Fondamenti di meccanica teorica ed applicata (parte 8) - Metodi energetici per la dinamica di corpi rigidi

3-METODI ENERGETICI PER LA DINAMICA DEI SISTEMI DI CORPI RIGIDI

3.1-ESTENSIONE DEL PRINCIPIO DEI LAVORI VIRTUALI ALLA DINAMICA

L'obie vo del capitolo 3 è sviluppare un'evoluzione di quanto già visto per la sta ca,

u lizzando un approccio energe co. Il punto di partenza è il principio dei lavori virtuali

applicato alla sta ca, di cui verranno ora presentate diverse declinazioni per arrivare a

formulare equazioni che non contengono le reazioni vincolari.

Quando si scrivono le equazioni di equilibrio sta co, o più in generale di equilibrio dinamico,

applicando il principio di D'Alembert, si rende necessario un procedimento specifico.

Considerando un corpo rigido su cui agiscono diverse forze applicate, per scrivere le

equazioni di equilibrio dinamico occorre innanzitu o rimuovere i vincoli ed evidenziare le

corrisponden reazioni vincolari. Questo procedimento era già stato visto per la sta ca.

̇

L'effe o della dinamica del sistema, ovvero del fa o che il corpo non si trovi effe vamente

in condizioni di equilibrio (dove per equilibrio si intende moto re lineo uniforme o quiete),

viene introdo o a raverso una forza di inerzia applicata nel baricentro e una coppia di

inerzia applicata sul corpo che ene conto della rotazione del corpo. A meno di casi

par colari, quando si ha ad esempio una cerniera e si può o enere un'equazione senza

reazioni vincolari scrivendo l'equilibrio alla rotazione a orno alla cerniera stessa, in un caso

più generale questa operazione risulta sostanzialmente impossibile. Occorre scrivere una

serie di equazioni, picamente più di una, per determinare il moto assegnate le forze, o

viceversa calcolare le forze necessarie per produrre un determinato movimento del sistema.

In generale, se si ha a che fare con un sistema con n gradi di libertà, occorre scrivere un

numero di equazioni maggiore di n per poi ricavare le n equazioni risolu ve. Quello che

verrà sviluppato perme erà invece di scrivere dire amente le n equazioni necessarie, senza

dover passare per equazioni aggiun ve contenen le reazioni vincolari. Come già visto per

la sta ca, questo si può fare usando il principio dei lavori virtuali. Si procederà quindi ad

estendere il principio dei lavori virtuali al caso generico di un sistema dinamico, in cui sono

presen uno o più corpi rigidi che sono in generale in movimento.

Il principio dei lavori virtuali per la sta ca afferma che la condizione necessaria e sufficiente

affinché un sistema di corpi rigidi si trovi in condizioni di equilibrio sta co è che il lavoro

virtuale di tu e le forze, escludendo le reazioni vincolari (che hanno lavoro virtuale nullo

per vincoli lisci e fissi), sia nullo.

L'estensione alla dinamica avviene considerando che, secondo il principio di D'Alembert, è

possibile tra are l'effe o del movimento a raverso delle azioni fi zie: la forza di inerzia e

la coppia di inerzia. Se si considerano tra le forze che agiscono sul sistema anche le azioni

di inerzia, si può scrivere che il lavoro virtuale di tu e le forze, comprese quelle di inerzia,

deve essere nullo. Questa diventa una condizione necessaria e sufficiente affinché il

sistema si trovi in condizioni di equilibrio dinamico:

= 0

Il caso di equilibrio sta co diventa a questo punto un caso par colare, perché in condizioni

di equilibrio sta co sia la forza di inerzia che la coppia di inerzia sono nulle. Occorre quindi

semplicemente aggiungere ai termini già scri per la sta ca il lavoro virtuale delle azioni di

inerzia, ricordando che in questo termine sono incluse sia la forza che la coppia di inerzia.

Il lavoro virtuale deve includere il contributo della forza di inerzia e della coppia di inerzia:

⃗ = −⃗

⃗ ⃗

= − ̇

Per scrivere ques termini occorre ricordare la definizione di lavoro virtuale: è il lavoro di

una forza o di una coppia per uno spostamento o una rotazione virtuale.

Uno spostamento virtuale, o una rotazione virtuale, deve essere di en tà infinitesima e

compa bile con i vincoli. Questa cara eris ca è fondamentale per la validità del metodo. Il

lavoro virtuale totale può essere scomposto in due sommatorie per comodità. La prima

sommatoria, da 1 a con ene solo le forze a ve, quindi le forze esterne comprese

,

eventuali forze peso che agiscono sul sistema. Il lavoro virtuale di queste forze è il prodo o

scalare della forza j-esima per lo spostamento virtuale del suo punto di applicazione.

