Geometria delle aree

Tensioni tangenziali di taglio

ESAME 16/08/2016

A_TOT = (A₁ + A₂ + A₃ + A₄) x 2 = (6α + 8α + 9α + 6α) x 2 = 29 x 2 = 58α

A₁ = 6α   A₂ = 8α   A₃ = 9α   A₄ = 6α

S_{X TOT} = (S_{X 1} + S_{X 2} + S_{X 3} + S_{X 4}) x 2 = (18α² + 48α² + 94,5α² + 80α²) x 2 = 50,1α²

S_{X 1} = A₁ . 1/6y^1/2 6α . 3α = 18α²

S_{X 2} = 8α . 6α = 48α²

S_{X 3} = 9α . 10,5α = 94,5α²

S_{X C} = 6α . 15α = 90α²

Y_{C G} = S_{X TOT} / A_TOT = 50,1α² / 58α = 8,6α

Calcoli per il diagramma delle tensioni tangenziali:

TRATTO AB 0 ≤ X_C ≤ 6α

S_{X 1} = 8x . 1(8,6 - X_C) / 2

Y_AB - KS_{X 1} = -K [ x . (8,6α- X_C / 2)

Y_A = 0

Y_B = -K(6α[8,6 - 6α/2]) = -33,6α²K

TRATTO CB 0 < x₃ = 3a

τ_CB = k S_xg*

S_x3 = [...38 q_a² k * x₃ (6, q_a - x₃/2)]

* τ_CB =

τ_B = [...38 q_a²k]

τ_B = -k [-38 q_a²k + 3 q_a (6, q_a q_a/2)]] = +21,3 q_a² K

Tracciare il diagramma delle tensioni tangenziali per la seguente sezione

soggetta a uno sforzo di taglio ed un momento torcente.

Siccome si tratta di una sezione perfettamente simmetrica eseguo i calcoli per mezza struttura e moltiplico per due.

NB lo spessore della sezione è infinitamente piccolo e quindi trascurabile ai fini del calcolo.

A_TOT = (A₁ + A₂ + A₃ + A₄) x 2 = (2a + a + 3a + 2a) x 2 = 8a x 2 = 16a

A₁ = 2a   A₂ = a   A₃ = 3a   A_G = 2a

S_{X TOT} = (S_X1 + S_X2 + S_X3 + S_X4) x 2 = (8a² + 3a² + 4,5a² + 0) x 2 = 15,5a² x 2 = 31a²

S_X1 = 2a . a = 8a²   S_X2 = a . 3a = 3a²   S_X3 = 3a . 1,5a = 4,5a²

S_XQ = 2a . 0 = 0

ψ_G = S_XTOT / A_σi = 31a² / 16a = 1,8a

Calcolo per i diagrammi delle tensioni tangenziali:

Tratto AB o <x₁ < 2a

τ_AB = -K . S_X1 = -K . a(3,1 - x₁/2)

S_X1 = x₁ . 1 . (3,1 - x₁/2)

τ_A = [0]

τ_B = [-12a(3,1 - 2a/2)]

= -6,2a²K

Tracciare il diagramma delle tensioni tangenziali da taglio per la sezione seguente

21/06/2016

d = ϕ

A_TOT = (A₁ + A₂ + A₃) x 2 + A₄ = (a + 3a + 5a) x 2 + a = 22a

S_TOT = (S_X + S_X2 + S_X3) X 2 + S_XΘ = [ (a, 5.5a) + (3a, 6a) + (5a, 2.5a) ] X 2 + (αa, 6a) = (5.5a² + 18a² + 12.5a²) X 2 + 2Θ₆ = 96 a²

Y_G = S_TOT = ^{96 a2} 9.36a

Tensioni tangenziali da taglio

TRATTO AB

0 < x < a

S_X1 = x_I, x _1.66 − _x2

τ_AB = −K S_X1 = −K [_x] = τ_A = 0

→ τ_B = 1,16 α²

τ₁≅ τ₈

Sforzo di taglio applicato in direzione verticale. Tracciare il diagramma delle tensioni tangenziali. 22/09/2015

b=1

A_TOT = (A₁ + A₂ + A₃) x2 = (a/2 + a + a) x2 = 5/2 a x2 = 5/2 a²

S_yTOT = (S_y1 + S_y2 + S_y3) x2 = (a/2/8 a² + a² + (a²/2) x2) = 13/8 a² x2 = 26/8 a² = 13/4 a² = 1,625 a²

X_G = S_yTOT/A_TOT = 1,625 a²/5/2 = 0,325 a

Tensioni tangenziali

TRATTO_AB 0<x<a/2

γ_AB = -k S_X1 = -k [I_x(a-x₁/2)] → γ_A = 0 γ_B = 0,75

S_X1 = X_{_} (a-x₁/2)

TRATTO_BC 0<x<a

γ_BC = -k S_X2 = -k [0,75 + (x₂-α)] → γ_B = 0,75 γ_C = 1,75

S_X2 = [0,75 + (x₂-α)]

TRATTO_CD 0<x<2a

γ_CD = -k S_X3 = -k [1,75 + x₃ (α-x₃/2)] → γ_C = 1,75 γ_D = 1,75

S_X3 = 1,75 + x₃ (α-x₃/2)

Sistema 1

• x = 0
• y = 0
• -_N/_A + _Mx/_Ix y = 0
• x = 0
• y = _N/_{A Ix}/_Mx
• x = 0
• y = _N⁄5q²
• _0,8⁄^α/_0,5^αN
• x = 0
• y_g = 0,36

[A](0; -0,36)

Sistema 2

• y = 0
• -_N/_A -_Nu/_Iy x = 0
• y = 0
• x = _N/_{A Iy}/_Mg
• y = 0
• x = _N⁄5q²
• 3,26^α/_1,2^αN
• y = 0
• x = -0,59

[B](0,54; 0)

A_tot = A₁ + A₂ + A₃ = 10 cm² + 5 cm² + 5 cm² = 20 cm²

S_yTOT = S_y1 + S_y2 + S_y3 = (10 cm² · 0,5 cm) + (5 cm² · 3,5 cm) + (5 cm² · 3,5 cm) = 40 cm³

X_G = S_yTOT / A_TOT = 40 cm³ / 20 cm² = 2 cm

M_x = - 2 cm N

M_y = - 4 cm N

I_xTOT = I_x1 + I_x2 + I_x3 = 82,3 cm⁴ + 11,66 cm⁴ + 11,66 cm⁴ = 105,62 cm⁴

I_x1 = b · h³ / 12 + A (y_G - y_G1)² = 1 cm · (10 cm)³ / 12 = 1000 cm³ / 12 = 82,3 cm⁴

I_x2 = I_x3 = 5 cm · (0 - 1,5)² = 11,66 cm⁴

I_yTOT = I_y1 + I_y2 + I_y3 = 23,3 cm⁴ + 11,66 cm⁴ + 11,66 cm⁴ = 46,62 cm⁴

I_y1 = b · h³ / 12 + A (x_G - x_G1)² = 1 · 3 · 10 / 12 + 10 (2 – 0,5)² = 23,3 cm⁴

I_y2 = I_y3 = (5 cm)³ · 1 / 12 + 5_{(0 - 1,5)²} = 11,66 cm⁴