Geometria/Algebra lineare - prove d'esame

PROVE D'ESAME1 a PROVA1ES .WER" definitoil R"Sia davertoriale osociospazio "(1 1)"(-1 2)Span{ -1)120)/1W 1 0 2 32-1 10 --= ,, ,,,,, ,, ,, ,, , ,base di dimensioneEsibirea) laWed esplicitareuna suaDeterminareb) Wle cartesaneparametriche dief e. baseW1 esibire dimensionecartesiane esplicitarnediDeterminaree) le laedsuaunaef . ,ES 2 . I I2R3 13 la3Sia l'endomorfismoT basidi nelle canonicheassociataviene mainceal: - , (1 1)Determinare controimmagine ⑧immaginea) del 2venoree ,,b) autovaloriDeterminare T diagonalizzabiledi stabilireTegli ese ?[T]Esibire baseT rspetioc) taledi2 esplicitandobase laancoveriori matrice associatauna aa, [T-1]e?invertibileL'endomorfismo T8) Se si sociveree ,ES 3 . (netee Xu)incogniteil lineatesi dipendente REIRconsideri daX1 X2 Xe parametrounsistemaseguente :, , ,E RX4 0X +2 = 1)x3(k 01x4-x1 x =+ -+ +1)(k (x 1) x4 0x -1 =+ + incompletaedcomplexala alscrivere associatemainucea) sistema (nessunasoluzionib) ogniStabilire divalore

del infinitesRe diil Sistemanumero unaper , , .,Per it identificane sinemail SReldi soluzionesoluzionivalore delleammettesistema unogni conper die ,opportuno geometricooggetto KeRisolvere il soluzionivaloree) il di per ameteaui sistemasistema ogneper .ES 4 . (ii)(2)Nel Adati Bpiano puntisono i = =,Determinare dellaa) BAParaetniche pamantecartesque renareq pere e .. la recondaScrivere la A Bb) perpendicolalidelle ad prima percartesane repansantirete a eSe perseey ..c) circonferenzaScrivere eleg adsulladella chetangente SaSeretacon centro asae .. l'areated) parallele tangenti det quadratocalcolareScrivere delle Wecartesiane we erece aey e. dalleindividuato Sa S2 Warete We,, ,circonf I sul(della tridimensionatedi coordinateSo die) pramo spazioxycomeponga centro xyzwo .. E 0di y 2xdila CSi dalladistantecalcoli =rena cartesque - +ey :. 02x z =-+ES5 . E 1yx) 0A=( ! - =-Nello laitdatispazio punto rena rsono e :, 2 0y z- -+a) =parauetnichescrivere dibe eq r.b) cuore Ascrivere dee piano

6parametrica cartesiano passanteeg e per1.

Determinare daAit onrecalcolare laH=c) distanza di opunto6)

Trovare medioBit tale delitI ABchepunto puntosia segmentoAdellee)

pansamiparametrichele dellascrivere punto ruta ~.perreite genericoep enper e.

5Tra formando augolole diintersecanothetrovare retequeste in,21 PROVAES 1

.Dare definizioni dimensione dibasele1) di venoialespaziodi unoeDane Rcomplemento2) la verionale diortogonaledefinizione di sonospaziodi unvr=(i) (i) (8)(8) walSpan un=M" Vsiano vv un wom e wa= === , ,, ,, , {Ve unhbase V dai VDeterminare dimensionelaqualdiredi venoua) diecomposta Ve Vma e,, ,b) VequazioniScrivere percontesane base VtScrivere te determinareequazioni diC) parametriche unacartesane e per(1111)venore" VtV6) diScrivere in di didivenoresomma venorecome en uneES 2 . (2)B e 6x-4ySia la 3x2 4di 4xyequazione 0conica +e sa == -+- barA 2 LA nelleo RRsl'endomorfismola canonichea) SraScrivere associata a associatamainuce cipoia ,,.A Ker(LA) Im(LA)la