Occorre poi scrivere termini analoghi per le azioni di inerzia. Il lavoro virtuale delle azioni di

inerzia viene espresso a raverso una sommatoria per i che va da 1 a , evidenziando così il

fa o che si scrive l'equazione per un sistema di corpi rigidi. Il lavoro virtuale della forza di

inerzia si calcola come il prodo o scalare della forza per lo spostamento virtuale del punto

di applicazione. La forza considerata è la forza di inerzia, il cui punto di applicazione è il

baricentro, quindi il lavoro è il prodo o scalare tra la forza, ovvero meno la massa per

l'accelerazione del baricentro dell'i-esimo corpo rigido (indicata con il pedice i), e lo

spostamento virtuale del baricentro dell'i-esimo corpo rigido. La stessa procedura si applica

per la coppia di inerzia. La coppia di inerzia è una coppia e quindi il suo lavoro richiede una

rotazione. Il termine è quindi meno il momento di inerzia baricentrico dell'i-esimo corpo

⃗

⃗

rigido, per l'accelerazione angolare dell'i-esimo corpo rigido, per la rotazione virtuale

̇

dell'i-esimo corpo rigido. ⃗

⃗ ⃗

⃗ ⃗

= × + (−⃗ × − ̇ × )

A questo punto occorre scrivere tu i ve ori in componen cartesiane:

⃗ = ⃗ + ⃗

⃗

= ⃗ + ⃗

⃗ = − ⃗ − ⃗

,

⃗ = ⃗ + ⃗

⃗

⃗ = − ̇

, ⃗

⃗ =

Per arrivare all'equazione finale vista per il principio dei lavori virtuali in sta ca, occorre

introdurre i legami cinema ci tra le variabili. Le variabili come o (che

rappresentano gli spostamen virtuali) sono in generale funzioni delle variabili indipenden

dove k va da 1 a n. Per un sistema con n gradi di libertà si hanno n variabili

, , … ,

indipenden , e tu e le variabili cinema che (spostamen virtuali, rotazioni virtuali) sono

funzioni di queste variabili indipenden :

= ( , , … , )

Per calcolare o si u lizza la regola di derivazione per funzioni composte. Il

differenziale (rappresentato con δ per indicare l'arbitrarietà delle variazioni virtuali, ma

sostanzialmente equivalente a un differenziale standard) di una funzione di n variabili si

scrive come:

=

=

Occorre quindi prendere queste espressioni, sos tuirle nell'equazione del lavoro virtuale e

manipolare le sommatorie:

= + + − − − ̇

= + = 0

,

A questo punto il ragionamento è iden co a quello fa o per la sta ca. Dato che gli

spostamen virtuali sono totalmente arbitrari (l'unica condizione è che siano

infinitesimi e compa bili con i vincoli), l'unico modo affinché la sommatoria sia uguale a

zero per ogni combinazione possibile di è che i coefficien di siano sempre nulli.

Questo significa che: + = 0 = 1, … ,

,

Questa equazione non è una singola equazione, ma rappresenta n equazioni, con k che va

da 1 a n. Mentre per la sta ca si aveva che la componente lagrangiana delle forze a ve

rispe o alla variabile k-esima doveva essere nulla, ora deve essere nulla la somma della

componente lagrangiana delle forze a ve più quella delle forze di inerzia. Questo perché

l'effe o del movimento, secondo il principio di D'Alembert, è associato alla forza di inerzia e

alla coppia di inerzia.

Come già evidenziato per la sta ca, la potenza di questo metodo risiede in due aspe

fondamentali. Il primo è che in queste equazioni non compaiono le reazioni vincolari.

Questo accade perché i vincoli sono fissi e lisci, quindi il lavoro virtuale di qualsiasi reazione

vincolare è nullo: lo spostamento virtuale del punto di applicazione delle reazioni vincolari è

nullo, o lo spostamento rela vo (se si ha un vincolo tra due corpi) è nullo. Tu e le reazioni

vincolari hanno quindi lavoro virtuale nullo e non compaiono nelle equazioni finali.

Il secondo aspe o fondamentale è che per un sistema a n gradi di libertà, queste equazioni

sono esa amente n. Questo metodo fornisce quindi dire amente tu e le n equazioni di

moto pure, senza reazioni vincolari. Questo deriva dal fa o che gli spostamen virtuali

sono arbitrari, non sono necessariamente gli spostamen infinitesimi reali, ma sono

solo infinitesimi compa bili con i vincoli. Tra tu gli spostamen virtuali possibili ci sono

anche quelli reali, ma la famiglia è più ampia.

