Fondamenti di ricerca operativa

O

≥

Yg

minctx =D

✗

1-

× o

≥ 4110122

METODO GRAFICO

minimizzare

esempio : 5×1-1×2

Min - -12×2<-4

×

- , -14×2

✗ Il

i ≤

4×1-4×2<-13

✗ ✗ 270

, i ✗ 21 r

✓ soluzione

ottima

✓ 1=24/-5

{

{ -14×2=11

× ✗

,

4×1-4×2=13

{ 2=3420

✗

{

{ • ' × ,

i ✓

r

esempio

5×1-1×2

Min - 2×1+2×2 4

≤

- \ "

" ^ r

/

4×1-4×2<-13

✗ i

✗ 27,0

i i SDWZ .

Ottima '

• × ,

i r

SIMPLESSO

METODO DEL )

Graph ( visualizzare

esempio per

Min ✗

5 × + ^

2

- , 4

✗ Si

-12×2 =

- + ↓

i ↓

✗ 4×2 a

Il

+ 52 =

+

i

4×1-4×2 +53=13

✗

✗ Si S3 0

Sz ≥

2

i , , , :

bo Cosa

Qo ✗

z +

+ 2

= lei

✗ b

+ -1452

✗

=

, 2

, ↑

92

Si bz 252

(

✗ +

+

= 2

b}

93

Sg (

+ 352

+

✗

= 2

yz 5×1-1×2

-

= ✗

4 2×2

Si + i -

= Il 4×2

Sz ✗ i -

-

= 4×1+4×2

'

Sg 3 -

= (

canonica )

Forma si S3

si , , 13

( )

(

Si 0

0 11

SI

✗ 4

S3 )

✗ =

1 2 , ,

,

,

i

, ,

, Sol amm

. . '

variabili '

cseffneg variabile

perche

scelgo con quella puo

)

modificata ( ad

da 0 altro

essere un perché

numero così

diminuisce

Obiettivo

F

la 2- 5×1-1×2

-

= ✗

4 2×2

Si + i -

= Il 4×2

Sz ✗ i -

-

= 4×1+4×2

'

Sg 3 -

= (

canonica )

Forma 52,53

si , Risolvo ✗

per i

0

4 × ≥

+ , ' 314 7-

✗ >

→

o

≥

×

Il ✗ ✗

Sg

i +

, =

/

- - 2

,

13-4×1>-0 I

LE 2)

/ £53

0 ✗

2- 5 + ✗

+

= 2

-

- ( )

↓ 53 ✗

+ 2×2

4

Si + 2

= - -

¥

COSI funz (

la ¥53 ) 4×2

Il ✗

s +

- 2

, -

. = -

migliorata

obiettivo è

✓ ' È

✗ = Sgt ✗

I _ 2

,

L

§

6¥

2- S 4×2

+

= - -

}

2¥

S È ✗

= S3

, 2

-

_ ,

3¥

Sz +41-53-5×2

= Forma canonica

LI

✗ È

= )

i ✗

+

53 2

- , "

di base

"

variabili si

canoniche Sz 4

, ,

" " " "

" " "

° "

)

( 2¥

¥ ¥ io

o

, . , ?

ottima

è

soluzione

cosi la no

↓

vogliamo fare

✗ nelle

entrare z

di base

V. \

29 ✗ ≥ o

2

-

a- facendo

cosi

È 5×2 ≥ ◦

-

t.gs

2=3%-1 sz

{ esce dalle

✗ ss - , canoniche

◦ 7- o

✗ ≥

2

+

§

6¥

2- Sg 4×2

+

= - -

2¥

s È ✗

= S3

, 2

-

_ ,

3¥

Sz È

+ 5×2

= S3 -

7-

✗ È

=

i ✗

+

S3 2

- ,

6¥

2- È

2%+2%53 )

(

È

= - S 4 s2

}

+ -

-

2,1 (

si 32%+12-053 ¥52

{

= S3 - -

-

32% %

✗ È

53

z +

= 52

- )

(

13 Io

È

È È

✗ i so

= sz

S3 + + -

E -

, obiettivo

funz variabili

↓ g+§ fori base

-4¥ %

2- = +

¥

' È

si È "

S3

= +

- ottima

cosi soluzione

ho

_

Io È 42¥

32% +

✗ di

so sz

2 _ prima

minore

= - cseff

SI

Ss hanno

e

24-5 È

✗ § Sz

53

= .

' -

- negativi

i

sowz ≥ o

variabili

di bar ?⃝ 10110122

s.at/:::::::-s

|

' /

/ :|

-5×1-1×2

0

2- "

= "

"

"

" 4914

" '

"

" 1453

" si ✗

= 2

- -

52=11 Szout

-4×2

× ,

- '

314

53=13 -4×1+4×2 ✗ " ✗

453 + 2

i =

s -

1 ÷ :*

214120+4552-340%5

::< ]

: :S

Si = .

✗ 1=24/5-4552 ¥53

-

C' )

( -5 I 0

O

0

=

A- I

I 9

O

0

2

= - D= Il

O

I 0

1 I I 13

O

4 0

-4 (

I 0 0 2

'

_

}

{

B- Si 52,53 D= O 0 I

I Ne 4

_ , .

