Fisica Generale: gravitazione

GRAVITAZIONE

Studia l'interazione tra corpi celesti tramite forza gravitazionale.

Forza centrale

A simmetria sferica

• Centrale → costante diretta verso un punto
• Simmetria sferica → modulo dipende solo dalla distanza r dal centro di forza.

Presa P costantemente rivolta a O.

F = Fû_r — dr = drû_r + r dû_r

Dimostro che Forza centrale a simmetria sferica è conservativo.

• Lavoro dipende solo da estremi del percorso

dℒ = F(r)û_r dr = F(r)û_r (drû_r + r dû_r)

• F(r)û_r drû_r —→ 1 cos0°=1
• F(r)û_r r dû_r —→ 1 cos90°=0

dℒ = F(r)û_r dr û_r = F(r) dr = -dE_pn

L

L_AB = ∫_A^B F(r) dr = Epot_A - Epot_B

• Forze centrali a simmetria sferica sono conservative.

Forza di attrazione gravitazionale

• Considero 2 masse gravitazionali (sorgente di interazione tra le 2 stesse masse)

û_r F m₂ m₁

F = -G m₁ m₂ / r² û_r

r distanza tra i due corpi

GRAVITAZIONE

Studia l'interazione tra corpi celesti tramite forza gravitazionale.

Forza centrale (a simmetria sferica)

• Centrale → costante diretto verso un punto
• Simmetria sferica → modulo dipende solo dalla distanza r dal centro di forza.

Prendo P costantemente rivolta a O.

• F = F û_r — dr = dr û_r + r dû_r

Dimostro che Forza centrale a simmetria sferica è conservativo.

• Lavoro dipende solo da estremi del percorso

• d = F(r) û_r ∙ dr = F(r) û_r ∙ (dr û_r + r dû_r)
• F(r) û_r ∙ dr û_r → 1 // cos0° = 1
• F(r) û_r ∙ r dû_r → 1 cos90° = 0
• d = F(r) û_r ∙ dr û_r = F(r) dr = - dE_p (energia potenziale)

• L_AB = ∫_A^B F(r) dr = E_pA - E_pB

→ Forze centrali a simmetria sferica sono conservative

Forza di attrazione gravitazionale

Considero 2 masse gravitazionali (sorgente di interazione tra le 2 stesse masse)

• F = - G m₁m₂ / r² û_r
• r distanza tra i due corpi

G = costante gravitazionale universale = 6,673 · 10^-11

Energia Potenziale Gravitazionale

Epota - Epotb = L_ab = ^B∫_A F r dr = ^B∫_A G ^m₁m₂/ₓ² dr =

= Gm₁m₂ ^B∫_A 1/ₓ² dr = Gm₁m₂ (1/r_B - 1/r_A)

Dimostrazione f. conservativa

Prendiamo Epot=0 se r → +∞ → corpi molto distanti tra loro → Forza gravitazionale non risente od oggetto. B → +∞ → Epot_B = 0

Epot_A = -G^m₁m₂/ₓ

Leggi di Keplero

• Sole e Pianeti sono schematizzati come punti materiali
• I legge: Le orbite descritte dai pianeti attorno al sole sono ellissi di cui il sole occupa uno dei due fuochi.

  Periodo di rivoluzione → tempo impiegato a percorrere un giro completo attorno al sole.

• II legge: Il raggio vettore che congiunge il centro del sole con il centro di ogni pianeta spazza aree proporzionali ai tempi impiegati a descriverle.

Aree uguali in tempi uguali → pianeta ha velocità diverse.

• III legge: I quadrati dei periodi di rivoluzione dei pianeti sono proporzionali ai cubi dei semiassi maggiori delle orbite ellittiche

T²/r³ = 4π²/Gm_s