Formulario e risposte teoriche di Elettrotecnica

1)Introduzione alla teoria dei circuiti, ipotesi a costanti concentrate.

Un circuito è un insieme di elementi collegati tra loro, questi elementi sono chiamati

componenti e ciò che li collega sono definiti come “fili” o “morsetti”; ai capi dei morsetti di

un componente si definiscono dei parametri in entrata o in uscita, collegati da equazioni

dette “equazioni costitutive”, mentre per via dei collegamenti ideali (in cui la tensione tra

due punti è nulla indipendentemente dalla corrente che vi scorre) sono presenti “equazioni

di vincolo”, l’unione di queste equazioni consente la risoluzione dei circuiti; nell’ipotesi

delle costanti concentrate i componenti sono ideali e sono descrivibili attraverso i valori di

tensione e corrente ai loro capi.

2) Leggi di Kirchoff alle correnti (KLC) e tensioni (KLV).

La legge di Kirchhoff alle correnti afferma che, presa una superficie qualsiasi che tagli un

morsetto, la somma delle correnti entranti (con un certo segno) e delle uscenti (con segno

opposto) deve essere nulla; la legge di Kirchhoff alle tensioni afferma che, presa una curva

qualsiasi che tagli un morsetto, la somma delle tensioni lungo la direzione di percorrenza

della curva deve essere nulla.

3)Definizione di polo e porta elettrica: bipoli, tripoli e quadripoli.

Un polo è un terminale di un componente di un circuito, se il componente è un N-polo è

definito da N-1 correnti e N-1 tensioni, mentre una porta elettrica è una qualsiasi coppia di

morsetti per cui vale che la corrente che scorre in entrambi è la stessa, ha definite sia

corrente che tensione e la ha una potenza istantanea pari a ; i bipoli sono

() () ()

= ⋅

componenti a 2 terminali, per la KLC costituiscono una porta elettrica (quindi hanno la

stessa potenza) e la loro equazione costitutiva è del tipo i tripoli sono

( (), (), )

= 0;

componenti a 3 terminali, di cui 2 sono di ingresso e 1 di uscita, per la KLC la corrente

uscente è pari alla somma delle correnti entranti, si definisce come 2-porte sbilanciato se

considero il morsetto B comune alle coppie AB e BC, le equazioni costitutive mettono in

relazione i 4 parametri del componente (2 tensioni e 2 correnti) e la potenza istantanea è

la somma delle potenze alle porte un quadripolo è un componente a 4 terminali (2 di

;

entrata e 2 di uscita), si definisce 2-porte bilanciato se è verificato che la corrente in ogni

coppia è uguale all’entrata e all’uscita, ha 2 equazioni costitutive e la potenza è data dalla

somma delle potenze alle coppie.

4) Proprietà LPC, reciprocità e passività

La proprietà di linearità afferma che ogni effetto è direttamente proporzionale alla causa

(ovvero nasce da ), la proprietà di permanenza afferma che un effetto non è

() ()

⋅ ⋅

influenzato dall’istante di applicazione della sua causa, la proprietà di causalità afferma

che preso un istante allora l’effetto dipende dalla causa solo per e che ignora gli

<

0 0

andamenti in istanti successivi, la proprietà di reciprocità viene studiata nel caso di un N-

porte, considerando una situazione in cui il componente viene sottoposto a due eccitazioni

1 2 2 1

(indicate da 1 e 2) allo stesso tempo, quindi si ha ,

∑ ∑

= + + +

1−2 1 2 =1 =1

1 2 2 1

la proprietà viene verificata se vale ; la proprietà di passività indica

∑ ∑

=

=1 =1

che l’effetto di una qualsiasi causa di breve durata scompare col tempo, ovvero non si

fornisce più energia di quanta se ne assorbe per ogni tipo di

() ()

= ≥ 0

∫

−∞

eccitazione.

