Formulario Calcolo elementare per Istituzioni di matematica

SENO SENX

= y 1 ; 1

= - R

A

X = =

y COSX

COSENO = 1

1 : -

-

X 11

c =

=

Y tgX

TANGENTE I

= - -

X ogni Il

= 1

y

cotax

cotangente y =

= in c'É

X ogni non

=

Funzioni pari,dispari e periodiche Sostituisco la X con -X

f( f(x)

x)

Pari =

-

f f(x)

( x)

Dispari = -

-

f(x) (periodo) RipetoNO

f(x) si

Periodiche t

+

= ♾

♾

LIMITI

lim Sostituisco la X con cosa tende

X-

Forma indeterminata: (

C

lim lim lim

f (x) + g (x) = f (x) + g (x)

0

X- X 0

X +

>n

-

Forma indeterminata + -

lim

• Polinomio = + -

= 0

X

1. raccolgo il grado massimo

2. Ricalcolare il limite tendendo conto dei segni

line

• Polinomio / Polinomio = + / +

I

+

X

1. raccolgo il grado massimo al numeratore

2. raccolgo il grado massimo al denominatore

3. semplifico

4. ricalcolare il limite tendendo conto dei segni

line

• Polinomio/ Polinomio = 0 /0

1. scomporre il numeratore e denominatore

2. semplificare

3. raccogliere il limite tendendo conto dei segni

in

• A - B = + -

Ricordando : ( A - B ) ( A + B ) =A-B

1. moltiplicare e dividere

2. sviluppare i calcoli

3. ricalcolare il limite tendendo conto dei segni

lim

• A - B = + - (r)

(ror[Ira)"

X = ++ A

= -

Ricordando: A - B

. moltiplicare e dividere

1 . sviluppare i calcoli

2

3. ricalcolare tendendo conto dei segni

4. ♾

FUNZIONI CRESCENTI, DECRESCENTI.

ASINTOTI ORIZZONTALI E VERTICALI

FUNZIONI:

Crescente —> intervallo chiuso

X 1 < X 2 —> f (x1) < f (x2)

-

Decrescente —>

X 1 < X 2 —> f (x1) > f (x2)

ASINTOTI:

Orizzontali —> + - —> numero finito

Verticali —> X -> (tende) numero —> + -

Teorema dei carabinieri e di permanenza del segno

teorema carabinieri

F(x) di

; intorno

definite

9(x)

(x) in

n Xo

un

; =

①3 Funzioni :

I f(x)g(x)h(x)

FRatty :

1) numeratone [vicine]

(c)

massimo

· definite punto

in insieme in

[

un

denominatore

Il

1 ② F(x)[g()h(x)

I minimo numeratone eim h(X)

20 lim

(x)

& V =

=

+

X C

denominatore X- E

& massimo him

Allora g(x) **

teorema permoven seguo

- è

XIt

Funzione

limite da

numero di

diverso allora intorno l

un 0 esiste Xo

Cescluso ,

Xol I

FCx)

più entrantoi negativi

al in positivi

e

cui sono -

LIMITI NOTEVOLI E INTERVALLI DI DEFINIZIONE

FUNZIONI GONIOMETRICHE

lim SENX G

+

lim

1

= 1

X =

+

X X

0 0

X

+

lim lim

1- COSX CRCSENX

O 1

- =

0

X -

X + 0 X X

lim lim

1 CosX arctgX

- E 1

=

= 0

X+

+ 0

X 2 X

X

FUNZIONI ESPONENZIALI E LOGARITMICHE

Fe x)

loga(1 +

(1

lim ?

lim

+ loga

=

+0 X

X

X 0

- =1 x)

(1 +

In

X)

(1

lim e

= lim

+ 1

=

-

> X

0 0

X

X - 2x XIX

lim lim lim aso

o

1 =

Ina ;

0

- =

I t

>0

X 0

>

X -

- - X

X Simo lim

e

lim 1 ;

1

- =

X 0

+ X x)" E]gag(x)

(1 [f(x)]

Sim Sinistra

uguaglianza

-

+ - in

a

0 =

X+ limiti indeterminati

X 8020 00

+

INTERVALLI DI DEFINIZIONE

l'intervallo di definizione (o dominio di una funzione) è l'insieme di tutti i valori di x per i quali la funzione f(x) è definita.