ESEMPIO APPLICATIVO: ASTA INCERNIERATA AD UN ESTREMO

Per illustrare concretamente l'applicazione del principio dei lavori virtuali alla dinamica, si

considera l'esempio di un'asta omogenea di massa e lunghezza incernierata a un

2,

estremo. Sebbene in questo caso specifico sia rela vamente semplice scrivere l'equazione

di equilibrio dinamico, l'esempio perme e di verificare che il metodo fornisce

automa camente le equazioni senza reazioni vincolari, senza dover cercare par colari

combinazioni di equazioni.

Il sistema è cos tuito da un'asta che può ruotare a orno a una cerniera fissa. Si introduce

un sistema di riferimento cartesiano XY con origine O nell'estremo incernierato, e si sceglie

come variabile indipendente l'angolo θ che rappresenta la rotazione dell'asta rispe o a una

direzione di riferimento. ⃗

⃗

Per applicare il principio dei lavori virtuali è necessario iden ficare corre amente tu e le

forze che agiscono sul sistema. Il vincolo di cerniera non compare nel calcolo poiché il suo

lavoro virtuale è nullo. Le forze esterne si riducono alla forza peso, mentre le azioni di

inerzia comprendono sia la forza di inerzia che la coppia di inerzia:

⃗

= −⃗ = −⃗

⃗ = −⃗

⃗ ⃗

= − ̇

Il momento di inerzia baricentrico di un'asta omogenea rispe o al suo centro vale:

1

= (2)

12

Per determinare l'accelerazione del baricentro si introduce un sistema di riferimento locale

composto da due assi: un asse dire o radialmente verso il centro di rotazione e un asse ̂

⃗

perpendicolare all'asta. Poiché il baricentro descrive una traie oria circolare, la sua

accelerazione presenta due componen , una normale e una tangenziale:

̇ ̈

⃗ ⃗

= −⃗ = −

⃗ +

L'accelerazione angolare dell'asta corrisponde alla derivata della velocità angolare. Poiché la

velocità angolare vale θ, l'accelerazione angolare risulta θ dire a lungo il versore

perpendicolare al piano del moto. Allora varrà che: ⃗

̈

⃗ ⃗

= − ̇ = −

Un aspe o fondamentale del metodo riguarda il calcolo degli spostamen virtuali. Prima di

calcolare dire amente lo spostamento virtuale del baricentro, conviene determinare la

velocità del baricentro, che per definizione è la derivata del ve ore posizione rispe o al

tempo. Poiché il sistema ha un solo grado di libertà, la posizione del baricentro dipende

unicamente da θ e quindi: ( − 0) ( − ) ̇

⃗ = =

Lo spostamento virtuale segue la stessa stru ura. Per definizione, lo spostamento virtuale di

un punto è la derivata della sua posizione rispe o alle variabili indipenden , mol plicata

per le variazioni virtuali di tali variabili. Nel caso specifico, con una sola variabile

indipendente θ, si ha: ( − )

⃗ =

Confrontando queste due espressioni emerge un risultato importante: i coefficien che

mol plicano θ nella velocità sono iden ci a quelli che mol plicano δθ nello spostamento

virtuale. Questo vale in generale per sistemi con n gradi di libertà, dove le derivate delle

posizioni rispe o alle coordinate generalizzate appaiono sia nelle espressioni delle velocità

che in quelle degli spostamen virtuali.

Pertanto, una volta risolta la cinema ca e calcolate le velocità, si o engono

automa camente anche i coefficien necessari per gli spostamen virtuali.

Vale che: ( − 0) ( − ) ̇ ̇⃗

⃗ = = =

Dato che: ( − ) ⃗

=

Allora: ( − )

⃗ ⃗

= =

Questo risultato ha una chiara interpretazione fisica: per un sistema con un grado di libertà,

lo spostamento virtuale deve necessariamente essere dire o lungo la tangente alla

traie oria, essendo l'unico spostamento compa bile con i vincoli.

Per la rotazione virtuale dell'asta si procede analogamente. La velocità angolare è:

⃗

⃗

̇ ̇

⃗

̇ = =

Quindi la rotazione virtuale vale: ⃗

⃗

=

A questo punto si possono assemblare tu i termini del lavoro virtuale. Conviene proie are

dire amente la forza peso lungo la direzione tangenziale, poiché lo spostamento virtuale è

dire o lungo tale direzione: ⃗

̇ ̈⃗ ̈

⃗ ()⃗ ()⃗

= cos() × −

⃗ + × − ×

̈ ̈

= −() − − = 0

Affinché questa equazione sia soddisfa a per qualsiasi valore di δθ, il coefficiente