5) Bipoli: resistore, condensatore, induttore, generatori indipendenti

Un resistore è un componente descritto da una certa resistenza R, ottenuta dal rapporto

tra la tensione ai capi del resistore e la corrente che scorre in quest’ultima, la resistenza si

misura in Ohm e in un filo cilindrico è descritta come in cui ρ è la resistività elettrica

Ω = 2

del materiale, l’equazione costitutiva è , la potenza è , per cui dato

() () ()

= ⋅ =

che R>0 per un resistore reale, allora e il componente è passivo; un

() > 0 ()

condensatore è un componente descritto dall’equazione costitutiva , il

() =

componente è dinamico infatti l’equazione è differenziale, la capacità si misura in Farad

()

, la potenza è in base al segno la potenza può essere positiva o

() ()

= =

Ω

negativa, quindi il componente può assorbire o cedere energia l’integrale della potenza

1 2

diventa quindi il componente è passivo solo per C>0 ovvero in caso reale (il

()

2

componente può cedere al massimo la stessa energia che assorbe); un induttore è un

()

componente descritto dall’equazione costitutiva , l’induttanza si misura in

() =

()

Henry la potenza è in base al segno è positiva o negativa

() ()

= ⋅ , = 1 2

(componente cede o assorbe energia), l’integrale della potenza diventa se è reale

()

2

a L>0 quindi l’integrale diventa positivo e il componente diventa passivo (al massimo si

cede energia che si assorbe); il generatore indipendente di tensione è un ingresso al

circuito, è un componente attivo, se il valore di tensione che genera è nullo si ha un corto

circuito; il generatore indipendente di corrente è considerato come un ingresso al circuito,

è un componente attivo, se il valore di corrente che genera è nullo si ha un circuito aperto.

6) Elementi 2-porte: generatori controllati, trasformatore, induttori mutuamente accoppiati,

nullore, giratore

I generatori controllati sono componenti attivi e non reciproci, possono essere: generatori

di tensione regolati da tensione, generatori di tensione regolati da corrente, generatori di

corrente regolati da tensione o generatori di corrente regolati da corrente; un nullore è un

tripolo o quadripolo per cui su un ingresso si hanno corrente e tensioni nulle, mentre

all’altro ingresso si può avere qualsiasi valore in base al circuito a cui è collegato, è un

componente attivo e non reciproco, ma poco realistico; il trasformatore è un componente

composto da due spire su due cavi distinti, in cui la corrente che scorre in una spira

genera un campo elettromagnetico che induce a sua volta una corrente nell’altra spira con

1

un rapporto di 1:n, le equazioni costitutive sono e , dalle formule si

= = −

2 1 2 1

dimostra come il componente sia passivo e reciproco e può essere semplificato con

resistori, induttori e conduttori collegati; gli induttori mutuamente accoppiati sono due

induttori di induttanza e tra cui si genera una mutua induttanza M, le equazioni

1 2

costitutive del componente sono e , è un

1 2 1 2

() ()

= + = +

1 1 2 2

componente con memoria e passivo; il giratore è un componente descritto attraverso un

parametro r misurato in Ohm, dalle equazioni costitutive e , si dimostra

= − =

1 2 2 1

come sia un componente passivo e non reciproco.

7) Introduzione ai circuiti senza memoria

In un circuito senza memoria i parametri dipendono solamente dal valore istantaneo degli

ingressi, per la sua risoluzione viene richiesto di individuare ogni valore delle variabili di

interfaccia (tensione e corrente) in ogni ramo del circuito stesso: per R componenti ho 2R

incognite e R equazioni costitutive, ma mi servono altre R equazioni che posso trovare

solo con le leggi di Kirchhoff alle correnti o alle tensioni, il problema sta nel riuscire a

scrivere tutte queste equazioni in maniera indipendente.

8) Grafo di un circuito, nodi, rami, albero, co-albero

Un grafo è una rappresentazione univoca di un circuito in cui si possono omettere i

componenti reali, indicizzare le tensioni e semplificare la scrittura, su di esso si possono

identificare: nodi (punti in cui convergono due o più fili conduttori), rami (rami orientati

corrispondenti a componenti generici a 2 terminali), alberi (insieme di rami connessi che

non formano un circuito chiuso) e co-alberi (tutti i rami del grafo non appartenenti

all’albero).

