Geometria delle aree

Momenti e geometria delle aree

Programma

• Geometria delle aree
• Teoria dei corpi deformabili, Cauchy (deformazione, tensione, criteri di resistenza)
• Problema di Saint-Venant

Geometria e aree

I momenti possono essere scritti come vettori non dipendenti dal sistema di riferimento. La posizione ortonormale è fondamentale per il calcolo del momento statico e del baricentro.

Per esempio, la posizione media del vettore sul dominio è una somma di posizioni, calcolata come integrale. Questo è essenziale per determinare il centroide di un'area rettangolare. La rotazione nel piano lineare richiede una matrice di applicazione definita per il tensore.

La scelta del tensore lineare prodotto è importante per la proiezione degli assi. La direzione e grandezza del vettore dipendono dalla posizione reciproca e dal tensore di inerzia, che distingue la massa in direzioni diverse.

Calcolo dell'inerzia

Le sezioni sottili sono spesso trascurabili nel calcolo, ma per ottenere risultati corretti, è importante considerare tutti i contributi. La massa e la distanza dalla seconda alla direzione ortogonale dell'asse influenzano il calcolo.

Gli autovalori di un tensore simmetrico sono fondamentali per lo studio del sistema di riferimento traslato o ruotato. Il teorema di Huygens sulla traslazione dell'origine cambia il momento d'inerzia, ma il sistema centrale non cambia le componenti.

Proiezione e componenti

• Calcolare le componenti di proiezione per ottenere nuovi valori
• Le componenti cambiano con il sistema di coordinate scelto
• La matrice simmetrica aiuta a determinare gli autovalori

L'inerzia massima e minima è determinata dai momenti principali del sistema baricentrico. La geometria delle aree e la teoria dei corpi deformabili sono fondamentali per comprendere il comportamento strutturale e la resistenza dei materiali.