O I

0 4 -4

base

base non

c' 1- =D O

S.t

Min ✗

✗ ✗ ≥

. Ò=( XÙCX 2)

( )

) ✗

✗

✗ ✗

XB 52,53

si

u n ,

, CÙ

CBT =/ )

) -5,1

010,0

(

=

CBTXB cjxn

min min Z

+ -1

BXBTNXN b

=

0

XN

✗ ≥

B , ' ' '

Risolvo B- B- O

b

✗ ✗ B-

b- nxn ≥

: B. = B. =

BT CNTXN

'

' )

B-

(

( B- b-

2- NXN +

= (

' )

È '

CÈ

Cni

b

( B- B- XN

n

= + -

MI 0

viene

XN posto = '

obiettivo

=) la sara

funzione

È '

B-

(

2- b

=

4 base ho scelto

che -449

6.*

0 →

→ - -30

{

{ { } }

}

Si Si

Si

Si 53 Sz → ✗

→ ✗ ×

2 ,

i

/ ,

, / ,

,

454 } 44/5 }

C- )

5,1 → -4 → i

, , "

AERM

]

CI

Detto {

Dlf min 1- =D

:

problema ✗ 70

✗

un ,

,

del matrice formata

base è sotto

problema una mxm

una indipendenti

linearmente

da colonne '

ammissibile

è se ≥

b

Def base B- o

Una

il

Th ottima

te sol

ammette

problema una .

7

=) B ottima

}

Se }

Th base

EIRN B

1- ammette

× o

=D ≥

✗ ✗ una

: , poliedro P

corrisponde vertice

B

allora ad un del

TABLEAU

METODO DEL '

cè

'

È

O B- b

Z

CNT B- =

( - -

n

- '

I '

B- N B- b

Riveda esempio scorsa

lez cosi sempre

deve essere

✓

5 0 0

I O

- 9

0

I O

I 2

- O

I Il

0

I

4 O

0 I 13

4 -4

✗ 53

Si

✗ 52

i 2

La ?

soluz ottima

è No per -5

① Riga Vat Uscente / pivot

per

. è 0

di

NI pivot

elemento sempre >

| |

|

5 0 0

I 0 in

- × ,

9

0

I O

I 2

- O

I Il

0

I S3

4 out }

,

yg

g.gg , 1g o

,

☐ a

, ,

_ Si S3

Sz

✗

✗ ✗

Si Sz S3

✗ 2 2

i

i

② Elimino righe

elementi pivot

colonne invertito

-

6514 segno

514

0

( O 0

) -4

+5 ( t)

infatti scrivo

4914

1

)

( O V4 -

I

+1 O 344

'

5

1) O

0

C- I 14

- diminuisce

2- sempre

-

34

'

'

0

I 0

I 14

- (

\ /

si S3

Sz

✗ ✗ 2

i }

{

Base Si 52in

,

③ ①

Reitero /

| 44920

6514 4/52420

514

0 0 0

O 0 O

-4 in

✗ 2

j%4

l 5340214/20

"

I

0 "

' 0 O

0 4 - '

"

' 3420

5 O

0 I '

0

I

O

14 - 20

,

g 5

ou

- ,

34 2415

'

' "

0 0

0 I

I 0

I 14 5

- Si S3

Sz Si S3

Sz

✗ ✗ ✗ ✗

2 2

i i

in

il

perché

ammissibile ? tableau '

sì da

penitenza

soluz soluz

- ammissibile perché 420

45

? si

è ottima ≥ o

- ,

passaggi '

I

( invertibile

) B- b

B

B

scegli ≥ 0

:

'

Ii B- b

)

( ✗ B =

[ è CNT '

BT B-

( n

= -

Ci ✗

White

)

Iii 0

( : / "

"

CÌN ' 13/4

(a) fuori

i

scegli 0

li

base < rapporto

✗ . . .

IÀJIIJ illimitato

(b) problema

→

o

≤

j-argminfbbq.si ÀJI }

(c) E

j o

1 m : >

: -

. .

individuo

cosi aji

> {

B }

Nuti

(d) B

c- i

Ti ciò '

ci B- N

= - ?

Ling

in algebrico

ci

IB )

come traduco .

l

Min X +3 ✗ z

, 6 '

ZX 5 ≥

×

+ ,

,

3×1 7

Xz ≤

+ 0

≥

Xi ✗ 2

, ↓

Riscrivo : 7

min ✗ 1+3×2 6

2×1+5×2 S = L

- , 7

+

3×1 ✗ sz

+

2 =

Si

✗ ✗ O

Sz ≥

2

I | , ,

( )

' b-

B- -

METODO DELLE 2 FASI

Min Yi yz

+ 6

2×1+5×2 =

S + &

- '

, 7

3h sz

+

✗ yz

+

+ =

2

✗ 70

Si Sz

Xp Yi yz

i i 10122

Il /

min -13×2

× , L

6

2×1+5×2 S

t i

5. =

,

-

. 3×1-1×2 +52=7

✗ S 70

Si

✗ 2

li , , .

Fase I 7

L

Min Yi -182

2×1+5×2

Set 6

y

S + =

- ,

,

. 3×2 tsz -7

+ yz

+ ✗ -

2 SI

Si

✗ Yi 70

✗ yz "

2 devo zeri

/

1 0,1--9 avere

, , ,

, -13

devo avere

0 -

o

☐ 6

I 0

2 5 O

-1

0 7

O

3 I

1

I Yi

Si Sa

✗ Yz

&