Formulario e procedimento esercizi Automatica

→PICCO

>

ZERO STABILE con NEGATIVO, poi

2 /2 =

Da 0 a e vale in

2 crescente

() = 1 + + 2

→DECRESCENTE

→PICCO

<

ZERO INSTABILE con NEGATIVO, poi

2 − −/2 =

Da 0 a e vale in

2 crescente

() = 1 + + 2

=

ZERO IMMAGINARIO con Valore asintotico

2

() = 1 + 2

POLI DOPPI −/2,

Se ho un polo doppio, costituito da due poli che in fase perderebbero questo polo doppio perde:

− − = −

2 2

Modulo del POLO STABILE/INSTABILE: Modulo del POLO STABILE/INSTABILE:

CASO PARTICOLARE: presenza di ZERI COMPLESSI

Nel grafico della fase quando ci si avvicina al punto di rottura degli zeri complessi c’è un FORTE AUMENTO DI FASE

dato appunto alla presenza degli zeri complessi.

CASO PARTICOLARE: presenza di ZERO IMMAGINARIO (ES. V) il modulo nel punto di rottura tende

−∞

a

|( |(

)| )|

= 0 → = −∞

La fase segue valori asintotici nel

punto di rottura

2) Diagramma di NYQUIST

- Da dove parte la fase, da dove passa e dove tende

- Andamento del modulo −

- Il numero di volte in cui il grafico del diagramma di Bode della fase passa per

corrisponde al numero di intersezioni con questa parte dell’asse del diagramma di Nyquist.

>

(CHE A SUA VOLTA CORRISPONDONO CON IL NUMERO DI )

= ⋯

3) STABILITA’ per

= +

(),−1+0

() () > 0

= numero di poli di con

() () > 0

= numero di poli di con

= 0 → + = 0 → = − =

Per avere stabilità: (),−1+0 (),−1+0 (),−1+0

() −1 + 0.

e non deve passare per il punto

PER CALCOLARE :

(),−1+0

> 0 → = 0

- Se il grafico NON ruota attorno al punto -1+j0, QUINDI

(),−1+0

= 0 → = 0

- Se il grafico PASSA per il punto -1+j0, QUINDI

(),−1+0

< 0 → ≠ 0

- Se il grafico ruota attorno al punto -1+j0, QUINDI

(),−1+0

= + = 0 = ⋯

Se : è stabile per

(),−1+0

MARGINE DI FASE ATTENZIONE

= 1,

|( )|

Trovata tale che

( = − +

)

- Se

( = +

)

- Calcola

→ ( = ( ) +

)

( = ( )

)

- Calcola la fase:

( = − −

)

- Se

= + ( )

-

→ ( = ( ) −

)

4) LUOGO DELLE RADICI

=

Trovare POLI --> numero poli

=

Trovare ZERI --> numero zeri

=

numero rami verso gli zeri ( in e in )

+ +

− = → ∞

numero rami che tendono a

− ∞

CENTRO ASINTOTI: Gli rami tendono a secondo una stella regolare di asintoti di centro:

=1

∑ ∑

−

=1

=

0 −

ANGOLI DI PENDENZA DEGLI ASINTOTI: (2ℎ + 1) , > 0

−

= {

ℎ 2ℎ , < 0

−

, , … ,

ANGOLI DI PARTENZA DAI POLI 1 2

Sia un polo di molteplicità , allora l’angolo di partenza dai poli vale:

1 (2ℎ + 1) , > 0

= ∙ (∑ − − ∑ − ) + {

2ℎ , < 0

=1 ≠

Sia uno zero di molteplicità , allora l’angolo di ARRIVO dai poli agli zeri vale:

COME I POLI 1 (2ℎ + 1) , > 0

= ∙ (∑ − − ∑ − ) + {

ARRIVANO AGLI ZERI 2ℎ , < 0

=1 ≠

➔VEDERE SE (E QUANTE VOLTE) IL GRAFICO DEL LUOGO DELLE RADICI PASSA PER L’ASSE IMMAGINARIO

(ogni passaggio per l’asse immaginario corrisponde a un )

∈ (−∞, +∞)

5) STABILITA’ PER > 0:

Per

< 0:

Per Vedere quanti giri in senso orario compie il

Vedere quanti giri in senso orario compie il grafico del diagramma di Nyquist attorno

grafico del diagramma di Nyquist attorno −1 + 0

al punto al variare di

+1 + 0

al punto al variare di

➔SE

IL GRAFICO COMPIE GIRI IN SENSO ORARIO E GIRI IN SENSO ANTIORARIO:

− )=

( numero di giri in senso orario

➔Il −

numero di volte in cui il grafico del diagramma di Bode della fase passa per

corrisponde al numero di intersezioni con questa parte dell’asse del diagramma di Nyquist.

