Fondamenti di meccanica teorica ed applicata (parte 6) - Equilibrio statico di sistemi di corpi rigidi, Principio dei Lavori Virtuali e Proprietà inerziali di corpi rigidi

FONDAMENTI DI

MECCANICA

TEORICA ED

APPLICATA

-Dinamica-

1-STATICA DEI CORPI RIGIDI E GEOMETRIA DELLE MASSE

1.1-INTRODUZIONE ALLA DINAMICA (PASSANDO PER LA STATICA)

Fino ad ora ci si è occupa di cinema ca, ovvero di descrivere come si muove un sistema

assegnate certe variabili. Per esempio, nel caso di un pendolo, assegnando la variabile

cinema ca θ (teta), è stato possibile calcolare velocità e accelerazione di tu i pun

necessari.

Da questo momento in avan , l'approccio cambia completamente. Si possono porre due pi

di domande fondamentali. La prima domanda può essere: qual è l'angolo θ in un dato

momento quando il sistema è sogge o a certe forze, in par colare a una forza esterna, al

suo peso e ad altre sollecitazioni? La seconda domanda è duale: se si vuole che l'angolo θ

segua una certa funzione stabilita del tempo, ovvero se si desidera che il pendolo si muova

secondo una legge oraria prestabilita, quali sono le forze che perme ono di o enere quel

movimento? ⃗

Un esempio pra co aiuta a chiarire questo conce o. Si consideri un manipolatore robo co.

Se si pensa a questo sistema come a un robot, picamente ciò che si vuole o enere è una

certa posizione fissata dell'effe ore terminale del robot, perché il robot deve compiere

operazioni specifiche all'interno di un ciclo di lavoro. In questo caso, la domanda non è

quanto vale θ, ma piu osto: voglio che θ sia una certa funzione del tempo, voglio che il

robot abbia un certo movimento all'interno del suo ciclo di lavoro, che poi si ripete

ciclicamente. Quali sono quindi le forze, picamente le coppie da assegnare ai vari bracci del

robot, affinché si realizzi quel movimento desiderato?

Il primo problema viene chiamato problema di dinamica: assegnate le forze, qual è il

movimento del sistema? Il secondo problema viene chiamato problema di dinamica

inversa: quali sono le forze che perme ono di realizzare un movimento desiderato?

Ques due problemi si risolvono u lizzando lo stesso approccio matema co: bisogna

scrivere le stesse equazioni. Ciò che cambia è semplicemente cosa è noto e cosa è incognito

in quelle equazioni. Per esempio, nel caso del pendolo, siccome quel sistema ha un grado di

libertà che può essere rappresentato dalla rotazione θ, o è nota θ e allora si può calcolare la

forza che la genera, oppure se si assegnano una o più forze, si può calcolare quale sarà θ,

che è la variabile cinema ca.

Esiste quindi una relazione fondamentale tra le forze e le variabili cinema che. La terza cosa

che si può fare andando a risolvere il problema di dinamica, sia essa dinamica dire a o

dinamica inversa, è andare a calcolare le forze che vengono scambiate sui vincoli e quindi

le forze di rezione vincolare. Quando si è parlato di vincoli dei corpi rigidi, si è de o che per

far sì che un punto in cui è presente una cerniera rimanga fermo, è necessario applicare

delle forze.

Si considereranno per ora sistemi non in movimento ma fermi. Si tra a quindi di un caso

semplificato, nel senso che il caso generale riguarda sistemi in movimento, e si può vedere il

caso sta co, con sistemi fermi, come caso par colare di un sistema in movimento che ha un

movimento nullo. Si parla quindi di sta ca: gli strumen sviluppa nel paragrafo 1 verranno

poi generalizza nel caso di sistemi in movimento (dinamica)

RIASSUNTO: INTRODUZIONE ALLA DINAMICA

La cinema ca si limita a descrivere anali camente le variabili (grandezze) cinema che.

La dinamica ricerca il legame tra le variabili cinema che e le forze applicate al sistema (la

causa dei valori delle variabili cinema che):

 Dinamica (dire a): come sono le variabili cinema che dato un certo sistema di forze

applicato?

 Dinamica inversa: quali sono le forze da applicare per avere determinate variabili

cinema che che hanno una certa legge oraria?

Considereremo come forze quelle dei vincoli e inizieremo dal caso sta co (sistemi fermi, che

vedremo essere casi par colari di sistemi in movimento)

1.2-STATICA DEL PUNTO MATERIALE E DEL CORPO RIGIDO

Si parte dal caso più semplice, che dovrebbe essere già noto: la sta ca e la dinamica del

punto materiale. Il punto materiale è una approssimazione, un modello di un corpo che ha

dimensioni trascurabili rispe o al problema che si va a studiare. In generale, per ora si

assumeranno delle proprietà di inerzia per ques pun , picamente una massa. Poi,

successivamente in dinamica, si parlerà di cosa succede con le altre proprietà di inerzia del

corpo rigido.

Si definiscono ora le condizioni per iden ficare un punto materiale in equilibrio sta co. Si

supponga che questo punto materiale sia sogge o a una serie di forze F₁, F₂, F₃, ..., Fₙ.

