Fondamenti di ricerca operativa

DI KNAPSACK

la di

del binario

problema Knapsack

quindi formulazione

Max c L

a 0,1

E

Abbiamo 4

investibile

18.000

di diversi

euro su

capitale progetti

un 30

8mila

investi ricavi

va

e

mila

investi 24

ricavi

6 va

e

5 mila

investi 15

ricavi

va

e

4 mila

investi 12

ricavi

va

e

seinveste nel esimo

e i

progetto

i altrimenti

o il

massimizzare guadagno

per 15

24 12

Max 30 2 4

3

1 4 di

vincolo

18

5

Sx 6 knapsack

4

2 3

1 1

E 0,1

LOGICI

VINCOLI alle

binarie

variabili in

Xp

0,1

ne corrispondenti

Xp logiche

proposizioni

connettori 1

AND

logici IN

OR 1

NOT

X X

Analizziamo •

solo tra

se

VERA vera

e una e

se

x x

Xp da •

• da

rappresentato te 3 rappr 3

VT

X entrambi

• 1

11 essere

vera

quindi negativi

non possono

3

e

VX

VX •

al 1

le

x vera a atta

VE le

• le 11 471

xilt

vera

a

x incoli

i lineare

in

riscrivere formula

logici

possiamo X

modellalli che

del

IMPLICAZIONI tipo x

a

equivale a

2

1 221 ex

tornando all'esempio sugli

investimenti

investimenti

solo 2 2

si fare i

possono

l'investimento X

4

il

fattoanche

2

si va

fa

se a

i i

X

l'investimento 1 il

si

si x

3

pu˜fare

fa non

se 3

XIER

il che

utilizzi cantina

che nostro variabile

modello e

Xiao

una

Supponiamo A A

del

noi vincoli tipo Xiso proposizione

logici

imporre

vogliamo A

ti 0 variabile

MIO la

di valore SUPERIORE

Supponiamo LIMITE i

conoscere un per

Sia SE variabile l'naia

la A

ad

associata

0,1 A Ë il

il che modellare

vincolo xiso e

pu˜ i seguente

O

SMEO SE

Xi 0,1

i A •

A

il che i

modellare

vincolo i o

O

pu˜

Es E

SE so molto

70 valore

0,1

Xi piccolo

N.B di SE

valore

Esso imponella 0,1

ti qualunque

o

i per

es nella

Variabili dieta

i

i esimo

Xi 1 5 dell'ingrediente

quantitˆ i 5

i 1

1

Si esimo

inserisco

se l'ingrediente

Io altrimenti

f 4 19

min 2x 3 20

o 3 5

4

2 420522000 calorie

ho 260

160 180 3 4

2 4

8

4 14

13 proteine

5250

2 4

3

54 80

285 calcio

2x 22 700

5

4

3

2 leviti m

3 2 2 superiori

5

4

i

y delle

riscriverla

fai in vaiallicontune

devo funzione

1 Myi

o Xi

91 o

i

i il ruolo di

modella 931

esplicita

1

39320 330 43

3 di

ruolo

il

modella

29470 431

1 esplicita

94

Xu

4 so

In ee 9s

modella 1

70 so 4

49

i modella 1

95

29520 so

5 1 95

9

SCHEMA programmazione Imistal

lineare

di Intera

MODELLI

min c min c

ILPI 6 6

AX

Ax MILPI

0,137 Ie

E 50,13

20 I.ie

KE E

20 e n

MICA

PL intera

Problemi di mista

intera pi•

ICP sono complessi

e

DEF Si di

il PL ottenuto

IILP

di

CONTINUO

RILASSAMENTO problema

definisce

vincoli

rilassando i sulle variabili

interezza

di

min

2 C

Ax 6

ILPI 70

TI ERI

P 6

Siano QEP

Ax ZI

6 Ax

E 70

20 •

é del al

rilassamento ZI

al

continuo della

valore mio

minore pi•

uguale

o

ILPI EP tale che allora

I

N.B C 2 E •

• SOLUZIONE

se OTTIMA

di ILP EP

DIM CI

se

assurdo C'gectX

tic assurdo

yea

per ƒtazione

che di ILP

vego

es min 5.21

5

2 5

1 2 ae

ora

non o

era E

p 10,11 11,11

910,01

0

é

il rilassamento

Risolvendo otteniamo

contano

CHE c'x• I

ZI

2

_E é

soluzione

la

in E

ottima arrotonando

SI OTTIENE

generale NON

io 1 I

2 e

2x

considero 2E

che poichŽ

Xi

Xi a 0

2 equivale 2 e 220

era EP

EP

il

Risolvendo rilassamento min

2

contano z

C

min c

ottengo

00 ILPI

la

Pa R2 FORMAZIONE IDEALE di

definisce

E 0

2 l'ha

• calcolata la

si fatto

non prof

tutt tutti vertici

il

vertici

del avanti

I i

poliedro

interni cerco

poliedro sono

INTERI

In la

alcuni ideale

direttamente ad

casi arrivare senza

avere

possiamo formulazione

di svolgere complessi

bisogno passaggi

TI

DEF matrice •

Una detta

M TOTALMENTE

E UNIMODULARE se agli

TUM

ha determinante

sottomatica 1 1

0

quadrata elementi