>

(CHE A SUA VOLTA CORRISPONDONO CON IL NUMERO DI )

➔SE () > 0,

HO POLI CON LI DEVO TENERE CONTO NEL CONTEGGIO (1 + ))

(se per esempio per k>0 il diagramma fa 1 giro attorno a -1+j0 devo mettere

SECONDO ESERCIZIO- SINTESI di sistemi di controllo in retroazione

() → portata in forma di BODE

̅̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅̅

() = ∙ () , (0) = 1

̅̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅̅

() = ∙ () , (0) = 1 () = ()()

1) Specifiche

Sistema stabile internamente

S1. --> alla fine il sistema deve essere stabile

= , ≠ 0) = 0

S2. ERRORE a regime di inseguimento ad ingressi costanti (() sia nullo 0

Specifiche statiche ()

() = = = ⋯

S3. ERRORE a regime di inseguimento all’ingresso a rampa sia non superiore a

1 1

= , ≠ 0)

S4. l’uscita a regime prodotta da disturbi costanti ( sia nulla

dinamiche

Specifiche = ⋯

S5. la sovraelongazione sia non superiore a

= ⋯

S6. il tempo di salita sia circa uguale a

1. Specifica (2) = 0 () = () ∙ ()

Con questa specifica si determina quanti poli in deve avere

→ = 0 → () = 0

deve avere almeno 1 polo in

0

() = 0 ()

Se ha già un polo in non si aggiunge niente, altrimenti viene messo a

• = 0 (), () ().

Dopo aver capito se aggiungere o meno il polo in a si moltiplica nota e

̅̅̅̅̅̅

• ()

In base a quello che si ottiene si trova , e

Esempio 2

̅̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅̅

() = = 0, () = ∙ () = ∙ ()

quindi si aggiunge un polo in s=0 a C(s):

0

(1+)(1+/5)

2 2 1

̅̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅̅

() = ∙ () = () ∙ () = ∙ ∙ () = ∙ () ∙

Quindi

(1+)(1+/5)

(1+)(1+ )

5

= 2 = 1

Da cui trovo che: e

2. Specifica (3)

Con questa specifica si determina il valore minimo di

• Analizzando la tabella dell’errore si capisce cosa prendere:

TABELLA ERRORE ()

si è trovato dall’espressione di

0 1 2 3 ():

è l’ordine di

1 ∞ ∞ ∞

0 |1 + | ()

= 0 → =

- (gradino)

0 ()

= 1 → =

- (rampa)

1 1

0 ∞ ∞

1 2

| | ()

= 2 → =

- (rampa parabolica)

2 2

1

2 0 ∞ . > →

- Se limitato

0 | |

< →

- Se non limitato

1 1

3 0 0 0 =0

| | 1+

= → {

- Se 1 ≥1

Esempio

= 1 , ()

() = = → = 1

1 1

Quindi dalla tabella si prende | |

• ≤

Si imposta il valore preso dalla tabella e si trova il valore di

1

(con la relazione trovata tra e nella specifica 2)

• ()

E si riscrive con i valori trovati di e

Esempio = 2 = 0,1

dato che e

1

1 1 | |

≤ → ≤ 0,1 → ≥ 5

1

|2 |

| |

5 ̅̅̅̅̅̅

() = ∙ ()

Quindi

3. Specifica (4)

→

= 0 ()

Se ha un INTEGRATORE

= =

Se e e G(s) ha già un integratore, vuol dire che L(s) avrà due integratori, perché la condizione

= 0 IMPONE CHE C(S) ABBIA UN INTEGRATORE.

CASO PARTICOLARE () = 1 = ,

SPECIFICA (S4): l’uscita a regime prodotta dal disturbo costante sia non superiore a

̅̅̅̅̅̅

() = ∙ ()

1

() = () = 0) ≤

Quando e NON ha INTEGRATORE ( si utilizza questa formula:

| |

Dato che nella specifica (3) si era trovato un altro valore di , si fa un confronto tra questi due valori trovati

(si prende il valore più grande). 1

→anche ≤

in questo caso si utilizza :

| |

(si confronta con il Kc trovato precedentemente e si prende quello maggiore). ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅

Per modificare C(s) si deve vedere se vanno aggiunte ulteriore reti guardando il MODULO di , perché il

( )

CAMBIAMENTO DEL Kc PUO’ PORTARE SOLO AL CAMBIAMENTO DEL MODULO.

CASO PARTICOLARE

> →

Se non limitato

- Inizialmente si lascia i