativa.

Che cosa rende difficile la sintesi di una siffatta variabile statistica e la descrizione del comportamento di X su U?

Qual è l’aspetto caratteristico di questa U che non riesce a cogliere? Si tratta della che

variabilità o dispersione di X,

è l’attitudine di un fenomeno quantitativo a manifestarsi, sulle N unità di U, con modalità fra loro diverse e distanti.

La situazione della poesia è di X manifesta solo due modalità fra loro massimamente distanti,

massima variabilità;

ossia niente e tutto. 19

La variabilità (accanto alla numerosità) è ciò che rende necessario il ricorso alla strumentazione statistica per l’analisi

e la comprensione del comportamento del fenomeno su U. È di fatto ciò che si cerca di descrivere e spiegare

statisticamente. La variabilità di X quantitativo è quindi un aspetto essenziale nella descrizione statistica del suo

comportamento su U, che però necessita il supporto di misura e analisi della variabilità.

La misura (assoluta) della variabilità di X (su U) è un indice sintetico calcolato sulla v.s. con le seguenti caratteristiche.

Proprietà di un indice di variabilità:

 Assume valore 0 in cioè nella situazione limite in cui X si manifesta sulle N unità di U con

assenza di variabilit&agra