⃗

⃗

⃗

⃗

Da un punto di vista cinema co, come può accadere che questo punto si trova in condizione

di equilibrio sta co? Si definisce quindi equilibrio sta co un caso in cui il punto materiale o

permane in una condizione di quiete (velocità nulla), o si muove di moto re lineo

uniforme. In entrambi ques casi, le accelerazioni sono nulle.

Condizione necessaria e sufficiente affinché un punto materiale si trovi in condizioni di

equilibrio sta co è che la risultante delle forze deve essere uguale a zero:

=

Essendo condizione necessaria e sufficiente vale che se il sistema è in equilibrio sta co la

risultante è nulla, e viceversa.

Nel piano, questa equazione ve oriale si traduce in due equazioni scalari. Un ve ore nel

piano ha due componen , e per essere nullo il ve ore devono essere nulle entrambe le

componen : =0

=0

Due equazioni perme ono di calcolare al massimo due variabili incognite.

Si passa ora dal punto materiale al corpo rigido generico nel piano. I vincoli cinema ci non

vengono rappresenta dire amente, ma a raverso le forze di reazione vincolare. Se ci sono

vincoli del corpo rigido rispe o a terra, ques vincoli vengono elimina dal disegno e

rappresenta con le forze di reazione vincolare corrisponden . In generale, un corpo rigido

è sogge o a una serie di forze F₁, F₂, F₃, ..., Fₙ

⃗

⃗

⃗

⃗

La differenza sostanziale che porta alla scri ura di equazioni aggiun ve risiede

nell'estensione del corpo. Nel punto materiale, essendo privo di dimensioni, tu e le forze

sono applicate nello stesso punto. Il punto di applicazione di tu e le forze è il punto

materiale stesso. Nel corpo rigido, avendo il corpo una sua estensione, ciascuna forza può

essere applicata a un punto diverso. La forza F₁ è applicata a un punto P₁, la forza F₂ a un

punto P₂, e così via. In generale P₁, P₂, P₃, ..., Pₙ sono pun dis n che appartengono al

corpo rigido. Questa molteplicità di pun di applicazione perme e di scrivere equazioni

aggiun ve legate alla rotazione del corpo.

Per il corpo rigido valgono due equazioni fondamentali. La prima è analoga a quella del

punto materiale: il ve ore risultante delle forze deve essere nullo:

=

La seconda equazione, aggiun va rispe o al punto materiale, riguarda i momen . La

presenza di diversi pun di applicazione può generare una rotazione del corpo. È necessario

quindi annullare il momento di tu e le forze rispe o a un polo.

Per definire il momento è necessario scegliere un punto di riferimento chiamato polo,

indicato con O. Il momento è un ve ore definito come la risultante dei momen di tu e le

forze applicate: = ( − ) ∧ = 0

Il momento di ciascuna forza è il prodo o ve oriale tra il braccio e la forza. Il braccio è il

ve ore posizione tra il punto di applicazione della forza Pᵢ e il polo O. Il prodo o ve oriale

tra due ve ori produce un terzo ve ore. La somma di tu ques ve ori momento deve

essere nulla affinché il corpo rigido si trovi in equilibrio sta co.

Nello spazio tridimensionale, le due equazioni ve oriali corrispondono a sei equazioni

scalari: tre componen del ve ore e tre componen del ve ore . Nel piano, invece, le

due equazioni ve oriali corrispondono a tre equazioni scalari.

Nel piano, le forze e tu i ve ori (Pᵢ - O) giacciono nel piano stesso. Il prodo o ve oriale

produce un ve ore ortogonale al piano, quindi con componente solo lungo il versore

(perpendicolare al piano). L'equazione per la risultante fornisce due equazioni scalari

(componen x e y), mentre l'equazione per il momento fornisce una equazione scalare

(componente z). Le tre equazioni scalari sono: due equazioni di equilibrio alla traslazione

(derivan da = 0) e una equazione di equilibrio alla rotazione (derivante da = 0).

=0

=0

=0

Le tre equazioni possono essere scelte in modi alterna vi, purché rimangano linearmente

indipenden . La scelta standard prevede due equilibri alla traslazione lungo due assi

ortogonali più un equilibrio alla rotazione. Tu avia gli assi non devono necessariamente

essere ortogonali, basta che non siano paralleli. È possibile rimpiazzare un'equazione di

equilibrio alla traslazione con un'altra equazione di equilibrio alla traslazione, purché la

nuova direzione non sia parallela a quella già considerata. Il polo per l'equazione al

momento è arbitrario e può essere scelto liberamente.

Altre combinazioni possibili includono: due equilibri alla rotazione e un equilibrio alla

traslazione (Rₓ, Mₒ₁, Mₒ₂), con la condizione che l'asse x non sia perpendicolare alla

congiungente tra i due poli: =0

=0

=0

È anche possibile usare tre equilibri alla rotazione purché i tre poli non siano allinea :

=0

=0

=0

POSSIBILITA’ DI SCELTA DELLE EQUAZIONI PER L’EQUILIBRIO STATICO

CONDIZIONE PER FAR SI CHE LE EQ. SIANO

TIPO DI SCELTA L.I.