Determinamatrice e.b) Determinare base ortogonale BIRC da diautovetoiouna composia& parabolaun'ellissec) degenere)Determinale trana di(non un'iperbolegenerale sidegenere se o unane eo , , .6) ildeterminarneSe e di simmetruacentroa centro, laRCCO','e) abbiaDeterminare scriverlacui') in cavonucaconicaun , eeg .ES 3 . (2) (8)Nel dai A Bpuntipiano sono ==, ,Determinarea) Bparametriche Adellaeg cartesane retar passante pere e.Determinareb) ABdell'ame s delparametricheeq negmento. 4abbraDeterminale BAditrangolitc) CC nulla che verticitalipunti arearenia si , ,ES 4 seRY)(i)) s)(( !. I +dahtR Nello 1Sia 2yaixspazio 0praw :+zsono +i +=+- + = ,. i,)p=( !ie pato·a) Scrivere pereq contesane.b) edi RER iDeterminare perpendicolariqualeparalleliquale valore pravi e sonopersonoper ,Fix ORaK 1= - 21c) PolarDeterminare lacalcolare didistanzeeg parametriche per r e= ..d PDeterminale it itpiano contenente puntore .PROVA31 1ES . ↳dilaNello consideri

Parametrichespazio rireña eqsi .a) Q2QpuntiTrovare olue Q24rQeer econ, ,b) direñorescrivere divenoreun +c) beScrivere dicontesaneeq r. p=()6) Determinare perpendicolareis piano ra aeper(rla P) Pe) Trovare d della daldistanza puntorevia r, PR)( si!1) HPosto cer R calcolaree= = ,ESC ))(is=("). (s)(5)(i) ( :- iiUsando dell'insiemeisolo saiverevenoi := =-= , ,, ,1R3a) baseUna di R che baseformiUnb) diinsieme oli unanongeneratori formlin Imolinsieme venori cheUn di basee) manon..Inoltre baseBdetta scelta determinarela al (a) :pato, ,=( )i ra) basele BMispeño allacoordinate o ? (")it coordinateBe) tispeciovenore avente aES 3 . LDare didef Leapplicazione LO immaginehe dilineare nucleo .,. ?Quat Lrelazione linearedelel immaginela tra di applicazionele delolimensioni nucleo unae e(() E(-2LSia 13-13 daelendomorfismo definito: =bassa) Trovare Linispetto allela associatamat canonichea. Trovareb) baneoli LTrovare la dimensione o ImLnucleo la dimensionesua mama

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ei, .c) autovaloi diTrovare Le autovetori formarispostal ediagonalizzabiled) L affermativo(giustificando diagonaleDire inla saivernecaso unaèse, ,ES 4. (3) (i)AdatiNel Bpiano puntisono: == ,,a) Al'eyDeterminaze di r Bpansante percontesana e.Determinare l'egb) ad rBedi perpendicolareripassare perCartesana.c) Determinale ABdell'asse sle delpanamerrucheeq Canewaus Segmentoe. ?2I adl'onogine EyScrivere l'ey ri6) tangentecirconferenza didella ads aucheecentro e.AOC abbiae) 8disTrovare ittaliparti trangolotheC areai.4 PROVA1ES .Definizione oli ordinereale disimmetricamanuce n dellodirealidelleDimostrane venorvate venorvalesimmetriche formal'insieme spaziosotospazioordineche mainuci n undelle ordinequadrate ohmainuci n l. (!lineareL l'operatore R3 barSia eadi canonichenellevene mainuceamocratccul :, ,(2)laa) Trovare delcontroimmagine venoreb) Trovare Leautovalor it relativogli di autospazioautovaloreognoper ,, formatrovareC)

diagonale diagonalizzabile LeSi dica affermativa in di autovetori una se caso e, ES 2. R3R* tale Sia che F+: (i)(i)(i)=(8) (i) (2) (2)(i) ++ = === = ,..
a) Scrivere basi la nelle F ad associa canonica mainu ce base
b) (F) Im Trovare o una Trovare
c) Im(F) die cane sane.. Im(F) advenor Imd apparienem 5 (F) Trovare che generi novenor dipendenti Im(F) linad I apparieueme
d) Trovare che sraw.
ES 3. 0)3) 0)RCC0 (1 (0 2)Q (0 1)(2 Nel Tif P R considerino S, i, piano punti so: con quattro === ,= ,, , ,, , ,. , le ga
a) SQ circonferenza P R che e Verificare di alla scriverne questa cartesana appartengono stessa,, ,
b) ed i Maggio centro e
c) PARS del Trov