9) Maglie e tagli fondamentali, definizioni e proprietà

Una maglia è un insieme di rami connessi che formano in circuito chiuso, un taglio è un

insieme di rami il cui taglio rende il circuito non connesso; una maglia fondamentale è la

maglia che si forma aggiungendo a una maglia un ramo di co-albero, un taglio

fondamentale è un taglio che comprende un solo ramo dell’albero; per un qualsiasi ramo

di co-albero in una maglia fondamentale, per quest’ultima il taglio fondamentale

comprende sempre il ramo di co-albero; il taglio fondamentale relativo a un ramo di albero

di una maglia fondamentale, comprende sempre il ramo di co-albero; preso un ramo di

albero e uno di co-albero nella maglia fondamentale, tali per cui il taglio fondamentale del

ramo di albero comprenda il ramo di co-albero, allora il segno della corrente nel ramo di

co-albero nella KLC sul taglio fondamentale relativo al ramo di albero è opposto al segno

della tensione sul ramo di albero nella KLV nella maglia fondamentale relativa al ramo di

co-albero.

10) Metodo tabellare, ortogonalità, Teorema di Tellegen

Le equazioni di Kirchhoff sono scrivibili come e , se

[ ] [][ ] [0] [ ] [][ ] [0]

+ = + =

allora vale la proprietà , per un sistema algebrico (nessun

[] −[]

= ≠ 0 =

componente lavora con memoria) posso risolvere sfruttando questa rappresentazione

ovvero lavoro col metodo tabellare; la condizione di ortogonalità è raggiunta se vale la

condizione dimostro:

[ ] [ ]

⋅ = 0,

E se ne ricava che la potenza istantanea al ramo k-esimo è nulla; il teorema di Tellegen

afferma che: per due circuiti aventi lo stesso grafo orientato (stessi versi tensioni e

(1) (2) (2) (1)

correnti) risulta e

[ ] [ ] [ ] [ ]

= 0 = 0.

11) Metodo delle maglie, degli anelli.

Il metodo delle maglie va a considerare le correnti di co-albero come variabili ausiliarie,

mentre le correnti di albero sono ottenute come combinazione lineare delle correnti di co-

albero, infatti e considero i circuiti come se fossero composti solamente

[ ] [][ ]

+ = 0

da resistori e generatori indipendenti di tensione, conoscere ci consente di conoscere

[ ]

dalla combinazione lineare, dalle equazioni costitutive con la corrente di co-albero

[ ] [ ]

e dalle equazioni costitutive con le correnti di albero, oltre alle equazioni costitutive e

[ ]

alle KLC per le correnti posso andare a sfruttare una KLV alla maglia fondamentale per

arrivare a un sistema risolvente

Ovvero la matrice Z è simmetrica e si può ottenere considerando che è

[][ ] [ ],

=

dato dalla somma delle resistenze alla maglia i-esima, è dato dalla somma

=

algebrica delle resistenza comuni alla maglia i-esima e j-esima, mentre è dato dalla

somma algebrica dei generatori di tensione indipendenti sulla maglia i-esima, le correnti

che scorrono in un certo ramo sono date dalla somma algebrica delle correnti fittizie che

lambiscono il ramo stesso; il metodo degli anelli è una semplificazione del metodo delle

maglie che per costruire la matrice Z sfrutta come somma delle resistenze nell’anello i-

esimo e come somma delle resistenze comuni all’anello i-esimo e j-esimo con

=

segno negativo.

12) Metodo dei tagli. Metodo dei nodi.