SCELTA STANDARD: 2 equilibri alla

traslazione lungo due assi ortogonali e 1

equilibrio alla rotazione

2 equilibri alla traslazione tra due assi non I due assi non ortogonali non devono essere

ortogonali e 1 equilibrio alla rotazione paralleli

La direzione in cui si fa l’equilibrio alla

1 equilibrio alla traslazione e 2 equilibri alla traslazione non deve essere ortogonale alla

rotazione congiungente dei due poli

3 equilibri alla rotazione I tre poli non devono essere allinea

Qualsiasi di queste scelte fornisce tre equazioni linearmente indipenden . Tre equazioni

perme ono di calcolare tre incognite. Per un corpo rigido libero o vincolato nel piano si

possono calcolare le tre coordinate di posizione (posizione di un punto più rotazione),

oppure, nel caso di corpo vincolato, le variabili libere e le reazioni vincolari necessarie.

Questo vale per sistemi con vincoli ben pos , ovvero al più isosta ci.

Prima di procedere con i sistemi di corpi rigidi, è u le approfondire il conce o di momento.

Si consideri una forza applicata in un punto P. Il calcolo del momento di questa forza

rispe o a un polo O richiede di sviluppare il prodo o ve oriale definito precedentemente.

⃗

Il momento è definito come: = ( − ) ∧

Il ve ore (P - O) può essere scomposto come somma di due ve ori. Si iden fica il punto Q

sulla re a perpendicolare alla direzione della forza F passante per O. Il ve ore (P - O) si

scrive come somma di (Q - O)+(P - Q):

− ⃗

Sfru ando la proprietà distribu va del prodo o ve oriale:

= [( − ) + ( − )] ∧

(

= − ) ∧ + ( − ) ∧

Il secondo termine è nullo perché i ve ori (P - Q) e sono paralleli. Il prodo o ve oriale di

due ve ori paralleli è sempre zero, indipendentemente dal loro verso. Quindi il momento

dipende esclusivamente da dove si trova il punto Q rispe o al punto O:

(

= − ) ∧

Il modulo del momento è dato dal prodo o dei moduli dei due ve ori ortogonali (Q - O) e F.

La distanza OQ è chiamata braccio della forza. Il verso del momento è determinato dalla

regola della mano destra applicata ai ve ori (Q - O) e F: ⃗

(

= − ) ∧ =

Una conseguenza importante è che il momento non dipende dal punto di applicazione

specifico della forza, ma solo dalla sua re a di azione. Se il punto di applicazione viene

spostato lungo la direzione della forza, il punto Q rimane invariato, quindi il momento

rimane lo stesso.

Analogamente, la proiezione della forza lungo gli assi coordina non cambia se si sposta la

forza lungo la sua direzione, perché l'angolo formato dalla forza con gli assi rimane costante.

Queste considerazioni portano a due conseguenze fondamentali:

 Per il calcolo del momento, la forza può essere spostata lungo la sua re a di azione e

applicata in qualsiasi punto che risul più comodo per i calcoli.

 Spostare la forza lungo la sua re a di azione non modifica né il momento né la

risultante delle forze.

Si definiscono sistemi equipollen di forze due sistemi di forze che producono gli stessi

effe nelle equazioni di equilibrio. Spostare una forza lungo la sua re a di azione genera un

sistema di forze equipollente al sistema originale. L'equipollenza significa che le equazioni di

equilibrio, sia alla traslazione che alla rotazione, rimangono invariate.

Si consideri ora un caso par colare: due forze applicate lungo due re e parallele, con

modulo uguale ma direzione opposta. Sia il ve ore della forza , allora = . La

−

distanza tra le due re e di applicazione viene chiamata braccio della coppia di forze,

indicato con : ⃗

⃗

Dal punto di vista delle equazioni di equilibrio, la risultante di queste due forze è:

+ =0

La risultante è nulla. Per un punto materiale l'analisi terminerebbe qui. Per un corpo rigido,

tu avia, queste due forze possono avere effe significa vi perché sono applicate in pun

diversi. Il momento risultante di questa coppia di forze rispe o a un polo O qualsiasi viene

calcolato come: (

= − ) ∧ + ( − ) ∧

⃗

⃗

⃗ ⃗ ⃗ ⃗

( ( )

= − ) ∧ + − ) ∧ = − + = −( − = −

Il momento di una coppia di forze è indipendente dal polo scelto. Questo risultato ha

un'implicazione importante: dal punto di vista delle equazioni di equilibrio, considerare due

forze uguali e opposte applicate a distanza oppure considerare dire amente un momento

⃗

applicato sul corpo rigido pari a M.

−

Si consideri ora il caso generale: una forza applicata lungo una direzione . Si vuole

spostare questa forza su una re a parallela , mantenendo l'equipollenza con il sistema

originale. Spostare la forza lungo la re a di applicazione preserva l'equipollenza, come già