Gravitazione

GRAVITAZIONE

4 interazioni fondamentali:

• gravitazionale
• elettromagnetica
• nucleare forte
• nucleare debole

FORZE CENTRALI

Forze centrali: forze per le quali, in qualsiasi punto, la direzione passa per un punto fisso (centro della forza) e il modulo è funzione soltanto della distanza.

In un campo di forze centrali il momento della forza rispetto al centro è ovunque nullo (r e F paralleli).

L è sempre ortogonale al piano contenente r e v. L costante significa che questo piano è fisso.

moto curvilineo piano:

L = mrʋ₀ = mr² ^dθ/_dt

dA/_dt = ½ r² ^dθ/_dt = ^L/_2m

costante

se la traiettoria e' chiusa:

T = ^2m/_L A

con ^r/_r

ʋ_r = ^dr/_dt ʋ_θ = r ^dθ/_dt

^d/_t = ^d/_mʋ⃗° = r⃗ × F⃗ × m (^⃗r⃗/_r + ʋ⃗°) = r⃗ × mʋ⃗°

r⃗/_r

L = mrʋ₀ = mr² ^dθ/_dt

costante costante

dA = ½ r dθ = ½ r² dθ

^dA/_dt velocita' areale = ½ r² ^dθ/_dt = ^L/_rmm → costante

se dA = cost.

^A/_T = cost.

→ ^L/_rmm

velocita' areale costante ^dA/_dt = cost. → arce uguali in tempi uguali!

t₁ t₂ (t₁ + t₂ : r vettore)

s₁ > s₂

ʋ₁ > ʋ₂

E_K1 > E_K2

(E_P4 < E_P2)

(F centrali conservate)

F→ A

F→ accelerazione areale

W = ∫^B_A F⃗. ds⃗ = ∫^B_A F(r)ûr . ds⃗

W= ∫^B_A F(r) dr = ∫ f(rb) - ∫ f(ra)

Forze conservative

dw = F(r) ûr . ds⃗ - f(r) dr

Massa Inerziale e Massa Gravitazionale

Massa Gravitazionale (m_g) è la proprietà di un oggetto correlata alla forza gravitazionale che esercita o subisce.

Massa Inerziale (m_i) è quella quantità che rientra nella II legge di Newton ed è la costante di proporzionalità tra la forza e l'accelerazione.

Qual è la relazione tra queste due masse?

Consideriamo un oggetto in caduta libera, vicino alla superficie terrestre:

∑F = m_i a

F_g = γ m_g M_T / r_T²

m_i g = γ m_g M_T / r_T²

g = γ M_T / r_T² = cost.

con la nostra scelta di γ ossia γ = 6,673×10^-11 Nm²/kg²

questa costante c'era in a = 1 (verificata sperimentalmente)!

F_g = γ m_g M_T / r_T²   F = m_i a con a = g

a = M_T / r_T²

esempio

A partire dalla legge di gravitazione di Newton, ricavare la densità media della Terra e la variazione di g in funzione della distanza dalla superficie terrestre.

Ricordare che:

• raggio della Terra R_T = 6370 km
• γ = 6.673×10^-11 m³/(kg·s²)

F = m_g a = γ m_g M_g / r_T² M_g = g R_t²   M_T = ~6∙10²⁴ kg

ρ = m_QT = M_g / γ = 2g = _3g / 4π r_T³ = 5,5∙10³ kg/m³   5,5 g/cm³

g' = g R²(m) / (r_T