Formulario e procedimento esercizi Automatica

ESERCIZI AUTOMATICA

CLASSIFICAZIONE SISTEMI

- Tempo continuo= ci sono derivate

- Tempo discreto= non ci sono derivate

- Tempo-variante= i coefficienti dipendono dal tempo

- Tempo-invariante= i coefficienti non dipendono dal tempo

() = 0

- Autonomo:

- Non lineare: ∙ ̇ ())

> Prodotto tra derivate (() ∙ ())

> Prodotto tra ingresso e uscita (()

2

2

> Termine elevato alla (() )

MODI NATURALI

()

() = () = 0

Data , per trovare i poli del sistema:

()

- Se è REALE:

−1

, , … , = 1,2, … = à

- Se è COMPLESSO

−1

cos( ) , cos( ) , … . , cos( )

−1

sen( ) , sen( ) , … . , ( )

RISPOSTA DI SISTEMI

➔ VALORE ASINTOTICO RISPOSTA IMPULSIVA

()

- Sviluppo in fratti semplici, trovo i residui

() ()

- Applico l’antitrasformata a e trovo la risposta impulsiva

lim ()

- Faccio il limite

→∞

lim () →NON

Se ESISTENTE

→∞

CASO PARTICOLARE: 2

() () = + +

se il denominatore di ha tutti i termini dell’equazione di secondo grado (() ) e i suoi

1 2

, > 0 →

coefficienti sono il sistema è A.S.

1 2

Se il sistema è A.S. tutti i modi naturali CONVERGONO A ZERO, quindi la risposta impulsiva tende a zero.

➔ RISPOSTA FORZATA LIMITATA/NON LIMITATA

STABILITA’ DEI SISTEMI LTI

Se un sistema è A.S. allora è BIBO (non vale il viceversa).

, , ,

- Dal sistema lineare trovo le matrici di stato ():

- La stabilità A.S. dipende dalle permanenze/variazioni e di conseguenza dalle radici di

→ ➔A.S.

() < 0

-->coefficienti con lo stesso segno = permanenza poli con

→ ➔I

() > 0

--> coefficienti con segno diverso = variazione poli con (instabile)

- La stabilità BIBO

→ () () < 0

deve avere tutti i poli con

→ () () < 0 () = 0

deve avere tutti i poli con ed eventuali poli SEMPLICI con

−1

() = ∙ ( − ) ∙ +

−1

() = ∙ ( − )

(−)

−1

( − ) = det (−)

CASO PARTICOLARE: () > 0

Se il sistema ha anche un polo con (quindi NON è A.S.),

() () > 0

se calcolando la funzione il polo con viene eliminato e

➔

() < 0 () = 0

rimane solo il polo con oppure allora è BIBO

Esempio

̇ = − +

1 2 −1 0 0 [1 0]

̇ = − +

{ =[ ] =[ ] = =0

2 1 2 −1 1 1

=

1 +1 0 2

(

() = det( − ) = [ ] = + 1)( − 1) = − 1 → : = ±1

1 −1

() > 0,

Non è A.S. perché ha un polo con ma se questo si elimina il sistema può essere BIBO stabile.

−1

(

() = ∙ − ) ∙ + −1 0

[ ] [−1

(−) 0]

−1 +1

−1 [1 0]

(

() = ∙ − ) = ∙ = ∙ =

(−1)(+1)

det(−) (−1)(+1)

() > 0

Il polo con è stato eliminato quindi è BIBO.

STABILITA’ SISTEMI NLTI

- Dato un sistema dinamico non lineare, trovo i punti di equilibrio

=

- calcolo

=

- calcolo nei punti di equilibrio e in base agli autovalori di capisco la sua stabilità:

➔A.S.

-->autovalori < 0 ➔

-->autovalori > 0 I

Esempio:

̇ = ( − 1)

Equilibri: --> = 1

--> = 0 → = 0

−1

= = + 2

1+

➔I

-->per = 1: = >0

4 ➔A.S.

-->per = 1: = −1 < 0 ,

CASO PARTICOLARE: se ho un sistema in :

1 2

1 1

1 2

= = [ ] poi si procede nello stesso modo, sostituendo gli equilibri e guardando gli autovalori

2 2

1 2

Esempio

̇ = − → = 0

1 1 1

(

̇ = − − − 1) → = 0: = 0

{ 2 1 2 2 1 2

= 1

2

1 1 −1 0 0 0

1 2

= = [ ]=[ ] = [ ], = [ ]

2 equilibri: 1 2

−1 −2 + 1

0 1

2 2 2

1 2

−1 0

(0,0)

= =[ ] → ()

1 −1 1

−1 0

(0,1)

= =[ ] → ()

2 −1 −1

PARAMETRI CARATTERISTICI

1. SISTEMI PRIMO ORDINE

1

(0)∙ 1

() = > 0, : = −

1

+ (%) = 0

- Sovraelongazione: (%) = 0

- Sottoelongazione:

- Tempo di salita:

ℎ̅()

min = 1} , se S > 0

{:

= { ≥0

Nel caso in cui il transitorio non presenti elongazione (S=0) si definisce

− , = 0

0.9 0.1 come il tempo necessario per passare dal 10% al 90% del valore finale

- Tempo di assestamento:

100

= ∙ ln

,

2. SISTEMI SECONDO ORDINE

a) privi di zero e con 2 poli complessi coniugati con Re < 0

(0)

() = = = 2

2

2 2

(−)(−̅ ) +2 ∙+

1+ +

2

−

√1−2

(%) = 100 ∙

- Sovraelongazione: (%) = 0

- Sottoelongazione: −()

∙ =

- Tempo di salita: 2

√1− 1 100

∙ = ∙ ln

- Tempo di assestamento: ,

Sovraelongazione tempo di salita tempo di assestamento

b) Poli reali

(0)

() =

(1+)(1+ )

tempi di salita e di assestamento

per sistemi del secondo ordine

con poli reali

EFFETTO DI ZERI/ POLI AGGIUNTIVI

• (%)

ZERO NEGATIVO AGGIUNTIVO→ aumento

1+

() = (0) ∙

(1+)(1+ )

°

Sovraelongazione di sistemi del 2 ordine Tempo di salita

con poli complessi e zero negativo

• → (%)

ZERO POSITIVO AGGIUNTIVO aumento

• →

POLO NEGATIVO AGGIUNTIVO aumento

(0)

() = 2

2

(1+ )(1+ + )

2

CASI PARTICOLARI

➔ ()

se presenta un polo dominante reale molto più vicino all'asse immaginario di tutti gli altri poli e zeri,

reali o complessi;

--> il comportamento del sistema è molto simile a quello di un sistema del primo ordine con l'unico polo

coincidente con il polo dominante.

➔ ()

Se possiede una coppia di poli dominanti complessi coniugati molto più vicini all'asse immaginario

rispetto a tutti gli altri poli e zeri,

-->il comportamento del sistema è molto simile a quello di un sistema del secondo ordine standard.

→i poli/zeri che hanno costanti di tempo/pulsazioni naturali più piccole/ più grandi di un fattor