dimostra

Si la matrice M

che suoi

• i 1

se 1

TUM 0

sono

HOFTNAM

TEOREMA KRUSKALI

AERM

Sia AXEL

che

la matrice I insieme

E

a

definisce 10

TI ER

6 ha

A P

allora

ammissibile AXEL

•

di Se

ILP E

TUM e 20

tutti i VERTICI

INTERI

Dim BER

base

prendiamo ammissibile

una idappgiity

B dato 1

Il • B li

da

elemento di

gemico itstˆdiga colonna

i esima

la

la e

eliminato

Binho

matite

Se l

A • TUM E I

B TI

TI 6

ha B

the

Poiche BE E

intero si la

• vettore SBA

e quindi

un

intera

• IVERTICI INTERI

Tutti SONO

III archi

nodi

atentato

TEOREMA la associata ad • TUM

matrice di incidenza A

G N

un grafo

• PL

il di

di

problema un problema

assegnamento

I mista

Programmazione intera lineare ZIZI

Z

min min

ZI c C

AXEL AXEL

MILPI E.IR

IEI

E E 1 n

PLI

DELLA

TEOREMA FONDAMENTALE Qm tutti

MILPI A 6

i

Dato A 1

di

E di Razionali

e

coefficienti sono

se

QM 6 che

tale di

allora 5

l'inviluppo

A a

E e convesso

e

5 AXEL

ER

Conv continente 5

il

• piccolo insieme convesso

pi• vertici soluzioni

che

solo del

l'inviluppo avrˆ ammissibili

convesso sono problema

DEF SEIR che • 6

dice •

dato DISUGUAGLIANZA VALIDA

si

un insieme una per

5 tutt

6 E

i

da 5

se • soddisfatta di

a punti µg

DEF FER

dato il rilassamentocontano Sia

LP

suo

MILP e una

ho

I

ILPI ihr almeno

f E

I

di

SOLUZIONE E

OTTIMA x

e e

supponiamo

interal

una componente non

La 5

valida TAGLIO

PER • pt

detta

GER se

pixeq 9

disuguaglianza per

violata da

la • x

ovvero disuguaglianza I

es min c arancioni

segmenti

g

EP hanno I

MILP E

I

E

S EP I

E 47

3

1 2 x

I

rilasso E contundottero

del

Escludendo il del rilassamento

minimo parte problema

tagliando

di non

qualcosa peggiore

Il risolve rilassamenti contui di

dei

metodo di

di taglio definisce

e

piani tagli

le ottime

escludere distribuzioni che intere

che sono

non

possono che le contano

iterazione

ad del

soluzioni

tagli tagliano

prendo probl

ogni il laund alla soluzione

di ottima

ricerca una

rafforzando I

che Kp soluzione

la ottima Se 1 71

LP jEI

di

sia

Supponiamo S'A ER il

A F

5 la

consideriamo

da

partire partizione 1 In ER Flil

IX

2

3

es min x 2 a

KPI 212 é

2

8 19

1 a

2 TI

E

20 io

ER

P I

19 1

ooo

MI

P

S siusa

51 0711,11

0,170,21

51 Sansa S

0

ei

1

x.ee 10,01

S 5 12,111

9 1 122

2 122

912,01

Pli Si

IL

Sia MILPI

il contano

rilassamento C

min E

di

Si due

verificare possibilitˆ

possono Si

• MILPI ammissibile p

LP NON AMMISSIBILE

1 • non il nodo

non Ammissibilita

itagliano per XI • ottima

2 soluzione

• AMMISSIBILE sua

LP una

e SI

Se E XI

I il

e

Za Ip INTEREZZA

NODO

TAGLIANO

je

1 per

é limite ZI

inoltre • su

un superiore

E

Se limite ZI

I II Z UB

UB

x•

26 e c su

e con superiore

i Bound il BOUND

UB Upper nodo

TAGLIANO per S'•

si

IeZ

I

se UB

24 t.c.fi

e e

j

i genero

In il

ER BRANCH

IXF

1 In Inflil

ER

S'a

mista

Programmazione intera bound

lineare metodoBranch

e iniziale

Po rilassamento

es precedente

riprendo Lpo 3,51

XI NODO RADICE

1,5

2º 8 LP

LP variabile

branch il

su PEPA

P P X2

A e

1,37

Ip Xp 12 1,51

I.si aafe

5 xd

sueeasecanaavaiacia

42

it

p2 p

per

P Pn P

p

ER n 122

ammissibilitˆ

tagliato non

per

é 2.125,11

22 7,375

Ibrauching su 2

Ip

Lp pa p 3

4

p

p n

n 2 1

ammissibilitˆ

tagliato non

per

12,11

iieiitutererral

t.ge tutti lound

Abbiamo branih

albero di

modi

enumerato dell

i possibili

2,11

•

la soluzione ottima

SCHEMA

INPUT MILPI

L che

O UB

No LP

PASSO il

No RADICE o

• p

NODO a

corrisponde

1 I

While

PASSO lo

I

Ni

PASSO rimuovi

2 Seleziona E e Zi

LP

Risolvi la valore

ammissibile il

ottima

Passo sua soluzione

e suo

3 e

se

Se LP al

• 1

non AMMISSIBILITË

torna PASSO

AMMISSIBILE PER

TAGLIO NON

Altrimenti