In altre parole, è l'insieme dei valori di x per cui possiamo calcolare il valore della funzione senza incorrere in situazioni

problematiche, come divisioni per zero, radici quadrate di numeri negativi, logaritmi di numeri non positivi, ecc.

Funzioni continue teorema degli zeri e teorema di

Weierstrass

Sia f(x) una funzione continua nell’intervallo [ a ; b ] chiuso è limitato

Esiste in [ a ; b ] almeno un punto in cui la funzione assume valore —> massimo / minimo

--

i

MASSIMI E MINIMI

Derivate di una funzione

MASSIMI —> punto più alto

MINIMI —> punto più basso

DERIVATE

- funzione qualunque

• tangente in un punto

La derivata di una funzione f (x). in un punto x è il limite del rapporto incrementale quando l’incremento di x tende a 0

1x) f(x)

f(x +

F(x) -

lim

= 1x + o

Regole principali per il calcolo delle derivate

derivata di una costante: f(x)

f(x) - 0

c =

=

derivata di una potenza: z

nxh

f'(x) -

x

f(x) -> =

=

Somma di funzioni h'(x)

f'(x)

h(x) g((x)

g(x)

f(x) + + +

= =

Prodotto di funzioni ( regola Leibniz) f' h'(x)

h(x) h(x)

f(x) (x)g((x) g(x)

g(x) + +

= - -

-

Quoziente di funzione -h'(x)

g'(x) g(x)

h(x) -

-

A c -

+

f(x) h(x)2

=

DERIVATE COMUNI

U

Derivate di X: 1

f'(x) n -

nX

=

X

Derivate di e:

f(x) ex

=

Derivate di ln (x):

=

A'(x)

Derivate sin (x):

f'(x) cos(x)

=

Derivate di cos ( x) :

f'(x) sin(x)

= -

FUNZIONE DERIVABILE È CONTINUA

Funzione derivabile —> se esiste

Continua —> tutta scritta o ci sono dei punti nel campo di esistenza

Regole di derivazione g(x)] A'(x)

[x f(x) B Bog(x)

D + = a +

. · .

Derivata della somma di funzioni: g(x))

[f(x) f'(x) g'(x)

D f(x)

-g(x)

= +

· -

Derivata del prodotto di funzioni: f'(x) G'(x)

A(x)

y(x)

[] .

-

.

D =

Derivata del quoziente di funzioni: -

[g(x)] 2

[f(g(x)] f' (g(x) g'(x)

D = -

Derivata di una funzione composta: +

) [g'(x)

**

[f(X3

D In f(x)

·

Derivata di f (x) alla g(x) -(41]

D[A - =

Derivata della funzione inversa (4)

DERIVATA DI UNA FUNZIONE COMPOSTA

Consideriamo una furaione y (x) espressa come composizione di due funzioni f(x) e g (x):

f(g(x)

y(x) =

Si dimostra che la sua funzione derivata si calcola secondo la seguente regola:

y'(x) f'(g(x)) g'k)

= -

MASSIMI E MINIMI LOCALI

Nei punti di massimo e minimo locali di una funzione derivabile, interni al dominio, la derivata vale zero

MASSIMO LOCALE

F(Xo) XO

I(xo

X0= massimo locale interno a D, =› ]I(x0) e Df taleche: f(x) =< f(x0), XE I(x0)

-

TEOREMI DI BASE DEL CALCOLO

TEOREMA DI ROLLE

IPOTESI.

Data una funzione f(x) definita nell' INTEVALLO (a;b)

Se f(x) è CONTINUA in quell'intervallo

Se f(x) è DERIVABILE in quell'intervallo

Se f(a) = f(b)

TESI

f'(c) = 0

TEOREMA DI LAGRANGE

IPOTESI

Data una funzione f(x) definita nell' INTEVALLO (a;b)

Se f(x) è CONTINUA in quell'intervallo

Se f(x) è DERIVABILE in quell'intervallo

TESI

f'(c) =f (b) - f(a)