Il metodo dei tagli considera come variabili ausiliare le tensioni dei rami d’albero, ipotizza

circuiti composti solamente da resistori e generatori indipendenti di corrente, la tensione

d’albero consente di ottenere quella di co-albero per combinazione lineare [ ] [][ ]

+ =

così dalle varie tensioni ottengo le correnti dalle equazioni costitutive dei componenti

0,

Ovvero in cui è la somma delle conduttanze tagliate dal taglio i-esimo,

[][ ] [ ]

=

è la somma algebrica delle conduttanze tagliate dai tagli i-esimo e j-esimo,

=

mentre è la somma algebrica dei generatori tagliati dal taglio i-esimo; il metodo dei nodi

applica una semplificazione al metodo dei tagli, con cui si assume una rappresentazione

per cui tutti i rami partano dallo stesso nodo (nodo di riferimento, di solito la terra) e

arrivino direttamente a ogni altro nodo, inoltre la matrice Y si costruisce allo stesso modo,

ma è la somma delle conduttanze che collegano nodo i-esimo e nodo j-esimo, ma

=

con segno negativo.

13) Caratterizzazione esterna: Teorema di sostituzione a una porta.

Dati 2 circuiti accessibili da una sola porta e connessi fra loro, è possibile sostituire uno di

essi con un generatore di tensione o di corrente indipendente di valore pari alla grandezza

di porta presente nella connessione; è un teorema valido per i circuiti senza memoria e per

il circuito da sostituire, in quanto lineare e stazionario, vale c=0 se non ci

⋅ + ⋅ = ,

sono generatori indipendenti al suo interno, se a=0 serve fissare un e se b=0 serve

0

fissare un , se il circuito è non lineare allora non posso effettuare la sostituzione a una

0

porta.

14) Teorema di sostituzione a due porte.

Dato un circuito accessibile da 2-porte, è possibile sostituire i circuiti connessi alle sue

porte con 2 generatori indipendenti di tensione o di corrente, di valori equivalenti alle

grandezze di porta durante la connessione, il metodo è estendibile a circuiti a N-porte, le

sostituzioni possono sfruttare solo generatori indipendenti di tensione, solo generatori

indipendenti di corrente o generatori indipendenti misti su porte diverse.

15) Teorema di Thevenin e Norton a una porta.

Per caratterizzare completamente un bipolo si possono sfruttare il teorema di Thevenin o

quello di Norton; per Thevenin una rete accessibile da una porta è equivalente,

esternamente alla porta, alla rete stessa in cui le eccitazioni siano state disattivate, con in

serie alla porta un generatore di tensione (avente una tensione impressa uguale alla

tensione che si manifesta a vuoto in corrispondenza alla porta della rete e con la stessa

polarità), praticamente rendo il circuito inerte (azzero tutti i generatori indipendenti al suo

interno) e vi pongo all’ingresso un generatore indipendente di tensione avente una certa

tensione (che è la tensione avuta quando la corrente entrante è nulla) e dimostro

ℎ

tramite la sovrapposizione degli effetti

Per Norton invece una rete accessibile da una porta è equivalente, esternamente alla

porta, alla rete stessa in cui le eccitazioni siano state disattivate, con in parallelo alla porta

un generatore di corrente avente corrente impressa uguale alla corrente di cortocircuito

della porta, in pratica rendo il circuito inerte e pongo in parallelo alla porta un generatore di

corrente che genera una certa corrente (avuta quando la tensione alla porta è nulla) e

dimostro tramite la sovrapposizione degli effetti

Una volta ottenuti i generatori tramite Thevenin o Norton completo la caratterizzazione del

bipolo andando a rappresentare il circuito inerte come una resistenza, che è in serie col

generatore di Thevenin e in parallelo col generatore di Norton, per trovare questa

resistenza con Thevenin devo porre un generatore di corrente esterno al circuito inerte,

determinare la tensione alla porta del circuito e determinare il rapporto tra tensione e

corrente, per trovare la resistenza con Norton impongo un generatore di tensione,

determino la corrente che entra nel circuito inerte e calcolo il rapporto tra corrente e

tensione per trovare l’ammettenza, il cui reciproco è il valore del